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8 [2024龙东地区]七年级(1)班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是
$\frac{3}{5}$
。答案
8. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
要计算恰好选1名男生和1名女生的概率，需利用古典概型的概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数。首先计算从5名学生中选2名的总组合数，再计算选1男1女的组合数，最后代入公式求解。
【解析】
总共有2名男生和3名女生，共5名学生，从中选2名的总组合数为：
$C_{5}^{2} = \frac{5×4}{2×1} = 10$（种）
恰好选1名男生和1名女生的组合数为：从2名男生中选1名，从3名女生中选1名，即
$C_{2}^{1}×C_{3}^{1} = 2×3 = 6$（种）
根据概率公式，所求概率为：
$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
古典概型、组合数计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，核心是通过组合数确定总情况与符合条件的情况，难度适中，适合七年级学生巩固概率的基本计算方法。
【难度系数】
0.6
要计算恰好选1名男生和1名女生的概率，需利用古典概型的概率公式：概率=符合条件的情况数÷总情况数。首先计算从5名学生中选2名的总组合数，再计算选1男1女的组合数，最后代入公式求解。
【解析】
总共有2名男生和3名女生，共5名学生，从中选2名的总组合数为：
$C_{5}^{2} = \frac{5×4}{2×1} = 10$（种）
恰好选1名男生和1名女生的组合数为：从2名男生中选1名，从3名女生中选1名，即
$C_{2}^{1}×C_{3}^{1} = 2×3 = 6$（种）
根据概率公式，所求概率为：
$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
古典概型、组合数计算
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，核心是通过组合数确定总情况与符合条件的情况，难度适中，适合七年级学生巩固概率的基本计算方法。
【难度系数】
0.6
9 [2025潍坊]如图，小莹对三个相连的方格进行涂色. 在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率为
(第9题)
$\frac{1}{4}$
. (第9题)答案
9. $\frac{1}{4}$ 【解析】画树状图如图所示. 由树状图,可知对三个相连的方格进行“红、蓝”涂色共有8种等可能的结果,其中相邻两个方格所涂颜色不同的结果有2种:(红,蓝,红),(蓝,红,蓝),$\therefore P$(相邻两个方格所涂颜色不同)$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
解析
【分析】本题考查古典概型的概率计算，解题思路是：先确定三个方格所有等可能的涂色结果总数，再从中筛选出“相邻两个方格颜色不同”的结果数，最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】每个方格有红、蓝2种涂色选择，三个方格的涂色总结果数为$2×2×2=8$种（等可能）。通过树状图可知，相邻两个方格颜色不同的结果为（红，蓝，红）、（蓝，红，蓝），共2种。根据概率公式，$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\frac{1}{4}$
【知识点】概率计算、古典概型
【点评】本题是基础的概率应用题，通过树状图列举所有等可能结果，考查学生对古典概型的理解与应用，难度较低。
【难度系数】0.4
【解析】每个方格有红、蓝2种涂色选择，三个方格的涂色总结果数为$2×2×2=8$种（等可能）。通过树状图可知，相邻两个方格颜色不同的结果为（红，蓝，红）、（蓝，红，蓝），共2种。根据概率公式，$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\frac{1}{4}$
【知识点】概率计算、古典概型
【点评】本题是基础的概率应用题，通过树状图列举所有等可能结果，考查学生对古典概型的理解与应用，难度较低。
【难度系数】0.4
10 新情境 环境保护 为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾。甲投放了一袋垃圾；乙投放了两袋不同类的垃圾。
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的概率。
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的概率。
答案
10. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如图所示. 由树状图,可知甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种,$\therefore P$(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)$=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
第(1)问：甲投放的垃圾只有A、B、C三类，每类被投放的可能性相等，直接利用概率公式计算即可。第(2)问：需用树状图法列举甲、乙投放垃圾的所有等可能结果，再从中找出“乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类”的结果数，最后根据概率公式计算，注意乙投放的是两袋不同类的垃圾，要保证列举结果符合条件。
【解析】
(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C三类等可能的结果，其中恰好是A类的结果有1种，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得甲投放的垃圾恰好是A类的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图（如图所示）：甲的投放结果有A、B、C3种，乙投放两袋不同类的垃圾，从A、B、C中选两类排列，共$C_3^2 × 2! =6$种，结合甲的3种结果，总共有$3 ×6=18$种等可能结果；其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种，因此$P$(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)$=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。
【答案】
10. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如图所示. 由树状图,可知甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种,$\therefore P$(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)$=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题结合垃圾分类新情境考查概率计算，核心是用树状图列举等可能结果，属于概率基础应用题，需注意乙投放两袋不同类垃圾的条件，避免列举错误。
【难度系数】
0.6
第(1)问：甲投放的垃圾只有A、B、C三类，每类被投放的可能性相等，直接利用概率公式计算即可。第(2)问：需用树状图法列举甲、乙投放垃圾的所有等可能结果，再从中找出“乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类”的结果数，最后根据概率公式计算，注意乙投放的是两袋不同类的垃圾，要保证列举结果符合条件。
【解析】
(1) 甲投放的垃圾共有A、B、C三类等可能的结果，其中恰好是A类的结果有1种，根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得甲投放的垃圾恰好是A类的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图（如图所示）：甲的投放结果有A、B、C3种，乙投放两袋不同类的垃圾，从A、B、C中选两类排列，共$C_3^2 × 2! =6$种，结合甲的3种结果，总共有$3 ×6=18$种等可能结果；其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种，因此$P$(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)$=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。
【答案】
10. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 画树状图如图所示. 由树状图,可知甲、乙投放的垃圾共有18种等可能的结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类的结果有12种,$\therefore P$(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾同类)$=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$
【知识点】
概率计算、树状图求概率
【点评】
本题结合垃圾分类新情境考查概率计算，核心是用树状图列举等可能结果，属于概率基础应用题，需注意乙投放两袋不同类垃圾的条件，避免列举错误。
【难度系数】
0.6
11 [2025昆山市段考]李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图(如图).上课时，李老师问物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时会发光？”物理课代表回答：“在开关$S_1$闭合的情况下，再闭合$S_2$，$S_3$，$S_4$中的任意一个开关，小灯泡就会发光.”接下来，李老师提出了下面的数学问题.
（1）在开关$S_3$闭合的情况下，随机闭合$S_1$，$S_2$，$S_4$中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为
（2）当随机闭合$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$中的两个开关时，请用画树状图的方法求出能使小灯泡发光的概率.
（1）在开关$S_3$闭合的情况下，随机闭合$S_1$，$S_2$，$S_4$中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为
$\frac{1}{3}$
；（2）当随机闭合$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$中的两个开关时，请用画树状图的方法求出能使小灯泡发光的概率.
答案
11. (1) $\frac{1}{3}$ (2) 将$S_1,S_2,S_3,S_4$分别用1,2,3,4表示,画树状图如图所示. 由图可知,共有12种等可能的结果,其中能使小灯泡发光的结果有6种,$\therefore P$(能使小灯泡发光)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
解析
【分析】首先明确小灯泡发光的条件：开关$S_1$闭合，且$S_2$、$S_3$、$S_4$中至少一个闭合时，小灯泡发光。第(1)问中，已知$S_3$已闭合，要使灯亮只需闭合干路开关$S_1$，随机闭合$S_1$、$S_2$、$S_4$中的一个，总共有3种等可能情况，其中符合条件的1种，据此计算概率；第(2)问需用树状图列举随机闭合两个开关的所有等可能结果，再找出满足灯亮的结果，进而计算概率。
【解析】
(1) 已知开关$S_3$已闭合，要让小灯泡发光，必须闭合干路开关$S_1$。随机闭合$S_1$、$S_2$、$S_4$中的一个，共有3种等可能的结果：闭合$S_1$、闭合$S_2$、闭合$S_4$，其中能使小灯泡发光的结果只有闭合$S_1$这1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 将$S_1,S_2,S_3,S_4$分别用1,2,3,4表示，画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果是包含1（即$S_1$）且包含2、3、4中至少一个的情况，共6种，因此$P$(能使小灯泡发光)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率、电路通断分析
【点评】本题结合电路知识考查概率计算，需先明确电路导通条件，再通过树状图列举所有等可能结果，考查学生的综合分析能力，是一道中等难度的概率应用题。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 已知开关$S_3$已闭合，要让小灯泡发光，必须闭合干路开关$S_1$。随机闭合$S_1$、$S_2$、$S_4$中的一个，共有3种等可能的结果：闭合$S_1$、闭合$S_2$、闭合$S_4$，其中能使小灯泡发光的结果只有闭合$S_1$这1种，因此概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 将$S_1,S_2,S_3,S_4$分别用1,2,3,4表示，画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果是包含1（即$S_1$）且包含2、3、4中至少一个的情况，共6种，因此$P$(能使小灯泡发光)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】概率计算、树状图法求概率、电路通断分析
【点评】本题结合电路知识考查概率计算，需先明确电路导通条件，再通过树状图列举所有等可能结果，考查学生的综合分析能力，是一道中等难度的概率应用题。
【难度系数】0.5
