7. 如图，AB为$\odot O$的直径，PB，PC分别与$\odot O$相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交$\odot O$于点D. 若$CD=PB=2\sqrt{3}$，则BE的长为 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

7.C

8.(2025·连云港一模)在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°,AC=5,BC=12$，则$△ ABC$的内切圆半径为$\underline{\hspace{3em}}$.

8.2

9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=58°$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$,$AC$分别相切于点$D$,$E$,连接$DE$,$BO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ BFD=$______.

9.29°

10.如图,正方形ABCD的边长为6,$\odot O$的半径为1.若$\odot O$在正方形ABCD内平移($\odot O$可以与该正方形的边相切),则点A到$\odot O$上的点的距离的最大值为$\underline{\hspace{5em}}$.

10.$5\sqrt{2}+1$

11. 如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，点C在$\odot O$上，连接OA，OC，AC.
(1)求证：$∠ AOC=2∠ PAC$；
(2)连接OB，若$AC// OB$，$\odot O$的半径为5，$AC=6$，求AP的长.

11.(1)证明:如答图,过点O作$OH⊥ AC$于点H，
$\therefore ∠ OHA=90°, \therefore ∠ AOH+∠ OAC=90°.$
$\because PA$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ OAP=90°,$
$\therefore ∠ OAC+∠ PAC=90°, \therefore ∠ AOH=∠ PAC.$
$\because OA=OC, \therefore ∠ AOC=2∠ AOH, \therefore ∠ AOC=2∠ PAC.$
(2)解:如答图,连接OB,延长AC交PB于点E.
$\because PA,PB$是$\odot O$的切线，
$\therefore OB⊥ PB, PA=PB.$
$\because AC// OB, \therefore AC⊥ PB, \therefore$ 四边形$OBEH$是矩形，
$\therefore OH=BE, HE=OB=5.$
$\because OH⊥ AC, OA=OC, \therefore AH=CH=\frac{1}{2}AC=3,$
$\therefore OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4,$
$\therefore BE=OH=4, AE=AH+HE=3+5=8.$
$\because AP^2=AE^2+PE^2, \therefore AP^2=8^2+(AP-4)^2,$
解得$AP=10.$

12.如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,以 $BC$ 为直径的$\odot O$交 $AB$ 于点 $D$,切线 $DE$ 交 $AC$ 于点 $E$.
(1)求证:$∠ A=∠ ADE$;
(2)若 $AD=8,DE=5$,求 $BC$ 的长.

12.(1)证明:如答图,连接OD.
$\because DE$是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ ODE=90°,$
$\therefore ∠ ADE+∠ BDO=90°.$
$\because ∠ ACB=90°, \therefore ∠ A+∠ B=90°.$
$\because OD=OB, \therefore ∠ B=∠ BDO, \therefore ∠ A=∠ ADE.$

(2)解:如答图,连接CD.
$\because ∠ ADE=∠ A, \therefore AE=DE.$
$\because BC$是$\odot O$的直径,$∠ ACB=90°,$
$\therefore EC$是$\odot O$的切线，
$\therefore ED=EC, \therefore AE=EC.$
$\because DE=5, \therefore AC=2DE=10.$
$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BDC=90°=∠ ADC.$
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.$
设$BD=x$,则$AB=8+x$,
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中,$BC^2=x^2+6^2,$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC^2=(x+8)^2-10^2,$
$\therefore x^2+6^2=(x+8)^2-10^2$,解得$x=\frac{9}{2},$
$\therefore BC=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}.$