13 如图，AB是$\odot O$的直径，点C、D是$\odot O$上的点，且$OD // BC$，AC分别与BD、OD相交于点E、F。
（1）求证：点D为$\overset{\frown}{AC}$的中点。
（2）若$CB = 6$，$AB = 10$，求DF的长。

(1) 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ ACB=90°$，所以$BC ⊥ AC$。因为$OD // BC$，所以$OD ⊥ AC$，所以点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点。
(2) 由垂径定理，得F是AC中点。因为O是AB中点，所以$OF=\frac{1}{2}BC=3$。因为$OD=\frac{1}{2}AB=5$，所以$DF=OD-OF=2$。

14 如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，D为弧AC的中点，连接BC，过点C作$CE// AB$交OD延长线于点E。
（1）求证：四边形BOEC是平行四边形。
（2）若C为弧AB的三等分点，$AB=4$，求$\frac{DE}{DO}$的值。

(1) 连接BD。因为$BO=DO$，所以$∠ BDO=∠ DBO$。因为D为弧AC的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$∠ ABD=∠ CBD$，所以$∠ BDO=∠ DBC$，所以$EO // BC$。因为$EC // AB$，所以四边形BOEC是平行四边形。
(2) 连接AC、OC。因为C为弧AB的三等分点，所以$∠ AOC=\frac{1}{3} × 180°=60°$。因为$OC=OA$，所以$△ AOC$是等边三角形，所以$∠ BAC=60°$。因为AB为直径，所以$∠ ACB=90°$。因为$\sin∠ BAC=\sin60°=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$BC=2\sqrt{3}$。因为四边形BOEC为平行四边形，所以$OE=BC=2\sqrt{3}$，所以$DE=OE-OD=2\sqrt{3}-2$，所以$\frac{DE}{DO}=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}=\sqrt{3}-1$。

15 某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12 m，AB离地面的高度AE为5 m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9 m。现要在拱顶的M、N处安装照明灯。
(1) 求$\odot O$的半径OA的长。
(2) 若安装的两组照明灯M、N离地面的高度均为8.5 m，求M、N之间的水平距离。

(1) 如图，设AB、CD交于点G，MN、CD交于点H。设$\odot O$的半径OA的长为r m。因为$OC ⊥ AB$，$AB=12\ \mathrm{m}$，所以$AG=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$。因为$AE=5\ \mathrm{m}$，所以$DG=AE=5\ \mathrm{m}$。因为$CD=9\ \mathrm{m}$，所以$CG=CD-DG=9-5=4(\mathrm{m})$，所以$OG=OC-CG=(r-4)\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理，得$AG^2+OG^2=AO^2$，所以$6^2+(r-4)^2=r^2$，解得$r=6.5$，所以$\odot O$的半径OA的长是6.5 m。
(2) 连接OM。因为$HD=8.5\ \mathrm{m}$，所以$GH=HD-DG=8.5-5=3.5(\mathrm{m})$。因为$OG=r-4=6.5-4=2.5(\mathrm{m})$，所以$OH=OG+GH=2.5+3.5=6(\mathrm{m})$。在$\mathrm{Rt}△ OHM$中，由勾股定理，得$MH=\sqrt{OM^2-OH^2}=\sqrt{6.5^2-6^2}=2.5(\mathrm{m})$，所以$MN=2MH=2 × 2.5=5(\mathrm{m})$，所以M、N之间的水平距离是5 m。