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13 已知$\odot O$的直径为10，点$A$、点$B$、点$C$在$\odot O$上，$∠ CAB$的平分线交$\odot O$于点$D$。
（1）如图①，若$BC$为$\odot O$的直径，$AB=6$，求$AC$、$BD$、$CD$的长。
（2）如图②，若$∠ CAB=60°$，求$BD$的长。
（1）如图①，若$BC$为$\odot O$的直径，$AB=6$，求$AC$、$BD$、$CD$的长。
（2）如图②，若$∠ CAB=60°$，求$BD$的长。
答案
(1) 因为BC是$\odot O$的直径,所以$∠ CAB=∠ BDC=90°$。在直角$△ CAB$中,$BC=10$,$AB=6$,所以由勾股定理,得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。因为AD平分$∠ CAB$,所以$∠ CAD=∠ BAD$,所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$,所以$CD=BD$。在直角$△ BDC$中,$BC=10$,$CD^2+BD^2=BC^2$,所以$BD=CD=5\sqrt{2}$。
(2) 连接OB、OD。因为AD平分$∠ CAB$,且$∠ CAB=60°$,所以$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$,所以$∠ DOB=2∠ DAB=60°$。又因为$OB=OD$,所以$△ OBD$是等边三角形,所以$BD=OB=OD$。因为$\odot O$的直径为10,则$OB=5$,所以$BD=5$。
(2) 连接OB、OD。因为AD平分$∠ CAB$,且$∠ CAB=60°$,所以$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$,所以$∠ DOB=2∠ DAB=60°$。又因为$OB=OD$,所以$△ OBD$是等边三角形,所以$BD=OB=OD$。因为$\odot O$的直径为10,则$OB=5$,所以$BD=5$。
解析
【分析】
（1）第一问先利用“直径所对的圆周角为直角”的性质，确定$△ CAB$是直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，用勾股定理即可计算$AC$的长度；再根据角平分线定义得到相等的圆周角，由“相等的圆周角所对的弧相等”推出$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到弦$CD=BD$；最后在$Rt△ BDC$中再次利用勾股定理求出$BD$、$CD$的长度。
（2）第二问先连接$OB$、$OD$，由角平分线定义求出$∠ DAB$的度数，再根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”求出圆心角$∠ DOB$的度数，结合$OB=OD$可判定$△ OBD$是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，结合圆的半径长度即可求出$BD$的长。
【解析】
(1) $\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDC=90°$。
在$Rt△ CAB$中，$BC=10$，$AB=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore CD=BD$。
在$Rt△ BDC$中，$BC=10$，$CD^2+BD^2=BC^2$，代入$CD=BD$得：
$2BD^2=100$，解得$BD=CD=5\sqrt{2}$。
(2) 连接$OB$、$OD$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，$∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ DOB=2∠ DAB=60°$。
又$\because OB=OD$，
$\therefore △ OBD$是等边三角形，
$\therefore BD=OB$。
$\because \odot O$的直径为10，
$\therefore$半径$OB=5$，
$\therefore BD=5$。
【答案】
(1) $AC=8$，$BD=5\sqrt{2}$，$CD=5\sqrt{2}$；
(2) $BD=5$。
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了圆的性质与三角形的计算、判定相关知识，解题的关键是熟练运用圆周角定理及其推论转化角与弧、弦的关系，掌握辅助线的构造技巧，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先利用“直径所对的圆周角为直角”的性质，确定$△ CAB$是直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，用勾股定理即可计算$AC$的长度；再根据角平分线定义得到相等的圆周角，由“相等的圆周角所对的弧相等”推出$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到弦$CD=BD$；最后在$Rt△ BDC$中再次利用勾股定理求出$BD$、$CD$的长度。
（2）第二问先连接$OB$、$OD$，由角平分线定义求出$∠ DAB$的度数，再根据“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”求出圆心角$∠ DOB$的度数，结合$OB=OD$可判定$△ OBD$是等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，结合圆的半径长度即可求出$BD$的长。
【解析】
(1) $\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ CAB=∠ BDC=90°$。
在$Rt△ CAB$中，$BC=10$，$AB=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，
$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore CD=BD$。
在$Rt△ BDC$中，$BC=10$，$CD^2+BD^2=BC^2$，代入$CD=BD$得：
$2BD^2=100$，解得$BD=CD=5\sqrt{2}$。
(2) 连接$OB$、$OD$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，$∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$，
$\therefore ∠ DOB=2∠ DAB=60°$。
又$\because OB=OD$，
$\therefore △ OBD$是等边三角形，
$\therefore BD=OB$。
$\because \odot O$的直径为10，
$\therefore$半径$OB=5$，
$\therefore BD=5$。
【答案】
(1) $AC=8$，$BD=5\sqrt{2}$，$CD=5\sqrt{2}$；
(2) $BD=5$。
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了圆的性质与三角形的计算、判定相关知识，解题的关键是熟练运用圆周角定理及其推论转化角与弧、弦的关系，掌握辅助线的构造技巧，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
14 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD//BC，OD与AC交于点E。
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数。
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长。
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数。
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长。
答案
(1) 因为AB是半圆O的直径,所以$∠ ACB=90°$。因为$OD// BC$,所以$∠ AEO=∠ ACB=90°$,即$OE⊥ AC$,$∠ CAB=90°-∠ B=90°-70°=20°$,$∠ AOD=∠ B=70°$。因为$OA=OD$,所以$∠ DAO=∠ ADO=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$,所以$∠ CAD=55°-20°=35°$。
(2) 在直角$△ ABC$中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{7}$。因为$OE⊥ AC$,所以$AE=EC$。又因为$OA=OB$,所以$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{7}}{2}$。又因为$OD=\frac{1}{2}AB=2$,所以$DE=OD-OE=2-\frac{\sqrt{7}}{2}$。
(2) 在直角$△ ABC$中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{7}$。因为$OE⊥ AC$,所以$AE=EC$。又因为$OA=OB$,所以$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{7}}{2}$。又因为$OD=\frac{1}{2}AB=2$,所以$DE=OD-OE=2-\frac{\sqrt{7}}{2}$。
解析
【分析】
（1）求解角度时，首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠ACB=90°，结合OD//BC的条件，可得OE⊥AC，同时推出∠AOD=∠B、算出∠CAB的度数；再根据同圆半径相等得OA=OD，可知△OAD为等腰三角形，求出∠DAO的度数后，用∠DAO减去∠CAB即可得到∠CAD的度数。
（2）求解线段长时，先在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长度；由OE⊥AC可得E是AC中点，结合O是AB中点，可知OE是△ABC的中位线，据此求出OE的长度；最后用半径OD的长度减去OE的长度，就能得到DE的长。
【解析】
(1)
∵AB是半圆O的直径，
∴$∠ ACB=90°$。
∵$OD// BC$，
∴$∠ AEO=∠ ACB=90°$，即$OE⊥ AC$，且$∠ AOD=∠ B=70°$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB=90°-∠ B=90°-70°=20°$。
∵$OA=OD$（同圆的半径相等），
∴$△ OAD$为等腰三角形，
∴$∠ DAO=∠ ADO=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
∴$∠ CAD=∠ DAO-∠ CAB=55°-20°=35°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
∵$OE⊥ AC$，
∴$AE=EC$，又
∵$OA=OB$，
∴$OE$是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{7}}{2}$。
∵$OD$是半圆的半径，
∴$OD=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$DE=OD-OE=2-\frac{\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1) $35°$；(2) $2-\frac{\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、平行线性质、中位线性质等常见结论，实现角度和线段长度的转化，考察的均为核心基础知识点，题型较为典型。
【难度系数】
0.7
（1）求解角度时，首先利用“直径所对的圆周角为直角”得到∠ACB=90°，结合OD//BC的条件，可得OE⊥AC，同时推出∠AOD=∠B、算出∠CAB的度数；再根据同圆半径相等得OA=OD，可知△OAD为等腰三角形，求出∠DAO的度数后，用∠DAO减去∠CAB即可得到∠CAD的度数。
（2）求解线段长时，先在Rt△ABC中用勾股定理算出BC的长度；由OE⊥AC可得E是AC中点，结合O是AB中点，可知OE是△ABC的中位线，据此求出OE的长度；最后用半径OD的长度减去OE的长度，就能得到DE的长。
【解析】
(1)
∵AB是半圆O的直径，
∴$∠ ACB=90°$。
∵$OD// BC$，
∴$∠ AEO=∠ ACB=90°$，即$OE⊥ AC$，且$∠ AOD=∠ B=70°$。
在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB=90°-∠ B=90°-70°=20°$。
∵$OA=OD$（同圆的半径相等），
∴$△ OAD$为等腰三角形，
∴$∠ DAO=∠ ADO=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$，
∴$∠ CAD=∠ DAO-∠ CAB=55°-20°=35°$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$AB=4$，$AC=3$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。
∵$OE⊥ AC$，
∴$AE=EC$，又
∵$OA=OB$，
∴$OE$是$△ ABC$的中位线，
∴$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{7}}{2}$。
∵$OD$是半圆的半径，
∴$OD=\frac{1}{2}AB=2$，
∴$DE=OD-OE=2-\frac{\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
(1) $35°$；(2) $2-\frac{\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角、平行线性质、中位线性质等常见结论，实现角度和线段长度的转化，考察的均为核心基础知识点，题型较为典型。
【难度系数】
0.7
15 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点$E$，点$P$在$\odot O$上，$∠ 1 = ∠ BCD$。
（1）求证：$CB // PD$。
（2）若$BC = 3$，$\sin∠ BPD = \frac{3}{5}$，求$\odot O$的直径。
（1）求证：$CB // PD$。
（2）若$BC = 3$，$\sin∠ BPD = \frac{3}{5}$，求$\odot O$的直径。
答案
(1) 由圆周角定理,可知$∠ D=∠ 1$,又因为$∠ 1=∠ BCD$,所以$∠ D=∠ BCD$,所以$CB// PD$。
(2) 连接AC。因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ ACB=90°$。因为$CD⊥ AB$,所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠ BPD=∠ CAB$,所以$\sin∠ CAB=\sin∠ BPD=\frac{3}{5}$,即$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。因为$BC=3$,所以$AB=5$,即$\odot O$的直径是5。
(2) 连接AC。因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ ACB=90°$。因为$CD⊥ AB$,所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠ BPD=∠ CAB$,所以$\sin∠ CAB=\sin∠ BPD=\frac{3}{5}$,即$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。因为$BC=3$,所以$AB=5$,即$\odot O$的直径是5。
解析
【分析】
（1）要证明$CB// PD$，可通过证明内错角相等实现：观察图形可知$∠ D$和$∠ BCD$是一组内错角，根据圆周角定理可得$∠ D=∠ 1$，结合已知$∠ 1=∠ BCD$，等量代换即可得到内错角相等，进而判定两直线平行。
（2）求圆的直径可利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形求解：连接$AC$得到$Rt△ ACB$，根据垂径定理，$CD⊥ AB$可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，再由圆周角定理得$∠ BPD=∠ CAB$，将已知的三角函数值转化为$Rt△ ACB$中$∠ CAB$的正弦值，结合正弦定义和$BC$的长度即可求出直径$AB$。
【解析】
（1）证明：由圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ D=∠ 1$。
$\because ∠ 1=∠ BCD$，
$\therefore ∠ D=∠ BCD$，
$\therefore CB// PD$（内错角相等，两直线平行）。
（2）解：连接$AC$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
$\therefore ∠ BPD=∠ CAB$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \sin∠ CAB=\sin∠ BPD=\frac{3}{5}$。
在$Rt△ ACB$中，$\sin∠ CAB=\frac{BC}{AB}$，已知$BC=3$，
$\therefore \frac{3}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=5$，即$\odot O$的直径为5。
【答案】
(1) 已证$CB// PD$；
(2) $\odot O$的直径是$\boxed{5}$。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察圆的基本性质与三角函数的结合应用，解题关键是通过圆周角定理完成角的等量转化，结合直角三角形的性质求解线段长度，属于圆章节的典型常规题型，需要熟练掌握相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$CB// PD$，可通过证明内错角相等实现：观察图形可知$∠ D$和$∠ BCD$是一组内错角，根据圆周角定理可得$∠ D=∠ 1$，结合已知$∠ 1=∠ BCD$，等量代换即可得到内错角相等，进而判定两直线平行。
（2）求圆的直径可利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形求解：连接$AC$得到$Rt△ ACB$，根据垂径定理，$CD⊥ AB$可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，再由圆周角定理得$∠ BPD=∠ CAB$，将已知的三角函数值转化为$Rt△ ACB$中$∠ CAB$的正弦值，结合正弦定义和$BC$的长度即可求出直径$AB$。
【解析】
（1）证明：由圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ D=∠ 1$。
$\because ∠ 1=∠ BCD$，
$\therefore ∠ D=∠ BCD$，
$\therefore CB// PD$（内错角相等，两直线平行）。
（2）解：连接$AC$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
$\therefore ∠ BPD=∠ CAB$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore \sin∠ CAB=\sin∠ BPD=\frac{3}{5}$。
在$Rt△ ACB$中，$\sin∠ CAB=\frac{BC}{AB}$，已知$BC=3$，
$\therefore \frac{3}{AB}=\frac{3}{5}$，解得$AB=5$，即$\odot O$的直径为5。
【答案】
(1) 已证$CB// PD$；
(2) $\odot O$的直径是$\boxed{5}$。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察圆的基本性质与三角函数的结合应用，解题关键是通过圆周角定理完成角的等量转化，结合直角三角形的性质求解线段长度，属于圆章节的典型常规题型，需要熟练掌握相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
