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10 已知等腰三角形ABC的底边BC长为8，它的外接圆$\odot O$半径为5，那么圆心O到腰AB的距离为
$\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
。答案
$\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$。[提示:分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论。]
解析
【分析】
解题时首先利用等腰三角形三线合一的性质和外接圆圆心的特征，确定圆心O在底边BC的垂直平分线上，再通过勾股定理求出圆心到BC的距离。注意需分两种情况讨论：圆心在三角形内部、圆心在三角形外部，分别计算腰长后，结合垂径定理和勾股定理即可求出圆心到腰的距离。
【解析】
1. 取BC的中点D，连接AD。
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，
∴AD⊥BC，且△ABC的外接圆圆心O在直线AD上。
2. 连接OB，OB为⊙O半径，故OB=5，BD=$\frac{1}{2}$BC=4。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
3. 分两种情况讨论：
情况1：圆心O在△ABC内部
此时底边上的高$AD=AO+OD=5+3=8$。
在Rt△ABD中，腰长$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得E为AB中点，故$AE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{5}$。
在Rt△AOE中，$OE=\sqrt{AO^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
情况2：圆心O在△ABC外部
此时底边上的高$AD=AO-OD=5-3=2$。
在Rt△ABD中，腰长$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得E为AB中点，故$AE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
在Rt△AOE中，$OE=\sqrt{AO^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，容易漏算圆心在三角形外部的情况，解题时结合特殊三角形性质和圆的相关定理可快速简化运算，是圆与三角形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用等腰三角形三线合一的性质和外接圆圆心的特征，确定圆心O在底边BC的垂直平分线上，再通过勾股定理求出圆心到BC的距离。注意需分两种情况讨论：圆心在三角形内部、圆心在三角形外部，分别计算腰长后，结合垂径定理和勾股定理即可求出圆心到腰的距离。
【解析】
1. 取BC的中点D，连接AD。
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，
∴AD⊥BC，且△ABC的外接圆圆心O在直线AD上。
2. 连接OB，OB为⊙O半径，故OB=5，BD=$\frac{1}{2}$BC=4。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
3. 分两种情况讨论：
情况1：圆心O在△ABC内部
此时底边上的高$AD=AO+OD=5+3=8$。
在Rt△ABD中，腰长$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得E为AB中点，故$AE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{5}$。
在Rt△AOE中，$OE=\sqrt{AO^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5}$。
情况2：圆心O在△ABC外部
此时底边上的高$AD=AO-OD=5-3=2$。
在Rt△ABD中，腰长$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得E为AB中点，故$AE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
在Rt△AOE中，$OE=\sqrt{AO^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$2\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，容易漏算圆心在三角形外部的情况，解题时结合特殊三角形性质和圆的相关定理可快速简化运算，是圆与三角形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且$OE=OF$，连接OA、OB。
（1）求证：$AE=BF$。
（2）求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
11 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且$OE=OF$，连接OA、OB。
（1）求证：$AE=BF$。
（2）求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
答案
(1) 过O作$OM ⊥ AB$于点M。因为$OA=OB$，$OE=OF$，所以$AM=BM$，$EM=FM$，所以$AM-EM=BM-FM$，所以$AE=BF$。
(2) 因为$OM ⊥ AB$，$OA=OB$，$OE=OF$，所以$∠ AOM=∠ BOM$，$∠ EOM=∠ FOM$，所以$∠ AOM-∠ EOM=∠ BOM-∠ FOM$，所以$∠ AOC=∠ BOD$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2) 因为$OM ⊥ AB$，$OA=OB$，$OE=OF$，所以$∠ AOM=∠ BOM$，$∠ EOM=∠ FOM$，所以$∠ AOM-∠ EOM=∠ BOM-∠ FOM$，所以$∠ AOC=∠ BOD$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
解析
【分析】
（1）要证$AE=BF$，已知同圆半径$OA=OB$，且$OE=OF$，两个均为等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质证明：过O作AB的垂线，可同时得到AB和EF的中点，再通过线段的差运算即可推出$AE=BF$。
（2）要证$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆的性质：相等的圆心角对应相等的弧，只需证圆心角$∠AOC=∠BOD$即可。同样利用等腰三角形三线合一，可得到两组相等的角，通过角的差运算即可推出两个圆心角相等，进而得到弧相等。
【解析】
（1）证明：过点O作$OM ⊥ AB$于点M。
∵ OA、OB是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，
结合$OM⊥AB$，由等腰三角形三线合一得$AM=BM$。
∵ $OE=OF$，$△ OEF$为等腰三角形，$OM⊥EF$，
由等腰三角形三线合一得$EM=FM$。
∴ $AM-EM=BM-FM$，即$AE=BF$。
（2）证明：
∵ $OM ⊥ AB$，$OA=OB$，$OE=OF$，
由等腰三角形三线合一的性质，可得$∠ AOM=∠ BOM$，$∠ EOM=∠ FOM$，
∴ $∠ AOM-∠ EOM=∠ BOM-∠ FOM$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
(1) $AE=BF$，得证；
(2) $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，得证。
【知识点】
等腰三角形三线合一，圆心角与弧的关系，垂径定理
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题核心是通过作垂直于弦的辅助线，结合等腰三角形性质得到线段、角的等量关系，再通过和差推导待证结论，解题思路清晰，注重基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要证$AE=BF$，已知同圆半径$OA=OB$，且$OE=OF$，两个均为等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质证明：过O作AB的垂线，可同时得到AB和EF的中点，再通过线段的差运算即可推出$AE=BF$。
（2）要证$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，根据同圆的性质：相等的圆心角对应相等的弧，只需证圆心角$∠AOC=∠BOD$即可。同样利用等腰三角形三线合一，可得到两组相等的角，通过角的差运算即可推出两个圆心角相等，进而得到弧相等。
【解析】
（1）证明：过点O作$OM ⊥ AB$于点M。
∵ OA、OB是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，
结合$OM⊥AB$，由等腰三角形三线合一得$AM=BM$。
∵ $OE=OF$，$△ OEF$为等腰三角形，$OM⊥EF$，
由等腰三角形三线合一得$EM=FM$。
∴ $AM-EM=BM-FM$，即$AE=BF$。
（2）证明：
∵ $OM ⊥ AB$，$OA=OB$，$OE=OF$，
由等腰三角形三线合一的性质，可得$∠ AOM=∠ BOM$，$∠ EOM=∠ FOM$，
∴ $∠ AOM-∠ EOM=∠ BOM-∠ FOM$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
∵ 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
(1) $AE=BF$，得证；
(2) $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，得证。
【知识点】
等腰三角形三线合一，圆心角与弧的关系，垂径定理
【点评】
本题属于圆的基础证明题，解题核心是通过作垂直于弦的辅助线，结合等腰三角形性质得到线段、角的等量关系，再通过和差推导待证结论，解题思路清晰，注重基础性质的应用。
【难度系数】
0.7
12 已知AB是半圆O的直径，AB=6，点C在半圆O上，过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）。
（1）如图①，若CD=1，求AF的长。
（2）如图②，若BC=AF，求AF的长。
第12题图①
第12题图②
（1）如图①，若CD=1，求AF的长。
（2）如图②，若BC=AF，求AF的长。
第12题图①
第12题图②
答案
(1) 因为$AD ⊥ OC$，所以$AD=DF$。因为$AB=6$，所以$OA=OC=3$，所以$OD=OC-CD=2$。在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，所以$AF=2AD=2\sqrt{5}$。
(2) 因为$AF=BC$，所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{BF}$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BF}$。因为$AD ⊥ OC$，所以$AD=DF$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{BF}$，所以$∠ AOD=\frac{1}{3} × 180°=60°$。在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，因为$∠ AOD=60°$，所以$AD=AO · \sin∠ AOD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，所以$AF=2AD=3\sqrt{3}$。
(2) 因为$AF=BC$，所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{BF}$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BF}$。因为$AD ⊥ OC$，所以$AD=DF$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{BF}$，所以$∠ AOD=\frac{1}{3} × 180°=60°$。在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，因为$∠ AOD=60°$，所以$AD=AO · \sin∠ AOD=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，所以$AF=2AD=3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：首先利用垂径定理，由OC⊥AF可得AD=DF，即AF=2AD，因此只需求出AD的长度即可。已知直径AB长度可先算出圆的半径OA、OC的长度，结合CD=1求出OD的长度，再在直角三角形AOD中用勾股定理计算AD，最终得到AF的长度。
（2）第二问解题思路：首先根据同圆中相等的弦对应相等的弧，由AF=BC推导出弧AF=弧BC，化简可得弧AC=弧BF；再结合垂径定理，OC垂直AF可得弧AC=弧FC，因此三条弧AC、FC、BF相等，三者之和为半圆对应的180°，可求出∠AOD的度数，最后在直角三角形AOD中用三角函数求出AD，乘以2得到AF的长度。
【解析】
(1) 解：
∵ $AD ⊥ OC$，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得$AD=DF$。
∵ AB是半圆O的直径，$AB=6$，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AB=3$，
∴ $OD=OC-CD=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∴ $AF=2AD=2\sqrt{5}$。
(2) 解：
∵ 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且$AF=BC$，
∴ $\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BC}$，
即 $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{BF}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BF}$。
∵ $AD ⊥ OC$，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{BF}$，
∵ 半圆对应的圆心角为$180°$，
∴ $∠ AOD=\frac{1}{3} × 180°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AO=3$，
∴ $AD=AO · \sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AF=2AD=3\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$；（2）$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧弦圆心角的关系
【点评】
本题是圆章节的典型基础综合题，主要考查圆的基本性质的应用，解题时需熟练结合垂径定理、同圆中弧与弦的对应关系，搭配勾股定理或锐角三角函数进行计算，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
（1）第一问解题思路：首先利用垂径定理，由OC⊥AF可得AD=DF，即AF=2AD，因此只需求出AD的长度即可。已知直径AB长度可先算出圆的半径OA、OC的长度，结合CD=1求出OD的长度，再在直角三角形AOD中用勾股定理计算AD，最终得到AF的长度。
（2）第二问解题思路：首先根据同圆中相等的弦对应相等的弧，由AF=BC推导出弧AF=弧BC，化简可得弧AC=弧BF；再结合垂径定理，OC垂直AF可得弧AC=弧FC，因此三条弧AC、FC、BF相等，三者之和为半圆对应的180°，可求出∠AOD的度数，最后在直角三角形AOD中用三角函数求出AD，乘以2得到AF的长度。
【解析】
(1) 解：
∵ $AD ⊥ OC$，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得$AD=DF$。
∵ AB是半圆O的直径，$AB=6$，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AB=3$，
∴ $OD=OC-CD=3-1=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$，
∴ $AF=2AD=2\sqrt{5}$。
(2) 解：
∵ 在同圆中，相等的弦所对的弧相等，且$AF=BC$，
∴ $\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BC}$，
即 $\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{BF}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BF}$。
∵ $AD ⊥ OC$，OC是⊙O的半径，
∴ 由垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{FC}=\overset{\frown}{BF}$，
∵ 半圆对应的圆心角为$180°$，
∴ $∠ AOD=\frac{1}{3} × 180°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AO=3$，
∴ $AD=AO · \sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AF=2AD=3\sqrt{3}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$；（2）$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧弦圆心角的关系
【点评】
本题是圆章节的典型基础综合题，主要考查圆的基本性质的应用，解题时需熟练结合垂径定理、同圆中弧与弦的对应关系，搭配勾股定理或锐角三角函数进行计算，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
