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13 如图，AB是$\odot O$的直径，点C、D是$\odot O$上的点，且$OD // BC$，AC分别与BD、OD相交于点E、F。
（1）求证：点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点。
（2）若$CB = 6$，$AB = 10$，求DF的长。
（1）求证：点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点。
（2）若$CB = 6$，$AB = 10$，求DF的长。
答案
(1) 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ ACB=90°$，所以$BC ⊥ AC$。因为$OD // BC$，所以$OD ⊥ AC$，所以点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点。
(2) 由垂径定理，得F是AC中点。因为O是AB中点，所以$OF=\frac{1}{2}BC=3$。因为$OD=\frac{1}{2}AB=5$，所以$DF=OD-OF=2$。
(2) 由垂径定理，得F是AC中点。因为O是AB中点，所以$OF=\frac{1}{2}BC=3$。因为$OD=\frac{1}{2}AB=5$，所以$DF=OD-OF=2$。
解析
【分析】
（1）要证明点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，可通过垂径定理推导，即先证明OD垂直于AC。首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，可得$∠ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，再结合$OD// BC$可推出$OD⊥ AC$，即可证得D是弧AC的中点。
（2）求DF的长，观察可得$DF=OD-OF$，先分别计算OD和OF的长度：OD是圆的半径，由直径AB的长度可直接求出；再由垂径定理得F是AC中点，结合O是AB中点，可知OF是$△ ABC$的中位线，利用中位线性质可求出OF的长度，代入计算即可得到DF的长。
【解析】
（1）证明：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，
又
∵$OD// BC$，
∴$OD⊥ AC$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点。
（2）解：
由（1）中$OD⊥ AC$，根据垂径定理可得F是AC的中点，
又
∵O是AB的中点，
∴OF是$△ ABC$的中位线，
∴$OF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
∵OD是$\odot O$的半径，$AB=10$，
∴$OD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$DF=OD-OF=5-3=2$。
【答案】
（1）点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，证明成立；（2）DF的长为$\boxed{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的基本性质和三角形知识点结合考查，解题的核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、垂径定理、中位线性质等基础知识点，理清线段之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，可通过垂径定理推导，即先证明OD垂直于AC。首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，可得$∠ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，再结合$OD// BC$可推出$OD⊥ AC$，即可证得D是弧AC的中点。
（2）求DF的长，观察可得$DF=OD-OF$，先分别计算OD和OF的长度：OD是圆的半径，由直径AB的长度可直接求出；再由垂径定理得F是AC中点，结合O是AB中点，可知OF是$△ ABC$的中位线，利用中位线性质可求出OF的长度，代入计算即可得到DF的长。
【解析】
（1）证明：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，
又
∵$OD// BC$，
∴$OD⊥ AC$，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点。
（2）解：
由（1）中$OD⊥ AC$，根据垂径定理可得F是AC的中点，
又
∵O是AB的中点，
∴OF是$△ ABC$的中位线，
∴$OF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
∵OD是$\odot O$的半径，$AB=10$，
∴$OD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
∴$DF=OD-OF=5-3=2$。
【答案】
（1）点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，证明成立；（2）DF的长为$\boxed{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将圆的基本性质和三角形知识点结合考查，解题的核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、垂径定理、中位线性质等基础知识点，理清线段之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
14 如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，D为弧AC的中点，连接BC，过点C作$CE// AB$交OD延长线于点E。
（1）求证：四边形BOEC是平行四边形。
（2）若C为弧AB的三等分点，$AB=4$，求$\frac{DE}{DO}$的值。
（1）求证：四边形BOEC是平行四边形。
（2）若C为弧AB的三等分点，$AB=4$，求$\frac{DE}{DO}$的值。
答案
(1) 连接BD。因为$BO=DO$，所以$∠ BDO=∠ DBO$。因为D为弧AC的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ ABD=∠ CBD$，所以$∠ BDO=∠ DBC$，所以$EO // BC$。因为$EC // AB$，所以四边形BOEC是平行四边形。
(2) 连接AC、OC。因为C为弧AB的三等分点，所以$∠ AOC=\frac{1}{3} × 180°=60°$。因为$OC=OA$，所以$△ AOC$是等边三角形，所以$∠ BAC=60°$。因为AB为直径，所以$∠ ACB=90°$。因为$\sin∠ BAC=\sin60°=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$BC=2\sqrt{3}$。因为四边形BOEC为平行四边形，所以$OE=BC=2\sqrt{3}$，所以$DE=OE-OD=2\sqrt{3}-2$，所以$\frac{DE}{DO}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$。
(2) 连接AC、OC。因为C为弧AB的三等分点，所以$∠ AOC=\frac{1}{3} × 180°=60°$。因为$OC=OA$，所以$△ AOC$是等边三角形，所以$∠ BAC=60°$。因为AB为直径，所以$∠ ACB=90°$。因为$\sin∠ BAC=\sin60°=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$BC=2\sqrt{3}$。因为四边形BOEC为平行四边形，所以$OE=BC=2\sqrt{3}$，所以$DE=OE-OD=2\sqrt{3}-2$，所以$\frac{DE}{DO}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$。
解析
【分析】
（1）要证明四边形BOEC是平行四边形，已知$CE// AB$即$CE// BO$，因此只需证明另一组对边$EO// BC$即可。首先利用同圆半径相等得到$△ OBD$为等腰三角形，底角相等；再结合D是弧AC中点的条件，可得等弧对应的圆周角相等，通过等量代换得到内错角相等，即可推出$EO// BC$，结合已知的$CE// AB$，即可判定平行四边形。
（2）要求$\frac{DE}{DO}$的值，首先DO是$\odot O$的半径，由$AB=4$可得$DO=2$，因此只需算出DE的长度即可。由（1）的平行四边形性质可知$OE=BC$，因此先求BC的长度：C是弧AB的三等分点，弧AB为$180°$，可得圆心角$∠ AOC=60°$，进而推出$△ AOC$是等边三角形，得到$∠ BAC=60°$；再结合直径所对圆周角为直角，在$Rt△ ACB$中利用三角函数求出BC的长度，即可得到OE的长度，$DE=OE-OD$，最后计算比值即可。
【解析】
(1) 连接BD。
∵$BO=DO$（同圆的半径相等），
∴$∠ BDO=∠ DBO$（等腰三角形两底角相等）。
∵D为弧AC的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ ABD=∠ CBD$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ BDO=∠ DBC$（等量代换），
∴$EO // BC$（内错角相等，两直线平行）。
又
∵$EC // AB$，
∴四边形BOEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 连接AC、OC。
∵C为弧AB的三等分点，AB是直径，$\overset{\frown}{AB}=180°$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3} × 180°=60°$。
∵$OC=OA$（同圆的半径相等），
∴$△ AOC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴$∠ BAC=60°$。
∵AB为直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ ACB$中，$\sin∠ BAC=\sin60°=\frac{BC}{AB}$，
代入$AB=4$得：$\frac{BC}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$BC=2\sqrt{3}$。
∵四边形BOEC为平行四边形，
∴$OE=BC=2\sqrt{3}$（平行四边形对边相等），
∵OD是$\odot O$的半径，$OD=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$DE=OE-OD=2\sqrt{3}-2$，
∴$\frac{DE}{DO}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形BOEC是平行四边形；
(2) $\sqrt{3}-1$
【知识点】
平行四边形的判定，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、平行四边形的判定以及特殊三角形的计算，解题时需要灵活运用弧与角的对应关系完成角的等量转化，再结合平行四边形性质实现线段的转化，既考验逻辑推理能力，也对基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形BOEC是平行四边形，已知$CE// AB$即$CE// BO$，因此只需证明另一组对边$EO// BC$即可。首先利用同圆半径相等得到$△ OBD$为等腰三角形，底角相等；再结合D是弧AC中点的条件，可得等弧对应的圆周角相等，通过等量代换得到内错角相等，即可推出$EO// BC$，结合已知的$CE// AB$，即可判定平行四边形。
（2）要求$\frac{DE}{DO}$的值，首先DO是$\odot O$的半径，由$AB=4$可得$DO=2$，因此只需算出DE的长度即可。由（1）的平行四边形性质可知$OE=BC$，因此先求BC的长度：C是弧AB的三等分点，弧AB为$180°$，可得圆心角$∠ AOC=60°$，进而推出$△ AOC$是等边三角形，得到$∠ BAC=60°$；再结合直径所对圆周角为直角，在$Rt△ ACB$中利用三角函数求出BC的长度，即可得到OE的长度，$DE=OE-OD$，最后计算比值即可。
【解析】
(1) 连接BD。
∵$BO=DO$（同圆的半径相等），
∴$∠ BDO=∠ DBO$（等腰三角形两底角相等）。
∵D为弧AC的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ ABD=∠ CBD$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ BDO=∠ DBC$（等量代换），
∴$EO // BC$（内错角相等，两直线平行）。
又
∵$EC // AB$，
∴四边形BOEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 连接AC、OC。
∵C为弧AB的三等分点，AB是直径，$\overset{\frown}{AB}=180°$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3} × 180°=60°$。
∵$OC=OA$（同圆的半径相等），
∴$△ AOC$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
∴$∠ BAC=60°$。
∵AB为直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ ACB$中，$\sin∠ BAC=\sin60°=\frac{BC}{AB}$，
代入$AB=4$得：$\frac{BC}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$BC=2\sqrt{3}$。
∵四边形BOEC为平行四边形，
∴$OE=BC=2\sqrt{3}$（平行四边形对边相等），
∵OD是$\odot O$的半径，$OD=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$DE=OE-OD=2\sqrt{3}-2$，
∴$\frac{DE}{DO}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1) 证明成立，四边形BOEC是平行四边形；
(2) $\sqrt{3}-1$
【知识点】
平行四边形的判定，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、平行四边形的判定以及特殊三角形的计算，解题时需要灵活运用弧与角的对应关系完成角的等量转化，再结合平行四边形性质实现线段的转化，既考验逻辑推理能力，也对基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
15 某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12 m，AB离地面的高度AE为5 m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9 m。现要在拱顶的M、N处安装照明灯。
(1) 求$\odot O$的半径OA的长。
(2) 若安装的两组照明灯M、N离地面的高度均为8.5 m，求M、N之间的水平距离。
(1) 求$\odot O$的半径OA的长。
(2) 若安装的两组照明灯M、N离地面的高度均为8.5 m，求M、N之间的水平距离。
答案
(1) 如图，设AB、CD交于点G，MN、CD交于点H。设$\odot O$的半径OA的长为r m。因为$OC ⊥ AB$，$AB=12\ \mathrm{m}$，所以$AG=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$。因为$AE=5\ \mathrm{m}$，所以$DG=AE=5\ \mathrm{m}$。因为$CD=9\ \mathrm{m}$，所以$CG=CD-DG=9-5=4(\mathrm{m})$，所以$OG=OC-CG=(r-4)\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理，得$AG^2+OG^2=AO^2$，所以$6^2+(r-4)^2=r^2$，解得$r=6.5$，所以$\odot O$的半径OA的长是6.5 m。
(2) 连接OM。因为$HD=8.5\ \mathrm{m}$，所以$GH=HD-DG=8.5-5=3.5(\mathrm{m})$。因为$OG=r-4=6.5-4=2.5(\mathrm{m})$，所以$OH=OG+GH=2.5+3.5=6(\mathrm{m})$。在$\mathrm{Rt}△ OHM$中，由勾股定理，得$MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{6.5^2-6^2}=2.5(\mathrm{m})$，所以$MN=2MH=2 × 2.5=5(\mathrm{m})$，所以M、N之间的水平距离是5 m。
解析
【分析】
(1) 求⊙O的半径时，首先根据垂径定理可得OC垂直平分AB，得到AG的长度；再结合给出的地面高度，用含半径r的代数式表示出Rt△AOG的各边长度，最后利用勾股定理列方程即可解出半径r。
(2) 求M、N的水平距离时，先根据照明灯的离地高度算出圆心O到弦MN的距离OH，再结合垂径定理可知MN=2MH，在Rt△OHM中利用勾股定理求出MH的长度，即可得到MN的长度。
【解析】
(1) 如图，设AB、CD交于点G，MN、CD交于点H。设$\odot O$的半径OA的长为r m。因为$OC ⊥ AB$，$AB=12\ \mathrm{m}$，所以$AG=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$。因为$AE=5\ \mathrm{m}$，所以$DG=AE=5\ \mathrm{m}$。因为$CD=9\ \mathrm{m}$，所以$CG=CD-DG=9-5=4(\mathrm{m})$，所以$OG=OC-CG=(r-4)\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理，得$AG^2+OG^2=AO^2$，所以$6^2+(r-4)^2=r^2$，解得$r=6.5$，所以$\odot O$的半径OA的长是6.5 m。
(2) 连接OM。因为$HD=8.5\ \mathrm{m}$，所以$GH=HD-DG=8.5-5=3.5(\mathrm{m})$。因为$OG=r-4=6.5-4=2.5(\mathrm{m})$，所以$OH=OG+GH=2.5+3.5=6(\mathrm{m})$。在$\mathrm{Rt}△ OHM$中，由勾股定理，得$MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{6.5^2-6^2}=2.5(\mathrm{m})$，所以$MN=2MH=2 × 2.5=5(\mathrm{m})$，所以M、N之间的水平距离是5 m。
【答案】
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题结合隧道的实际场景考查圆的相关计算，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，将实际生活中的高度、宽度转化为几何图形的线段长度，再通过勾股定理求解，考查学生的几何建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求⊙O的半径时，首先根据垂径定理可得OC垂直平分AB，得到AG的长度；再结合给出的地面高度，用含半径r的代数式表示出Rt△AOG的各边长度，最后利用勾股定理列方程即可解出半径r。
(2) 求M、N的水平距离时，先根据照明灯的离地高度算出圆心O到弦MN的距离OH，再结合垂径定理可知MN=2MH，在Rt△OHM中利用勾股定理求出MH的长度，即可得到MN的长度。
【解析】
(1) 如图，设AB、CD交于点G，MN、CD交于点H。设$\odot O$的半径OA的长为r m。因为$OC ⊥ AB$，$AB=12\ \mathrm{m}$，所以$AG=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$。因为$AE=5\ \mathrm{m}$，所以$DG=AE=5\ \mathrm{m}$。因为$CD=9\ \mathrm{m}$，所以$CG=CD-DG=9-5=4(\mathrm{m})$，所以$OG=OC-CG=(r-4)\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理，得$AG^2+OG^2=AO^2$，所以$6^2+(r-4)^2=r^2$，解得$r=6.5$，所以$\odot O$的半径OA的长是6.5 m。
(2) 连接OM。因为$HD=8.5\ \mathrm{m}$，所以$GH=HD-DG=8.5-5=3.5(\mathrm{m})$。因为$OG=r-4=6.5-4=2.5(\mathrm{m})$，所以$OH=OG+GH=2.5+3.5=6(\mathrm{m})$。在$\mathrm{Rt}△ OHM$中，由勾股定理，得$MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{6.5^2-6^2}=2.5(\mathrm{m})$，所以$MN=2MH=2 × 2.5=5(\mathrm{m})$，所以M、N之间的水平距离是5 m。
【答案】
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题结合隧道的实际场景考查圆的相关计算，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，将实际生活中的高度、宽度转化为几何图形的线段长度，再通过勾股定理求解，考查学生的几何建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
