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9 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC，若$BC=\sqrt{2}$，$\tan∠ ADC=1$，则$AB=$
2
。答案
2 [提示:连接AC。因为$\tan∠ ADC=1$,所以$∠ ADC=45°$,所以$∠ B=45°$。因为AB为$\odot O$的直径,所以$∠ ACB=90°$,所以$△ ACB$是等腰直角三角形。因为$BC=\sqrt{2}$,所以$AB=\sqrt{2} BC=2$。]
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：AB是⊙O的直径，我们可以联想到“直径所对的圆周角为直角”这一性质，因此优先添加辅助线连接AC，构造直角三角形ACB。其次，题目给出∠ADC的正切值，而∠ADC和∠B是同弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理可推出二者相等，即可得到∠B的度数，最后结合直角三角形的边角关系就能求出AB的长度。
【解析】
解：连接AC。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ ADC$。
已知$\tan∠ADC=1$，因此$∠ ADC=45°$，即$∠ B=45°$。
2. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得$∠ ACB=90°$，因此$△ ACB$是等腰直角三角形，$AC=BC=\sqrt{2}$。
3. 在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角性质与直角三角形计算的综合基础题，解题的核心是通过添加辅助线构造直角三角形，利用同弧所对圆周角相等完成角度转化，再结合直径的性质求解，掌握圆周角相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察题干条件：AB是⊙O的直径，我们可以联想到“直径所对的圆周角为直角”这一性质，因此优先添加辅助线连接AC，构造直角三角形ACB。其次，题目给出∠ADC的正切值，而∠ADC和∠B是同弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理可推出二者相等，即可得到∠B的度数，最后结合直角三角形的边角关系就能求出AB的长度。
【解析】
解：连接AC。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ ADC$。
已知$\tan∠ADC=1$，因此$∠ ADC=45°$，即$∠ B=45°$。
2. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可得$∠ ACB=90°$，因此$△ ACB$是等腰直角三角形，$AC=BC=\sqrt{2}$。
3. 在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆周角性质与直角三角形计算的综合基础题，解题的核心是通过添加辅助线构造直角三角形，利用同弧所对圆周角相等完成角度转化，再结合直径的性质求解，掌握圆周角相关基础性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
10 某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O旋转。从图中所示的图尺可读出$\sin∠ AOB$的值是
$\frac{4}{5}$
。答案
$\frac{4}{5}$ [提示:如图,把直径为1的圆与量角器的另一个交点记作D,连接AD。因为OD是直径,所以$∠ OAD=90°$。因为$∠ AOB+∠ AOD=90°$,$∠ AOD+∠ ADO=90°$,所以$∠ AOB=∠ ADO$。由刻度尺可知,$OA=0.8$,所以$\sin∠ AOB=\sin∠ ADO=\frac{0.8}{1}=\frac{4}{5}$。]
解析
【分析】
要求$\sin∠AOB$的值，可考虑将该角转化到直角三角形中利用三角函数定义求解。首先观察图形存在直径为1的小圆，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此先构造辅助线连接小圆直径的上端点D与点A，得到直角三角形OAD；再通过同角的余角相等，证明$∠AOB=∠ADO$，将求$\sin∠AOB$转化为求直角三角形中$∠ADO$的正弦值；最后读取刻度尺上OA的长度，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，记直径为1的圆与量角器90°刻度线的交点为D，连接AD。
1. 由圆周角定理可知：直径所对的圆周角是直角，因为OD是小圆的直径，所以$∠OAD=90°$，即$△ OAD$是直角三角形。
2. 推导角的等量关系：
$\because ∠AOB + ∠AOD = 90°$，$∠ADO + ∠AOD = 90°$
$\therefore$ 根据同角的余角相等，可得$∠AOB=∠ADO$
3. 读取刻度数值：由图中刻度尺可得$OA=0.8$，小圆直径$OD=1$。
4. 计算三角函数值：
在$Rt△ OAD$中，$\sin∠ADO=\frac{对边OA}{斜边OD}=\frac{0.8}{1}=\frac{4}{5}$
$\because ∠AOB=∠ADO$
$\therefore \sin∠AOB=\sin∠ADO=\frac{4}{5}$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等
【点评】
本题结合三角函数计算图尺的实际情境，考查了几何定理的灵活应用，解题核心是通过构造辅助线实现角的转化，将未知角的三角函数值转化为直角三角形内的边的比值，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
要求$\sin∠AOB$的值，可考虑将该角转化到直角三角形中利用三角函数定义求解。首先观察图形存在直径为1的小圆，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此先构造辅助线连接小圆直径的上端点D与点A，得到直角三角形OAD；再通过同角的余角相等，证明$∠AOB=∠ADO$，将求$\sin∠AOB$转化为求直角三角形中$∠ADO$的正弦值；最后读取刻度尺上OA的长度，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，记直径为1的圆与量角器90°刻度线的交点为D，连接AD。
1. 由圆周角定理可知：直径所对的圆周角是直角，因为OD是小圆的直径，所以$∠OAD=90°$，即$△ OAD$是直角三角形。
2. 推导角的等量关系：
$\because ∠AOB + ∠AOD = 90°$，$∠ADO + ∠AOD = 90°$
$\therefore$ 根据同角的余角相等，可得$∠AOB=∠ADO$
3. 读取刻度数值：由图中刻度尺可得$OA=0.8$，小圆直径$OD=1$。
4. 计算三角函数值：
在$Rt△ OAD$中，$\sin∠ADO=\frac{对边OA}{斜边OD}=\frac{0.8}{1}=\frac{4}{5}$
$\because ∠AOB=∠ADO$
$\therefore \sin∠AOB=\sin∠ADO=\frac{4}{5}$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
圆周角定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等
【点评】
本题结合三角函数计算图尺的实际情境，考查了几何定理的灵活应用，解题核心是通过构造辅助线实现角的转化，将未知角的三角函数值转化为直角三角形内的边的比值，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6
11 如图，在$\odot O$中，AB是直径，弦$AC=12\mathrm{cm}$，弦$BC=16\mathrm{cm}$，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D，求AD的长。
答案
在$\odot O$中,AB是直径,所以$∠ ACB=∠ ADB=90°$。因为$AC=12\ \mathrm{cm}$,$BC=16\ \mathrm{cm}$,所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=20(\mathrm{cm})$。因为CD平分$∠ ACB$,所以$∠ ACD=∠ BCD$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,所以$AD=BD$,所以$∠ BAD=45°$,所以$AD=AB·\cos45°=20×\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ACB，已知两条直角边AC、BC的长度，即可用勾股定理求出直径AB的长度；接下来CD是∠ACB的平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD与弧BD相等，进而推出弦AD=BD，结合∠ADB也是直径所对的圆周角为90°，可知△ADB是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的边长关系即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=12\mathrm{cm}$，$BC=16\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20(\mathrm{cm})$，
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACD=∠ BCD$，
∵在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$（同圆中，等弧对等弦），
∴$△ ADB$是等腰直角三角形，$∠ BAD=45°$，
∴$AD=AB·\cos45°=20×\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}(\mathrm{cm})$。
【答案】
$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，同圆中弧弦圆周角的关系
【点评】
本题是圆的基础计算题，综合考查了圆周角相关性质与勾股定理的应用，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线推出等腰直角三角形，熟练掌握圆的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到Rt△ACB，已知两条直角边AC、BC的长度，即可用勾股定理求出直径AB的长度；接下来CD是∠ACB的平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，可得弧AD与弧BD相等，进而推出弦AD=BD，结合∠ADB也是直径所对的圆周角为90°，可知△ADB是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的边长关系即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AC=12\mathrm{cm}$，$BC=16\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20(\mathrm{cm})$，
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACD=∠ BCD$，
∵在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$（同圆中，等弧对等弦），
∴$△ ADB$是等腰直角三角形，$∠ BAD=45°$，
∴$AD=AB·\cos45°=20×\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}(\mathrm{cm})$。
【答案】
$10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，同圆中弧弦圆周角的关系
【点评】
本题是圆的基础计算题，综合考查了圆周角相关性质与勾股定理的应用，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合角平分线推出等腰直角三角形，熟练掌握圆的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
12 如图，$\odot C$经过坐标原点，并与两坐标轴分别交于A、D两点，已知$∠ OBA = 30°$，点A的坐标为$(2, 0)$，求点D的坐标和圆心C的坐标。
第12题图
第12题图答案
连接AD。因为$∠ DOA=90°$,所以AD为直径,即点C在AD上。由圆周角定理,得$∠ D=∠ OBA=30°$。在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,$OA=2$,所以$OD=2\sqrt{3}$,$AD=4$,即圆的半径为2。因为$OD=2\sqrt{3}$,所以点D的坐标为$(0, 2\sqrt{3})$。点C为AD的中点,故圆心C的坐标为$(1, \sqrt{3})$。
解析
【分析】
解题时首先观察到圆与x轴、y轴交于原点O，∠DOA为直角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可判定AD是圆的直径，圆心C在AD上；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ADO=∠OBA=30°；接下来在Rt△OAD中利用直角三角形的性质计算OD、AD的长度，即可得到D点坐标；最后根据圆心是直径AD的中点，利用中点坐标公式求出C点坐标。
【解析】
连接AD，
∵ ∠DOA=90°，且点O在$\odot C$上，
∴ AD是$\odot C$的直径，即圆心C在AD上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ADO=∠OBA=30°$。
在$\mathrm{Rt}△OAD$中，$OA=2$，$∠ADO=30°$，
∴ $AD=2OA=4$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵ 点D在y轴正半轴上，
∴ 点D的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
∵ 点C是AD的中点，A点坐标为$(2,0)$，D点坐标为$(0,2\sqrt{3})$，
∴ 点C的横坐标为$\frac{2+0}{2}=1$，纵坐标为$\frac{0+2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即圆心C的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
【答案】
点D的坐标为$\boldsymbol{(0,2\sqrt{3})}$，圆心C的坐标为$\boldsymbol{(1,\sqrt{3})}$
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的突破口是利用坐标轴垂直的特点判断出直径AD，再结合圆周角定理和直角三角形的性质计算线段长度，既考查了圆的核心性质，也考查了直角三角形的计算能力，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到圆与x轴、y轴交于原点O，∠DOA为直角，根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可判定AD是圆的直径，圆心C在AD上；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ADO=∠OBA=30°；接下来在Rt△OAD中利用直角三角形的性质计算OD、AD的长度，即可得到D点坐标；最后根据圆心是直径AD的中点，利用中点坐标公式求出C点坐标。
【解析】
连接AD，
∵ ∠DOA=90°，且点O在$\odot C$上，
∴ AD是$\odot C$的直径，即圆心C在AD上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得$∠ADO=∠OBA=30°$。
在$\mathrm{Rt}△OAD$中，$OA=2$，$∠ADO=30°$，
∴ $AD=2OA=4$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵ 点D在y轴正半轴上，
∴ 点D的坐标为$(0,2\sqrt{3})$。
∵ 点C是AD的中点，A点坐标为$(2,0)$，D点坐标为$(0,2\sqrt{3})$，
∴ 点C的横坐标为$\frac{2+0}{2}=1$，纵坐标为$\frac{0+2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即圆心C的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
【答案】
点D的坐标为$\boldsymbol{(0,2\sqrt{3})}$，圆心C的坐标为$\boldsymbol{(1,\sqrt{3})}$
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，中点坐标公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的突破口是利用坐标轴垂直的特点判断出直径AD，再结合圆周角定理和直角三角形的性质计算线段长度，既考查了圆的核心性质，也考查了直角三角形的计算能力，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
