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7 [2024辽宁]一个不透明袋子中装有4个白球、3个红球、2个绿球、1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出1个球，则下列事件发生的概率为$\frac{3}{10}$的是（
A.摸出白球
B.摸出红球
C.摸出绿球
D.摸出黑球
B
）A.摸出白球
B.摸出红球
C.摸出绿球
D.摸出黑球
答案
7. B
解析
【分析】
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题核心是掌握概率的计算公式：随机事件A发生的概率P(A)=事件A包含的等可能结果数÷所有等可能结果的总数。解题时首先计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；再分别计算四个选项对应的事件包含的结果数，代入公式算出各自的概率，最后和题干给出的$\frac{3}{10}$对比，找到符合要求的选项即可。
【解析】
首先计算袋子中球的总个数：$4+3+2+1=10$（个），由于每个球除颜色外都相同，因此任意摸出1个球时，每个球被摸到的可能性相等，属于等可能事件。
分别计算各选项对应的事件概率：
A. 摸出白球的概率：$P(\mathrm{白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，不符合要求；
B. 摸出红球的概率：$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{10}$，符合要求；
C. 摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿球})=\frac{\mathrm{绿球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，不符合要求；
D. 摸出黑球的概率：$P(\mathrm{黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{10}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查简单等可能事件概率的计算方法，解题时只要准确统计总数量和对应事件的数量，代入公式计算即可得分，注意计算总球数时不要出现统计错误。
【难度系数】
0.9
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题核心是掌握概率的计算公式：随机事件A发生的概率P(A)=事件A包含的等可能结果数÷所有等可能结果的总数。解题时首先计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；再分别计算四个选项对应的事件包含的结果数，代入公式算出各自的概率，最后和题干给出的$\frac{3}{10}$对比，找到符合要求的选项即可。
【解析】
首先计算袋子中球的总个数：$4+3+2+1=10$（个），由于每个球除颜色外都相同，因此任意摸出1个球时，每个球被摸到的可能性相等，属于等可能事件。
分别计算各选项对应的事件概率：
A. 摸出白球的概率：$P(\mathrm{白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，不符合要求；
B. 摸出红球的概率：$P(\mathrm{红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{3}{10}$，符合要求；
C. 摸出绿球的概率：$P(\mathrm{绿球})=\frac{\mathrm{绿球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$，不符合要求；
D. 摸出黑球的概率：$P(\mathrm{黑球})=\frac{\mathrm{黑球个数}}{\mathrm{总球数}}=\frac{1}{10}$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查简单等可能事件概率的计算方法，解题时只要准确统计总数量和对应事件的数量，代入公式计算即可得分，注意计算总球数时不要出现统计错误。
【难度系数】
0.9
8 在$□ ABCD$中，AC，BD是两条对角线。有下列关系：① $AB=BC$；② $AC=BD$；③ $AC⊥ BD$；④ $AB⊥ BC$。现从中随机选出一个作为条件，可推出$□ ABCD$是菱形的概率为
$\frac{1}{2}$
。答案
8. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆菱形的判定定理，明确平行四边形成为菱形的核心判定规则：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来逐个判断给出的4个条件是否能推出平行四边形ABCD是菱形，统计符合要求的条件个数，最后根据概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐个分析4个条件：
1. 条件①$AB=BC$：一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此①可推出$□ ABCD$是菱形；
2. 条件②$AC=BD$：对角线相等的平行四边形是矩形，不能推出是菱形，因此②不符合要求；
3. 条件③$AC⊥BD$：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此③可推出$□ ABCD$是菱形；
4. 条件④$AB⊥BC$：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不能推出是菱形，因此④不符合要求。
综上，能推出$□ ABCD$是菱形的条件共2个，总共有4个可选条件，因此所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
菱形的判定；概率公式；矩形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形判定与概率计算的基础综合题，解题关键是准确区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆两类特殊平行四边形的判定规则，结合简单的概率计算即可快速得解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆菱形的判定定理，明确平行四边形成为菱形的核心判定规则：一是一组邻边相等的平行四边形是菱形，二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来逐个判断给出的4个条件是否能推出平行四边形ABCD是菱形，统计符合要求的条件个数，最后根据概率公式（概率=符合条件的情况数÷总情况数）计算结果即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐个分析4个条件：
1. 条件①$AB=BC$：一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此①可推出$□ ABCD$是菱形；
2. 条件②$AC=BD$：对角线相等的平行四边形是矩形，不能推出是菱形，因此②不符合要求；
3. 条件③$AC⊥BD$：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此③可推出$□ ABCD$是菱形；
4. 条件④$AB⊥BC$：有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不能推出是菱形，因此④不符合要求。
综上，能推出$□ ABCD$是菱形的条件共2个，总共有4个可选条件，因此所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
菱形的判定；概率公式；矩形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形判定与概率计算的基础综合题，解题关键是准确区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆两类特殊平行四边形的判定规则，结合简单的概率计算即可快速得解。
【难度系数】
0.7
9 [2025姑苏区模拟]一个仅装有球的不透明布袋里有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{2}{5}$,则n=
9
.答案
9. 9
解析
【分析】
解决这道题的核心是运用等可能事件的概率计算公式，解题思路如下：第一步，明确单次试验中等可能事件的概率计算规则：事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以所有可能的情况总数；第二步，匹配题中对应量：摸出红球是目标事件，对应情况数为红球个数6，所有摸球的可能情况数是球的总个数，即红球个数加白球个数（6+n）；第三步，将已知概率代入公式列出分式方程，解方程求出n的值，最后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
根据等可能事件的概率公式可得：
$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{球的总个数}}$
由题意可知，红球个数为6，总球数为$(6+n)$，摸出红球的概率为$\frac{2}{5}$，因此列方程：
$\frac{6}{6+n}=\frac{2}{5}$
交叉相乘得：$2(6+n)=6×5$
化简得：$12+2n=30$
移项计算得：$2n=18$，解得$n=9$
检验：当$n=9$时，分母$6+n=15≠0$，且白球个数为正整数，符合实际意义，因此$n=9$是方程的解。
【答案】
9
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分式方程求解
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题关键是准确匹配概率公式对应的各个量，列方程求解即可，注意求出结果后要检验是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是运用等可能事件的概率计算公式，解题思路如下：第一步，明确单次试验中等可能事件的概率计算规则：事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以所有可能的情况总数；第二步，匹配题中对应量：摸出红球是目标事件，对应情况数为红球个数6，所有摸球的可能情况数是球的总个数，即红球个数加白球个数（6+n）；第三步，将已知概率代入公式列出分式方程，解方程求出n的值，最后检验结果是否符合实际意义即可。
【解析】
根据等可能事件的概率公式可得：
$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{\mathrm{红球个数}}{\mathrm{球的总个数}}$
由题意可知，红球个数为6，总球数为$(6+n)$，摸出红球的概率为$\frac{2}{5}$，因此列方程：
$\frac{6}{6+n}=\frac{2}{5}$
交叉相乘得：$2(6+n)=6×5$
化简得：$12+2n=30$
移项计算得：$2n=18$，解得$n=9$
检验：当$n=9$时，分母$6+n=15≠0$，且白球个数为正整数，符合实际意义，因此$n=9$是方程的解。
【答案】
9
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 分式方程求解
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题关键是准确匹配概率公式对应的各个量，列方程求解即可，注意求出结果后要检验是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.8
10 某校爱滑冰的人占60%，爱滑雪的人占50%，爱滑冰或爱滑雪的人占70%。已知随机抽取一人爱滑雪，则此人爱滑冰的概率是
0.8
。答案
10. 0.8 【解析】
∵ 爱滑冰的人占60%,爱滑雪的人占50%,爱滑冰或爱滑雪的人占70%,
∴ 既爱滑冰又爱滑雪的人占$60\%+50\%-70\%=40\%$.
∴ 随机抽取一人爱滑雪,则此人爱滑冰的概率是$\frac{40\%}{50\%}=0.8$.
∵ 爱滑冰的人占60%,爱滑雪的人占50%,爱滑冰或爱滑雪的人占70%,
∴ 既爱滑冰又爱滑雪的人占$60\%+50\%-70\%=40\%$.
∴ 随机抽取一人爱滑雪,则此人爱滑冰的概率是$\frac{40\%}{50\%}=0.8$.
解析
【分析】
这是一道概率的实际应用问题，解题可分两步思考：第一步，题目给出了爱滑冰、爱滑雪的人数占比，以及爱滑冰或爱滑雪的总占比，我们可以先通过“爱滑冰或爱滑雪的占比=爱滑冰占比+爱滑雪占比-既爱滑冰又爱滑雪的占比”的关系，算出两类运动都喜爱的人数占总人数的比例；第二步，要求“已知抽到的人爱滑雪，求此人爱滑冰的概率”，此时研究范围缩小到所有爱滑雪的人群，只需计算两类都爱的人数占爱滑雪人数的比例，就是所求的概率。
【解析】
首先计算既爱滑冰又爱滑雪的人数占总人数的比例：
$60\%+50\%-70\%=40\%$
已知抽取的人爱滑雪，满足条件的总人群占比为50%，其中同时爱滑冰的人群占比为40%，因此所求概率为：
$40\%÷50\%=0.8$
【答案】
0.8
【知识点】
1. 概率加法运算
2. 条件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题核心是理清不同事件的关系，先求出两类运动都喜爱的人数占比，再结合条件概率的含义计算即可，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
这是一道概率的实际应用问题，解题可分两步思考：第一步，题目给出了爱滑冰、爱滑雪的人数占比，以及爱滑冰或爱滑雪的总占比，我们可以先通过“爱滑冰或爱滑雪的占比=爱滑冰占比+爱滑雪占比-既爱滑冰又爱滑雪的占比”的关系，算出两类运动都喜爱的人数占总人数的比例；第二步，要求“已知抽到的人爱滑雪，求此人爱滑冰的概率”，此时研究范围缩小到所有爱滑雪的人群，只需计算两类都爱的人数占爱滑雪人数的比例，就是所求的概率。
【解析】
首先计算既爱滑冰又爱滑雪的人数占总人数的比例：
$60\%+50\%-70\%=40\%$
已知抽取的人爱滑雪，满足条件的总人群占比为50%，其中同时爱滑冰的人群占比为40%，因此所求概率为：
$40\%÷50\%=0.8$
【答案】
0.8
【知识点】
1. 概率加法运算
2. 条件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，解题核心是理清不同事件的关系，先求出两类运动都喜爱的人数占比，再结合条件概率的含义计算即可，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
11 [2024高新区期中]如图，在一不规则区域内，有一边长为$3\sqrt{3}$ m的正方形，向不规则区域内随机地撒4000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆有1350颗，根据以上数据，可以估计出该不规则图形的面积.
（1）随机向不规则区域内撒一颗黄豆，求黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率；
（2）请估计该不规则图形的面积.
（1）随机向不规则区域内撒一颗黄豆，求黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率；
（2）请估计该不规则图形的面积.
答案
11. (1) 记“黄豆落在正方形区域内(含边界)”为事件A,则$P(A)=\frac{1350}{4000}=\frac{27}{80}$.
∴ 黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率为$\frac{27}{80}$
(2) $\because P(A)=\frac{27}{80}$,正方形的面积为$(3\sqrt{3})^2=27(\mathrm{m}^2)$,$\therefore$ 估计该不规则图形的面积为$27÷\frac{27}{80}=80(\mathrm{m}^2)$
∴ 黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率为$\frac{27}{80}$
(2) $\because P(A)=\frac{27}{80}$,正方形的面积为$(3\sqrt{3})^2=27(\mathrm{m}^2)$,$\therefore$ 估计该不规则图形的面积为$27÷\frac{27}{80}=80(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
（1）求黄豆落在正方形内的概率时，可依据大量重复试验下频率可估计概率的思路，用落在正方形内的黄豆数除以总撒黄豆数，得到的频率即可作为该事件概率的估计值，代入数据约分即可求解。
（2）估算不规则图形面积时，根据几何概型的等量关系：黄豆落在正方形内的概率=正方形面积÷不规则图形总面积，先计算出正方形的面积，再结合第一问求出的概率，变形公式即可求出不规则图形的面积。
【解析】
（1）记“黄豆落在正方形区域内(含边界)”为事件A，根据频率估计概率的方法可得：
$P(A)=\frac{\mathrm{落在正方形内的黄豆数}}{\mathrm{总黄豆数}}=\frac{1350}{4000}=\frac{27}{80}$
即黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率为$\frac{27}{80}$。
（2）先计算正方形的面积：
已知正方形边长为$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此正方形面积$S_{\mathrm{正方形}}=(3\sqrt{3})^2=3^2×(\sqrt{3})^2=9×3=27(\mathrm{m}^2)$。
设不规则图形的面积为$S$，由几何概率公式得$P(A)=\frac{S_{\mathrm{正方形}}}{S}$，变形得$S=\frac{S_{\mathrm{正方形}}}{P(A)}$，代入数据计算：
$S=27÷\frac{27}{80}=80(\mathrm{m}^2)$
即估计该不规则图形的面积为$80\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）$\frac{27}{80}$
（2）$80\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
频率估计概率，几何概型，正方形面积计算
【点评】
本题是概率在实际估算中的典型应用题，解题核心是理解频率与概率的关系，以及几何概率和区域面积的对应关系，整体计算量小，理解原理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）求黄豆落在正方形内的概率时，可依据大量重复试验下频率可估计概率的思路，用落在正方形内的黄豆数除以总撒黄豆数，得到的频率即可作为该事件概率的估计值，代入数据约分即可求解。
（2）估算不规则图形面积时，根据几何概型的等量关系：黄豆落在正方形内的概率=正方形面积÷不规则图形总面积，先计算出正方形的面积，再结合第一问求出的概率，变形公式即可求出不规则图形的面积。
【解析】
（1）记“黄豆落在正方形区域内(含边界)”为事件A，根据频率估计概率的方法可得：
$P(A)=\frac{\mathrm{落在正方形内的黄豆数}}{\mathrm{总黄豆数}}=\frac{1350}{4000}=\frac{27}{80}$
即黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率为$\frac{27}{80}$。
（2）先计算正方形的面积：
已知正方形边长为$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此正方形面积$S_{\mathrm{正方形}}=(3\sqrt{3})^2=3^2×(\sqrt{3})^2=9×3=27(\mathrm{m}^2)$。
设不规则图形的面积为$S$，由几何概率公式得$P(A)=\frac{S_{\mathrm{正方形}}}{S}$，变形得$S=\frac{S_{\mathrm{正方形}}}{P(A)}$，代入数据计算：
$S=27÷\frac{27}{80}=80(\mathrm{m}^2)$
即估计该不规则图形的面积为$80\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
（1）$\frac{27}{80}$
（2）$80\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
频率估计概率，几何概型，正方形面积计算
【点评】
本题是概率在实际估算中的典型应用题，解题核心是理解频率与概率的关系，以及几何概率和区域面积的对应关系，整体计算量小，理解原理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12 教材变式题 一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数比白球个数的2倍少5.已知从袋子中摸出1个球是红球的概率是$\frac{3}{10}$.
（1）求袋子中红球的个数；
（2）求从袋子中摸出1个球是白球的概率；
（3）取走10个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出1个球是红球的概率.
（1）求袋子中红球的个数；
（2）求从袋子中摸出1个球是白球的概率；
（3）取走10个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出1个球是红球的概率.
答案
12. (1) $100×\frac{3}{10}=30$(个).答:袋子中红球的个数为30
(2) 设白球有$x$个,则黄球有$(2x-5)$个.根据题意,得$x+(2x-5)+30=100$,解得$x=25$. $\therefore P$(从袋子中摸出1个球是白球)$=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
(3) $P$(从剩余的球中摸出1个球是红球)$=\frac{30}{100-10}=\frac{1}{3}$
(2) 设白球有$x$个,则黄球有$(2x-5)$个.根据题意,得$x+(2x-5)+30=100$,解得$x=25$. $\therefore P$(从袋子中摸出1个球是白球)$=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
(3) $P$(从剩余的球中摸出1个球是红球)$=\frac{30}{100-10}=\frac{1}{3}$
解析
【分析】
（1）第一问可利用概率公式的变形：对应事件的样本数=总样本数×该事件发生的概率，已知总球数和摸出红球的概率，直接相乘即可得到红球个数。
（2）第二问先设白球个数为未知数，根据黄球与白球的数量关系表示出黄球个数，再结合三种球总个数为100列一元一次方程，求解得到白球个数后，代入概率公式“概率=所求事件样本数÷总样本数”即可算出摸出白球的概率。
（3）第三问首先明确取走的10个球中没有红球，因此剩余球中红球个数不变，总球数减少10个，再次代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）根据概率公式变形计算红球个数：
$100×\frac{3}{10}=30$（个）
（2）设白球有$x$个，则黄球有$(2x-5)$个，根据总球数列方程：
$x+(2x-5)+30=100$
化简得$3x+25=100$，解得$x=25$
因此摸出1个球是白球的概率为：
$P(摸出白球)=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
（3）取走10个非红球后，剩余球总个数为$100-10=90$个，红球个数仍为30个，因此剩余球中摸出红球的概率为：
$P(剩余球中摸出红球)=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 袋子中红球的个数为30个；
(2) 从袋子中摸出1个球是白球的概率为$\frac{1}{4}$；
(3) 从剩余的球中摸出1个球是红球的概率为$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式、一元一次方程的应用、古典概型计算
【点评】
本题属于概率基础题型，将概率计算与一元一次方程应用相结合，既考查了概率公式的正向、逆向运用，也考查了利用方程梳理数量关系的能力，解题核心是准确把握各量之间的关联，正确套用概率公式，是概率章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
（1）第一问可利用概率公式的变形：对应事件的样本数=总样本数×该事件发生的概率，已知总球数和摸出红球的概率，直接相乘即可得到红球个数。
（2）第二问先设白球个数为未知数，根据黄球与白球的数量关系表示出黄球个数，再结合三种球总个数为100列一元一次方程，求解得到白球个数后，代入概率公式“概率=所求事件样本数÷总样本数”即可算出摸出白球的概率。
（3）第三问首先明确取走的10个球中没有红球，因此剩余球中红球个数不变，总球数减少10个，再次代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）根据概率公式变形计算红球个数：
$100×\frac{3}{10}=30$（个）
（2）设白球有$x$个，则黄球有$(2x-5)$个，根据总球数列方程：
$x+(2x-5)+30=100$
化简得$3x+25=100$，解得$x=25$
因此摸出1个球是白球的概率为：
$P(摸出白球)=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
（3）取走10个非红球后，剩余球总个数为$100-10=90$个，红球个数仍为30个，因此剩余球中摸出红球的概率为：
$P(剩余球中摸出红球)=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 袋子中红球的个数为30个；
(2) 从袋子中摸出1个球是白球的概率为$\frac{1}{4}$；
(3) 从剩余的球中摸出1个球是红球的概率为$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式、一元一次方程的应用、古典概型计算
【点评】
本题属于概率基础题型，将概率计算与一元一次方程应用相结合，既考查了概率公式的正向、逆向运用，也考查了利用方程梳理数量关系的能力，解题核心是准确把握各量之间的关联，正确套用概率公式，是概率章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
