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1 下列说法中,正确的是(
A.周长相等的圆是等圆
B.过任意三点可以画一个圆
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.平分弦的直径垂直于弦
A
)。A.周长相等的圆是等圆
B.过任意三点可以画一个圆
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.平分弦的直径垂直于弦
答案
A
解析
【分析】
本题属于圆的相关概念辨析题，解题时需逐个分析每个选项对应的定理及成立的前提条件，逐一排除错误选项，最终得到正确答案。首先回忆等圆的定义、确定圆的条件、圆心角与弧的关系定理、垂径定理推论的完整内容，再对应判断每个选项的正误。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：圆的周长公式为$C=2π r$，若两个圆周长相等，则二者半径$r$相等，半径相等的圆是等圆，故该说法正确。
选项B：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法画出过这三点的圆，故该说法错误。
选项C：“相等的圆心角所对的弧相等”的前提是在同圆或等圆中，缺少该前提时，即使圆心角相等，因圆的半径不同，对应的弧长也不相等，故该说法错误。
选项D：“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，若两条都是直径，它们互相平分但不一定垂直，故该说法错误。
【答案】
A
【知识点】
等圆的判定；确定圆的条件；垂径定理
【点评】
本题是基础类概念题，重点考查圆的相关定理的适用前提，解题时容易因忽略定理的限制条件错选其他选项，学习概念和定理时要牢记其完整内容和适用范围。
【难度系数】
0.8
本题属于圆的相关概念辨析题，解题时需逐个分析每个选项对应的定理及成立的前提条件，逐一排除错误选项，最终得到正确答案。首先回忆等圆的定义、确定圆的条件、圆心角与弧的关系定理、垂径定理推论的完整内容，再对应判断每个选项的正误。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：圆的周长公式为$C=2π r$，若两个圆周长相等，则二者半径$r$相等，半径相等的圆是等圆，故该说法正确。
选项B：只有不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三点共线则无法画出过这三点的圆，故该说法错误。
选项C：“相等的圆心角所对的弧相等”的前提是在同圆或等圆中，缺少该前提时，即使圆心角相等，因圆的半径不同，对应的弧长也不相等，故该说法错误。
选项D：“平分弦的直径垂直于弦”的前提是被平分的弦不是直径，若两条都是直径，它们互相平分但不一定垂直，故该说法错误。
【答案】
A
【知识点】
等圆的判定；确定圆的条件；垂径定理
【点评】
本题是基础类概念题，重点考查圆的相关定理的适用前提，解题时容易因忽略定理的限制条件错选其他选项，学习概念和定理时要牢记其完整内容和适用范围。
【难度系数】
0.8
2 如图，已知$\odot O$是$△ ABD$的外接圆，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，$∠ ABD = 58°$，则$∠ BCD$等于（
A.$116°$
B.$32°$
C.$58°$
D.$64°$
B
）。A.$116°$
B.$32°$
C.$58°$
D.$64°$
答案
B
解析
【分析】
首先观察题干条件，AB是⊙O的直径，可先利用直径对应的圆周角为直角，得到△ABD是直角三角形，再结合已知∠ABD的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠BAD和∠BCD都对应弧BD，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=58°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-58°=32°，
又
∵∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BCD=∠BAD=32°（同弧所对的圆周角相等）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理的相关推论，先通过直径的性质得到直角三角形，再结合同弧圆周角相等的性质求解即可。
【难度系数】
0.8
首先观察题干条件，AB是⊙O的直径，可先利用直径对应的圆周角为直角，得到△ABD是直角三角形，再结合已知∠ABD的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，∠BAD和∠BCD都对应弧BD，即可求出∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=58°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-58°=32°，
又
∵∠BCD和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠BCD=∠BAD=32°（同弧所对的圆周角相等）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握圆周角定理的相关推论，先通过直径的性质得到直角三角形，再结合同弧圆周角相等的性质求解即可。
【难度系数】
0.8
3 如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为(
A.2 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$2\sqrt{3}$ cm
D.$2\sqrt{5}$ cm
C
)。A.2 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$2\sqrt{3}$ cm
D.$2\sqrt{5}$ cm
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质分析：折叠后圆弧经过圆心O，说明圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半。接下来利用圆的垂径定理，过圆心作AB的垂线，可将AB分为相等的两段，再在构造出的直角三角形中用勾股定理计算半弦长，即可得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由折叠的性质可知，OC等于半径的一半，已知圆的半径OA=2cm，因此OC=1cm。
在Rt△OAC中，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据垂径定理，OC垂直平分AB，因此$AB=2AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题核心是通过作垂直于弦的半径构造直角三角形，结合折叠性质找到线段长度关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合折叠的性质分析：折叠后圆弧经过圆心O，说明圆心O到折痕AB的距离等于半径的一半。接下来利用圆的垂径定理，过圆心作AB的垂线，可将AB分为相等的两段，再在构造出的直角三角形中用勾股定理计算半弦长，即可得到AB的总长度。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
由折叠的性质可知，OC等于半径的一半，已知圆的半径OA=2cm，因此OC=1cm。
在Rt△OAC中，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据垂径定理，OC垂直平分AB，因此$AB=2AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，解题核心是通过作垂直于弦的半径构造直角三角形，结合折叠性质找到线段长度关系，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4 已知线段$AB=6\ \mathrm{cm}$，则过$A$、$B$两点的最小圆的半径为
3
cm，过$A$、$B$两点无
（填“有”或“无”）最大圆。答案
3，无
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确过A、B两点的圆的圆心的位置特征：所有过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离都相等，因此圆心都在线段AB的垂直平分线上。圆的半径等于圆心到点A（或点B）的距离，要找最小半径，就是找垂直平分线上到A点距离最小的点；而判断是否存在最大圆，只需看半径是否能无限增大即可。
【解析】
1. 求最小圆的半径：
过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，根据“垂线段最短”的性质，当圆心为线段AB的中点时，圆心到A点的距离最小，此时圆的半径最小，为$r=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 判断是否存在最大圆：
由于线段AB的垂直平分线是可以向两端无限延伸的直线，圆心可以在垂直平分线上取到距离AB任意远的位置，对应的圆的半径可以无限大，因此过A、B两点没有最大圆。
【答案】
3，无
【知识点】
圆的确定条件；线段垂直平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题考查过两点的圆的基本特征，解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹，结合距离最值的相关性质分析即可，整体难度较低，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确过A、B两点的圆的圆心的位置特征：所有过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离都相等，因此圆心都在线段AB的垂直平分线上。圆的半径等于圆心到点A（或点B）的距离，要找最小半径，就是找垂直平分线上到A点距离最小的点；而判断是否存在最大圆，只需看半径是否能无限增大即可。
【解析】
1. 求最小圆的半径：
过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，根据“垂线段最短”的性质，当圆心为线段AB的中点时，圆心到A点的距离最小，此时圆的半径最小，为$r=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{cm}$。
2. 判断是否存在最大圆：
由于线段AB的垂直平分线是可以向两端无限延伸的直线，圆心可以在垂直平分线上取到距离AB任意远的位置，对应的圆的半径可以无限大，因此过A、B两点没有最大圆。
【答案】
3，无
【知识点】
圆的确定条件；线段垂直平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题考查过两点的圆的基本特征，解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹，结合距离最值的相关性质分析即可，整体难度较低，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
5 已知$\odot O$的半径为13 cm，弦AB的长为10 cm，则圆心O到AB的距离为
12
cm。答案
12
解析
【分析】
遇到求圆心到弦的距离的问题，首先想到运用垂径定理求解：先过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足会平分弦，此时半径、半弦长、弦心距恰好构成直角三角形，再结合勾股定理即可算出弦心距的长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5\ \mathrm{cm}$。
已知$\odot O$的半径$OA=13\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算类题型，核心考查垂径定理的应用，解题关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形模型，该模型是圆中线段长度计算的常用模型，熟练掌握即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
遇到求圆心到弦的距离的问题，首先想到运用垂径定理求解：先过圆心作弦的垂线，根据垂径定理，垂足会平分弦，此时半径、半弦长、弦心距恰好构成直角三角形，再结合勾股定理即可算出弦心距的长度。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理可得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5\ \mathrm{cm}$。
已知$\odot O$的半径$OA=13\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算类题型，核心考查垂径定理的应用，解题关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形模型，该模型是圆中线段长度计算的常用模型，熟练掌握即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
6 如图，在$\odot O$中，弦$AB // CD$，若$∠ ABC = 35°$，则$∠ BOD$的度数为
$70°$
。答案
$70°$
解析
【分析】
解题时可分两步推导：第一步，利用平行线的内错角相等的性质，结合已知的∠ABC的度数，求出∠BCD的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，找到∠BCD和∠BOD的对应关系，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BCD = ∠ABC = 35°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠BOD = 2∠BCD = 2×35° = 70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别平行线间的内错角，以及同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步推导：第一步，利用平行线的内错角相等的性质，结合已知的∠ABC的度数，求出∠BCD的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，找到∠BCD和∠BOD的对应关系，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BCD = ∠ABC = 35°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠BOD = 2∠BCD = 2×35° = 70°。
【答案】
$70°$
【知识点】
平行线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确识别平行线间的内错角，以及同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7 如图，C为弧AB的中点，CN ⊥ OB于点N，CD ⊥ OA于点M，CD＝4 cm，则CN＝
2
cm。答案
2
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：1. 由C是弧AB的中点，可联想到同圆中相等的弧所对的圆心角相等，因此连接辅助线OC，可得OC平分∠AOB；2. 看到弦CD⊥OA，结合垂径定理可求出点C到OA的距离CM的长度；3. CN是点C到OB的距离，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到CN与CM相等，进而求出CN的长度。
【解析】
解：连接OC。
∵ C为弧AB的中点，
∴ 弧AC = 弧BC，
∴ ∠AOC = ∠BOC，即OC平分∠AOB。
∵ CD⊥OA于点M，根据垂径定理，
∴ CM = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×4 = 2（cm），即点C到OA的距离为2cm。
又
∵ CN⊥OB，OC平分∠AOB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CN = CM = 2 cm。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，弧与圆心角的关系，角平分线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，结合圆的基本性质和角平分线的性质即可快速求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：1. 由C是弧AB的中点，可联想到同圆中相等的弧所对的圆心角相等，因此连接辅助线OC，可得OC平分∠AOB；2. 看到弦CD⊥OA，结合垂径定理可求出点C到OA的距离CM的长度；3. CN是点C到OB的距离，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到CN与CM相等，进而求出CN的长度。
【解析】
解：连接OC。
∵ C为弧AB的中点，
∴ 弧AC = 弧BC，
∴ ∠AOC = ∠BOC，即OC平分∠AOB。
∵ CD⊥OA于点M，根据垂径定理，
∴ CM = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×4 = 2（cm），即点C到OA的距离为2cm。
又
∵ CN⊥OB，OC平分∠AOB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CN = CM = 2 cm。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，弧与圆心角的关系，角平分线的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，结合圆的基本性质和角平分线的性质即可快速求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
⑧ 如图，$\odot O$的直径$AB$垂直于弦$CD$，垂足为$E$，$M$是弦$AD$上一点，连接$CM$交$AB$于点$F$，连接$BC$，$∠ BCD = ∠ DCM$，$AB = 12$，$OF = 2$，则$CD =$
$4\sqrt{5}$
。答案
$4\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先观察题目条件，直径AB垂直弦CD，优先考虑垂径定理，可得CE=DE，且△CEB、△CEF均为直角三角形。已知∠BCD=∠DCM，这两个角分别在Rt△CEB和Rt△CEF中，结合三角函数的定义，等角的同名三角函数值相等，可推出BE=EF。再结合已知的OF=2、圆的半径为6，即可求出OE的长度，最后在Rt△OCE中用勾股定理求出CE，乘以2就是CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$，
∴$\odot O$的半径$OC=OB=6$。
∵$AB⊥ CD$，由垂径定理得：$CE=DE$，且$∠ CEB=∠ CEF=90°$。
在$Rt△ CEB$中，$\tan∠ BCD=\frac{BE}{CE}$；
在$Rt△ CEF$中，$\tan∠ DCM=\frac{EF}{CE}$；
∵$∠ BCD=∠ DCM$，
∴$\tan∠ BCD=\tan∠ DCM$，即$\frac{BE}{CE}=\frac{EF}{CE}$，
∴$BE=EF$。
设$OE=x$，由图形位置可知E在F右侧，
则$EF=OE-OF=x-2$，$BE=OB-OE=6-x$，
∴$6-x=x-2$，解得$x=4$，即$OE=4$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$CD=2CE=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与直角三角形的相关计算，解题关键是通过等角的正切值相等推导出BE=EF，进而求出OE的长度，需要学生熟练掌握垂径定理和直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6
首先观察题目条件，直径AB垂直弦CD，优先考虑垂径定理，可得CE=DE，且△CEB、△CEF均为直角三角形。已知∠BCD=∠DCM，这两个角分别在Rt△CEB和Rt△CEF中，结合三角函数的定义，等角的同名三角函数值相等，可推出BE=EF。再结合已知的OF=2、圆的半径为6，即可求出OE的长度，最后在Rt△OCE中用勾股定理求出CE，乘以2就是CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$，
∴$\odot O$的半径$OC=OB=6$。
∵$AB⊥ CD$，由垂径定理得：$CE=DE$，且$∠ CEB=∠ CEF=90°$。
在$Rt△ CEB$中，$\tan∠ BCD=\frac{BE}{CE}$；
在$Rt△ CEF$中，$\tan∠ DCM=\frac{EF}{CE}$；
∵$∠ BCD=∠ DCM$，
∴$\tan∠ BCD=\tan∠ DCM$，即$\frac{BE}{CE}=\frac{EF}{CE}$，
∴$BE=EF$。
设$OE=x$，由图形位置可知E在F右侧，
则$EF=OE-OF=x-2$，$BE=OB-OE=6-x$，
∴$6-x=x-2$，解得$x=4$，即$OE=4$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$CD=2CE=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与直角三角形的相关计算，解题关键是通过等角的正切值相等推导出BE=EF，进而求出OE的长度，需要学生熟练掌握垂径定理和直角三角形的边角关系。
【难度系数】
0.6
9 如图是一种古老的灌溉工具水车的平面示意图，其主体是一个圆形，被分成8等份，三角形OAB是水车的支架，水车的支架固定不动，主体可绕着圆心O旋转，已知$∠ AOB=60°$，若OC平分$∠ AOB$，则$∠ BOD$的度数为
$15°$
。答案
$15°$
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先，周角为360°，已知圆形被8等分，可先计算出每等份对应的圆心角大小；其次，利用角平分线的定义，结合已知∠AOB=60°，求出∠COB的度数；最后观察图形可知∠COD为1份等份的圆心角，用∠COD减去∠COB即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ 周角为360°，圆形被平均分成8等份，
∴ 每等份对应的圆心角为 $\frac{360°}{8}=45°$，即 $∠ COD=45°$。
∵ OC平分$∠ AOB$，$∠ AOB=60°$，
∴ $∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∴ $∠ BOD=∠ COD - ∠ COB=45° - 30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
角平分线的定义，周角的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活中的水车场景考查角度的基础计算，解题关键是准确求出圆等分后每份的圆心角，再结合角平分线的性质求解，属于基础题。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件逐步推导：首先，周角为360°，已知圆形被8等分，可先计算出每等份对应的圆心角大小；其次，利用角平分线的定义，结合已知∠AOB=60°，求出∠COB的度数；最后观察图形可知∠COD为1份等份的圆心角，用∠COD减去∠COB即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ 周角为360°，圆形被平均分成8等份，
∴ 每等份对应的圆心角为 $\frac{360°}{8}=45°$，即 $∠ COD=45°$。
∵ OC平分$∠ AOB$，$∠ AOB=60°$，
∴ $∠ COB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∴ $∠ BOD=∠ COD - ∠ COB=45° - 30°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
角平分线的定义，周角的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活中的水车场景考查角度的基础计算，解题关键是准确求出圆等分后每份的圆心角，再结合角平分线的性质求解，属于基础题。
【难度系数】
0.8
