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1 新情境 传统文化 [2024兰州]七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具.现将1个七巧板、2个九连环、1个华容道、2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中(每个盒子装1个),所有盒子除里面的玩具外均相同.从这6个盒子中随机抽取1个盒子,抽中七巧板的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道简单等可能事件的概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有抽取结果是等可能的，第一步先统计所有等可能的总结果数，本题共有6个盒子，随机抽1个的总等可能结果数为6；第二步统计符合“抽中七巧板”要求的结果数，七巧板只有1个，符合条件的结果数为1；最后代入概率计算公式即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，从6个完全相同的盒子中随机抽取1个，共有6种等可能的结果，其中能抽中七巧板的结果有1种。
根据简单概率计算公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得抽中七巧板的概率为$P=\frac{1}{6}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题结合传统益智玩具的新情境考查基础概率计算，情境贴近生活，解题关键是准确计数总情况数和符合要求的情况数，属于基础题，容易得分。
【难度系数】
0.9
这是一道简单等可能事件的概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有抽取结果是等可能的，第一步先统计所有等可能的总结果数，本题共有6个盒子，随机抽1个的总等可能结果数为6；第二步统计符合“抽中七巧板”要求的结果数，七巧板只有1个，符合条件的结果数为1；最后代入概率计算公式即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，从6个完全相同的盒子中随机抽取1个，共有6种等可能的结果，其中能抽中七巧板的结果有1种。
根据简单概率计算公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得抽中七巧板的概率为$P=\frac{1}{6}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
概率公式；等可能事件概率计算
【点评】
本题结合传统益智玩具的新情境考查基础概率计算，情境贴近生活，解题关键是准确计数总情况数和符合要求的情况数，属于基础题，容易得分。
【难度系数】
0.9
2（易错题）从$\frac{36}{7},3.1415926,3.\dot{3},\sqrt{4},\sqrt{5},-\sqrt[3]{8},\sqrt[3]{9}$中随机抽取一个数是无理数的概率为（
A.$\frac{2}{7}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
A
）A.$\frac{2}{7}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
答案
2. A
本题容易将$\sqrt{4},-\sqrt[3]{8}$误认作无理数而错选C选项.
本题容易将$\sqrt{4},-\sqrt[3]{8}$误认作无理数而错选C选项.
解析
【分析】
要计算抽取到无理数的概率，需遵循以下思路：首先明确概率的计算公式为$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，因此第一步先统计所有待抽取数的总个数，得到总情况数；第二步根据无理数的定义（无限不循环小数，常见类型为开方开不尽的数、含$π$的数等），逐个判断每个数的属性，统计无理数的个数，得到符合条件的情况数；最后代入公式计算概率即可，注意判断带根号的数时要先化简再判断，避免误判。
【解析】
首先统计得总共有7个待抽取的数，接下来逐个判断各数的属性：
1. $\frac{36}{7}$是分数，属于有理数；
2. $3.1415926$是有限小数，属于有理数；
3. $3.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；
4. $\sqrt{4}=2$，化简后是整数，属于有理数；
5. $\sqrt{5}$开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
6. $-\sqrt[3]{8}=-2$，化简后是整数，属于有理数；
7. $\sqrt[3]{9}$开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到无理数})=\frac{\mathrm{无理数的个数}}{\mathrm{总个数}}=\frac{2}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别、概率计算公式
【点评】
本题是典型的易错题，核心易错点是判断带根号的数时，没有先化简就直接判定为无理数，比如容易误将$\sqrt{4}$、$-\sqrt[3]{8}$归为无理数，导致多算无理数的个数从而选错选项，解题时一定要先化简带根号的数，再判断是否为无理数。
【难度系数】
0.6
要计算抽取到无理数的概率，需遵循以下思路：首先明确概率的计算公式为$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$，因此第一步先统计所有待抽取数的总个数，得到总情况数；第二步根据无理数的定义（无限不循环小数，常见类型为开方开不尽的数、含$π$的数等），逐个判断每个数的属性，统计无理数的个数，得到符合条件的情况数；最后代入公式计算概率即可，注意判断带根号的数时要先化简再判断，避免误判。
【解析】
首先统计得总共有7个待抽取的数，接下来逐个判断各数的属性：
1. $\frac{36}{7}$是分数，属于有理数；
2. $3.1415926$是有限小数，属于有理数；
3. $3.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；
4. $\sqrt{4}=2$，化简后是整数，属于有理数；
5. $\sqrt{5}$开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
6. $-\sqrt[3]{8}=-2$，化简后是整数，属于有理数；
7. $\sqrt[3]{9}$开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到无理数})=\frac{\mathrm{无理数的个数}}{\mathrm{总个数}}=\frac{2}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别、概率计算公式
【点评】
本题是典型的易错题，核心易错点是判断带根号的数时，没有先化简就直接判定为无理数，比如容易误将$\sqrt{4}$、$-\sqrt[3]{8}$归为无理数，导致多算无理数的个数从而选错选项，解题时一定要先化简带根号的数，再判断是否为无理数。
【难度系数】
0.6
3 [2025苏州工业园区期中]一手机锁屏密码是6位数.若密码的前5位数已经知道,则一次解锁该手机密码的概率是
$\frac{1}{10}$
.答案
3. $\frac{1}{10}$
解析
【分析】
解题时首先确定未知的密码位数：已知6位密码的前5位已确定，仅最后1位数字未知。其次明确最后一位数字的所有等可能结果：锁屏密码每一位可取0~9共10个数字，共10种等可能的情况，一次解锁成功仅对应其中1种正确结果。最后根据概率的计算公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 6位锁屏密码的前5位数已知，仅第6位数字未知，
又
∵ 密码的每一位数字可取值为0、1、2、…、9，共10种等可能的结果，而一次解锁成功的结果只有1种，
∴ 根据概率公式可得，一次解锁该手机密码的概率 $ P = \frac{\mathrm{一次解锁成功的情况数}}{\mathrm{第6位数字的总情况数}} = \frac{1}{10} $。
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 等可能事件
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题的关键是准确判断未知密码位的总等可能结果数，结合概率公式即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先确定未知的密码位数：已知6位密码的前5位已确定，仅最后1位数字未知。其次明确最后一位数字的所有等可能结果：锁屏密码每一位可取0~9共10个数字，共10种等可能的情况，一次解锁成功仅对应其中1种正确结果。最后根据概率的计算公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 6位锁屏密码的前5位数已知，仅第6位数字未知，
又
∵ 密码的每一位数字可取值为0、1、2、…、9，共10种等可能的结果，而一次解锁成功的结果只有1种，
∴ 根据概率公式可得，一次解锁该手机密码的概率 $ P = \frac{\mathrm{一次解锁成功的情况数}}{\mathrm{第6位数字的总情况数}} = \frac{1}{10} $。
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 等可能事件
【点评】
本题是概率的基础应用题，解题的关键是准确判断未知密码位的总等可能结果数，结合概率公式即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
4 [2025新疆]不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球恰好是红球的概率为
$\frac{3}{7}$
。答案
4. $\frac{3}{7}$
解析
【分析】
本题考查一次试验下的等可能事件概率计算，解题思路清晰：第一步先明确等可能事件的概率公式，即随机事件的概率等于该事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果总数；第二步统计袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第三步统计红球的个数，得到摸出红球的可能结果数；最后代入公式计算即可得到答案。
【解析】
解：袋子中球的总个数为 $3+2+2=7$ 个，由于所有球除颜色外无其他差别，因此随机摸出1个球时，共有7种等可能的结果。
其中摸出的球是红球的结果有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{\mathrm{红球的个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{3}{7}$
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
概率公式，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，主要考查对简单概率计算方法的掌握，只需准确统计总情况数和符合条件的情况数，代入公式即可求解，不易失分。
【难度系数】
0.9
本题考查一次试验下的等可能事件概率计算，解题思路清晰：第一步先明确等可能事件的概率公式，即随机事件的概率等于该事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果总数；第二步统计袋子中球的总个数，得到所有等可能的摸球结果总数；第三步统计红球的个数，得到摸出红球的可能结果数；最后代入公式计算即可得到答案。
【解析】
解：袋子中球的总个数为 $3+2+2=7$ 个，由于所有球除颜色外无其他差别，因此随机摸出1个球时，共有7种等可能的结果。
其中摸出的球是红球的结果有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{摸出红球})=\frac{\mathrm{红球的个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{3}{7}$
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
概率公式，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率基础题型，主要考查对简单概率计算方法的掌握，只需准确统计总情况数和符合条件的情况数，代入公式即可求解，不易失分。
【难度系数】
0.9
5 [2024 甘孜]某校组织多项活动加强科学教育，九年级(1)班分两批次确定项目组成员参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生、2名女生. 现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为$\frac{3}{5}$，则第一批次确定的人员中，男生有多少名？
答案
5. 设第一批次确定的人员中,男生有$x$名.根据概率的计算公式,得
$\frac{x+1}{7+1+2}=\frac{3}{5}$,解得$x=5$.答:第一批次确定的人员中,男生有5名
$\frac{x+1}{7+1+2}=\frac{3}{5}$,解得$x=5$.答:第一批次确定的人员中,男生有5名
解析
【分析】
要解决本题，首先明确概率的计算逻辑：随机事件发生的概率等于该事件对应的符合条件的情况数除以所有等可能的情况总数。我们可以先设第一批次的男生人数为未知数，再分别求出项目组的总人数、项目组中男生的总人数，最后根据“抽中男生的概率为$\frac{3}{5}$”这一条件列方程求解即可。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中，男生有$x$名。
项目组总人数为：$7+1+2=10$（名）
项目组男生总人数为：$x+1$（名）
根据概率计算公式可列方程：
$\frac{x+1}{7+1+2}=\frac{3}{5}$
化简得$\frac{x+1}{10}=\frac{3}{5}$，
方程两边同时乘10得：$x+1=6$，
解得$x=5$。
答：第一批次确定的人员中，男生有5名。
【答案】
5名
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合校园实践活动的实际场景考查概率的应用，解题关键是准确梳理总人数、男生总人数两个核心量，依据概率公式建立等量关系求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确概率的计算逻辑：随机事件发生的概率等于该事件对应的符合条件的情况数除以所有等可能的情况总数。我们可以先设第一批次的男生人数为未知数，再分别求出项目组的总人数、项目组中男生的总人数，最后根据“抽中男生的概率为$\frac{3}{5}$”这一条件列方程求解即可。
【解析】
解：设第一批次确定的人员中，男生有$x$名。
项目组总人数为：$7+1+2=10$（名）
项目组男生总人数为：$x+1$（名）
根据概率计算公式可列方程：
$\frac{x+1}{7+1+2}=\frac{3}{5}$
化简得$\frac{x+1}{10}=\frac{3}{5}$，
方程两边同时乘10得：$x+1=6$，
解得$x=5$。
答：第一批次确定的人员中，男生有5名。
【答案】
5名
【知识点】
概率计算公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合校园实践活动的实际场景考查概率的应用，解题关键是准确梳理总人数、男生总人数两个核心量，依据概率公式建立等量关系求解，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
6 [2025河北]抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1,2,3中的一个数字).若向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$,出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$,则该木块不可能是 (
A
)答案
6. A
解析
【分析】
解题分两步走：第一步，根据概率公式“概率=对应事件的情况数÷总情况数”，结合正方体总面数为6，分别计算出标有数字1、2、3的面的数量；第二步，结合正方体相邻面为不同面的特点，判断各选项展示的三个面是否和计算出的各数字面数矛盾，矛盾的即为不可能的木块。
【解析】
首先计算各数字对应的面数：
正方体共有6个面，根据概率公式可得：
标数字1的面数 = $6×\frac{1}{2}=3$个，
标数字2的面数 = $6×\frac{1}{3}=2$个，
因此标数字3的面数 = $6-3-2=1$个，即该木块仅1个面标有数字3。
逐一分析选项：
A选项展示的正方体中，正面和右侧面均为数字3，说明该木块至少有2个面标3，与“仅1个面标3”矛盾，不可能符合要求；
B选项展示的3个面均为数字1，符合1有3个面的计算结果，有可能；
C选项展示的面中1、2、3各1个，不违背各数字面数的要求，有可能；
D选项展示的面中有1个1、2个2，符合2有2个面的计算结果，有可能。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，正方体面的特征
【点评】
本题将概率计算和简单的空间几何特征结合，核心是先通过概率推导各数字的面数，再结合正方体相邻面为不同面的特点判断合理性，既考察基础概率的应用，也考察简单的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题分两步走：第一步，根据概率公式“概率=对应事件的情况数÷总情况数”，结合正方体总面数为6，分别计算出标有数字1、2、3的面的数量；第二步，结合正方体相邻面为不同面的特点，判断各选项展示的三个面是否和计算出的各数字面数矛盾，矛盾的即为不可能的木块。
【解析】
首先计算各数字对应的面数：
正方体共有6个面，根据概率公式可得：
标数字1的面数 = $6×\frac{1}{2}=3$个，
标数字2的面数 = $6×\frac{1}{3}=2$个，
因此标数字3的面数 = $6-3-2=1$个，即该木块仅1个面标有数字3。
逐一分析选项：
A选项展示的正方体中，正面和右侧面均为数字3，说明该木块至少有2个面标3，与“仅1个面标3”矛盾，不可能符合要求；
B选项展示的3个面均为数字1，符合1有3个面的计算结果，有可能；
C选项展示的面中1、2、3各1个，不违背各数字面数的要求，有可能；
D选项展示的面中有1个1、2个2，符合2有2个面的计算结果，有可能。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
概率计算，正方体面的特征
【点评】
本题将概率计算和简单的空间几何特征结合，核心是先通过概率推导各数字的面数，再结合正方体相邻面为不同面的特点判断合理性，既考察基础概率的应用，也考察简单的空间想象能力。
【难度系数】
0.7
