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1 如图，A、B、C三点在$\odot O$上，且$∠ BOC＝100°$，则$∠ A$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
B
）。A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察两个角的位置与所对的弧：∠BOC是以圆心O为顶点的圆心角，∠A是以圆上点为顶点的圆周角，二者所对的弧都是弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用圆心角的度数除以2即可得到∠A的度数。
【解析】
∵ ∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ $∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC$
代入$∠ BOC=100°$，得$∠ A = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确判断出同一段弧对应的圆心角和圆周角，牢记定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个角的位置与所对的弧：∠BOC是以圆心O为顶点的圆心角，∠A是以圆上点为顶点的圆周角，二者所对的弧都是弧BC。回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此直接用圆心角的度数除以2即可得到∠A的度数。
【解析】
∵ ∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠A是弧BC所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
∴ $∠ A = \frac{1}{2}∠ BOC$
代入$∠ BOC=100°$，得$∠ A = \frac{1}{2} × 100° = 50°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆周角定理的直接应用，解题关键是准确判断出同一段弧对应的圆心角和圆周角，牢记定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2 如图，在$\odot O$中，AB为直径，C、D为圆上的点，若$∠ CDB = 54°$，则$∠ CBA$的大小为（
A.$36°$
B.$39°$
C.$40°$
D.$49°$
A
）。A.$36°$
B.$39°$
C.$40°$
D.$49°$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察到AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到△ACB是直角三角形，两锐角互余；接下来要计算∠CBA，就需要先求它的余角∠CAB的度数；而∠CAB和已知的∠CDB是同弧BC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可直接得到∠CAB的度数，最后用90°减去∠CAB的度数即可得到∠CBA的大小。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ CAB$和$∠ CDB$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDB=54°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ACB$中，$∠ CBA + ∠ CAB = 90°$，
∴$∠ CBA=90° - 54°=36°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，核心是圆周角相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，能快速完成角度的转换和计算。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察到AB是圆的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到△ACB是直角三角形，两锐角互余；接下来要计算∠CBA，就需要先求它的余角∠CAB的度数；而∠CAB和已知的∠CDB是同弧BC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可直接得到∠CAB的度数，最后用90°减去∠CAB的度数即可得到∠CBA的大小。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ CAB$和$∠ CDB$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ CAB=∠ CDB=54°$（同弧所对的圆周角相等），
在$Rt△ ACB$中，$∠ CBA + ∠ CAB = 90°$，
∴$∠ CBA=90° - 54°=36°$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，核心是圆周角相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，能快速完成角度的转换和计算。
【难度系数】
0.8
3 有下列说法:①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数是圆心角的一半;③$90°$的圆周角所对的弦是直径;④圆周角相等,则它们所对的弧也相等。其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
本题考查圆周角的相关概念与定理，解题时需逐个验证四个说法的正确性，要注意每个定理成立的前提条件，不能遗漏限制条件直接判断结论是否成立。解题步骤为：先回忆圆周角定义、圆周角与圆心角的关系、圆周角推论的完整内容，再依次比对每个说法是否满足定理的全部条件，最终统计正确说法的个数得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 关于①：圆周角的定义是顶点在圆上，且两边都与圆相交的角，仅顶点在圆周上不满足定义，故①错误；
2. 关于②：只有同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半，缺少前提条件时结论不成立，故②错误；
3. 关于③：根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是直径，该表述符合定理内容，故③正确；
4. 关于④：只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，缺少前提时结论不成立，故④错误。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角的定义；圆周角定理；圆周角定理的推论
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略各类圆周角相关定理成立的前提限制，如“同弧或等弧”、“同圆或等圆”等，学习相关定理时要完整记忆表述内容，避免因遗漏条件判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查圆周角的相关概念与定理，解题时需逐个验证四个说法的正确性，要注意每个定理成立的前提条件，不能遗漏限制条件直接判断结论是否成立。解题步骤为：先回忆圆周角定义、圆周角与圆心角的关系、圆周角推论的完整内容，再依次比对每个说法是否满足定理的全部条件，最终统计正确说法的个数得到答案。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 关于①：圆周角的定义是顶点在圆上，且两边都与圆相交的角，仅顶点在圆周上不满足定义，故①错误；
2. 关于②：只有同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半，缺少前提条件时结论不成立，故②错误；
3. 关于③：根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是直径，该表述符合定理内容，故③正确；
4. 关于④：只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，缺少前提时结论不成立，故④错误。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角的定义；圆周角定理；圆周角定理的推论
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是容易忽略各类圆周角相关定理成立的前提限制，如“同弧或等弧”、“同圆或等圆”等，学习相关定理时要完整记忆表述内容，避免因遗漏条件判断错误。
【难度系数】
0.7
二、填空题
④ 如图，在$\odot O$中，$AB$为直径，$CD$为弦，已知$∠ ACD=40°$，则$∠ BAD$的度数为________。
④ 如图，在$\odot O$中，$AB$为直径，$CD$为弦，已知$∠ ACD=40°$，则$∠ BAD$的度数为________。
答案
50°
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°；再看已知角∠ACD，它和∠ABD是同一段弧AD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠ABD=∠ACD=40°；最后在直角三角形ADB中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠ACD和∠ABD都对应弧AD，
∴∠ABD=∠ACD=40°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ADB中，∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴∠BAD = 90° - 40° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，解题核心是熟练运用直径对应的圆周角为直角这一性质构造直角三角形，再结合同弧圆周角相等的性质转化已知角即可求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干条件：AB是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°；再看已知角∠ACD，它和∠ABD是同一段弧AD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠ABD=∠ACD=40°；最后在直角三角形ADB中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠ACD和∠ABD都对应弧AD，
∴∠ABD=∠ACD=40°（同弧所对的圆周角相等），
在Rt△ADB中，∠BAD + ∠ABD = 90°，
∴∠BAD = 90° - 40° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础题型，解题核心是熟练运用直径对应的圆周角为直角这一性质构造直角三角形，再结合同弧圆周角相等的性质转化已知角即可求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
5 如图，点A、B、C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为
110°
。答案
110°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，∠A是⊙O中弧BC所对的圆周角，可先利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数；再结合三角形外角的性质，由∠BOC是△BOD的外角，求出∠ODB的度数；最后根据邻补角的和为180°，即可计算得到∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，得∠BOC = 2∠A = 2×50° = 100°
∵∠BOC是△BOD的外角
∴∠BOC = ∠B + ∠ODB
代入∠B=30°，得∠ODB = ∠BOC - ∠B = 100° - 30° = 70°
又
∵∠ADC与∠ODB互为邻补角
∴∠ADC + ∠ODB = 180°
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°
【答案】
110°
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，邻补角的定义
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合三角形外角、邻补角的性质逐步推导即可，解题时注意不要混淆圆周角和圆心角的倍数关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，∠A是⊙O中弧BC所对的圆周角，可先利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数；再结合三角形外角的性质，由∠BOC是△BOD的外角，求出∠ODB的度数；最后根据邻补角的和为180°，即可计算得到∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，得∠BOC = 2∠A = 2×50° = 100°
∵∠BOC是△BOD的外角
∴∠BOC = ∠B + ∠ODB
代入∠B=30°，得∠ODB = ∠BOC - ∠B = 100° - 30° = 70°
又
∵∠ADC与∠ODB互为邻补角
∴∠ADC + ∠ODB = 180°
∴∠ADC = 180° - 70° = 110°
【答案】
110°
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，邻补角的定义
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合三角形外角、邻补角的性质逐步推导即可，解题时注意不要混淆圆周角和圆心角的倍数关系。
【难度系数】
0.7
6 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，$AD$为$\odot O$的直径，$AD=8$，那么$BD$的长为________。
答案
$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：第一步，先根据等腰△ABC的边长和顶角条件，计算底角∠ACB的度数；第二步，利用圆周角定理的推论，由同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，同时结合直径所对圆周角为直角，确定△ABD是含30°角的直角三角形；第三步，结合已知AD的长度，利用直角三角形的性质和勾股定理计算BD的长度。
【解析】
解：
∵AB=BC，∠ABC=120°
∴∠BAC=∠BCA=$\frac{180° - 120°}{2}=30°$
∵∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角
∴∠ADB=∠ACB=30°
∵AD为⊙O的直径
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，AD=8，∠ADB=30°
∴AB=$\frac{1}{2}$AD=4（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2 - AB^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质与特殊三角形的性质，解题核心是借助圆周角定理的推论转化角的关系、得到直角三角形，属于圆与三角形结合的基础常考题，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：第一步，先根据等腰△ABC的边长和顶角条件，计算底角∠ACB的度数；第二步，利用圆周角定理的推论，由同弧所对圆周角相等得到∠ADB=∠ACB，同时结合直径所对圆周角为直角，确定△ABD是含30°角的直角三角形；第三步，结合已知AD的长度，利用直角三角形的性质和勾股定理计算BD的长度。
【解析】
解：
∵AB=BC，∠ABC=120°
∴∠BAC=∠BCA=$\frac{180° - 120°}{2}=30°$
∵∠ADB和∠ACB都是弧AB所对的圆周角
∴∠ADB=∠ACB=30°
∵AD为⊙O的直径
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ABD中，AD=8，∠ADB=30°
∴AB=$\frac{1}{2}$AD=4（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2 - AB^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质与特殊三角形的性质，解题核心是借助圆周角定理的推论转化角的关系、得到直角三角形，属于圆与三角形结合的基础常考题，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7 一条弦把圆分成弧长为2：3的两条弧，那么这条弦所对的圆周角的度数为
72°或108°
。答案
72°或108°
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：弦将圆分为弧长比为2:3的两段弧。首先回忆弧长和圆心角的关系：同圆中弧长之比等于对应圆心角的比，结合圆周总度数为360°，可先算出两段弧的度数。其次要注意，一条非直径的弦对应两类圆周角，分别对着弦所对的劣弧和优弧，再根据圆周角定理（圆周角度数等于其所对弧度数的一半），分别计算两个圆周角即可，注意不要漏解。
【解析】
1. 计算两段弧的度数：
圆的总周角为$360°$，两段弧的度数比等于弧长比$2:3$，总份数为$2+3=5$。
劣弧的度数：$360°×\frac{2}{5}=144°$
优弧的度数：$360°×\frac{3}{5}=216°$
2. 根据圆周角定理计算对应圆周角：
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此：
对应劣弧的圆周角：$144°÷2=72°$
对应优弧的圆周角：$216°÷2=108°$
【答案】
$72°$或$108°$
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理
【点评】
本题易错点是容易忽略一条弦对应两个不同的圆周角，仅计算其中一个导致漏解，解题时要考虑到弦两侧分别对应劣弧、优弧的两种圆周角情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先梳理已知条件：弦将圆分为弧长比为2:3的两段弧。首先回忆弧长和圆心角的关系：同圆中弧长之比等于对应圆心角的比，结合圆周总度数为360°，可先算出两段弧的度数。其次要注意，一条非直径的弦对应两类圆周角，分别对着弦所对的劣弧和优弧，再根据圆周角定理（圆周角度数等于其所对弧度数的一半），分别计算两个圆周角即可，注意不要漏解。
【解析】
1. 计算两段弧的度数：
圆的总周角为$360°$，两段弧的度数比等于弧长比$2:3$，总份数为$2+3=5$。
劣弧的度数：$360°×\frac{2}{5}=144°$
优弧的度数：$360°×\frac{3}{5}=216°$
2. 根据圆周角定理计算对应圆周角：
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此：
对应劣弧的圆周角：$144°÷2=72°$
对应优弧的圆周角：$216°÷2=108°$
【答案】
$72°$或$108°$
【知识点】
弧与圆心角的关系、圆周角定理
【点评】
本题易错点是容易忽略一条弦对应两个不同的圆周角，仅计算其中一个导致漏解，解题时要考虑到弦两侧分别对应劣弧、优弧的两种圆周角情况。
【难度系数】
0.6
⑧ 如图，在平面直角坐标系中，已知$\odot A$经过点$E$、$B$、$O$、$C$，且点$O$为坐标原点，点$C$在$y$轴上，点$E$在$x$轴上，$A(-3,2)$，则$\tan∠ OBC=$
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要求∠OBC的正切值，直接构造包含该角的直角三角形计算难度较大，可利用圆周角定理进行转化：∠OBC与∠OEC是同弧OC所对的圆周角，二者相等，因此只需求出tan∠OEC即可。由于∠EOC是直角，只要得到线段OE、OC的长度就能计算正切值。接下来结合垂径定理，过圆心A向x轴、y轴作垂线，可分别得到弦OE、OC的中点，结合A点坐标即可求出OE、OC的长度，进而得到结果。
【解析】
解：过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N。
∵点A是⊙A的圆心，OE、OC均为⊙A的弦，
∴根据垂径定理，M是OE的中点，N是OC的中点。
∵A(-3,2)，
∴OM=|-3|=3，ON=|2|=2，
∴OE=2OM=6，OC=2ON=4。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠OBC和∠OEC都对应弧OC，
∴∠OBC=∠OEC。
又
∵∠EOC=90°，在Rt△EOC中，
$\tan∠OEC=\frac{OC}{OE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴$\tan∠OBC=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题重点考查圆的性质与三角函数的结合应用，解题核心是通过圆周角定理完成角度的转化，将未知角转化为直角三角形内的锐角，再结合垂径定理求出对应线段长度，对转化思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
要求∠OBC的正切值，直接构造包含该角的直角三角形计算难度较大，可利用圆周角定理进行转化：∠OBC与∠OEC是同弧OC所对的圆周角，二者相等，因此只需求出tan∠OEC即可。由于∠EOC是直角，只要得到线段OE、OC的长度就能计算正切值。接下来结合垂径定理，过圆心A向x轴、y轴作垂线，可分别得到弦OE、OC的中点，结合A点坐标即可求出OE、OC的长度，进而得到结果。
【解析】
解：过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N。
∵点A是⊙A的圆心，OE、OC均为⊙A的弦，
∴根据垂径定理，M是OE的中点，N是OC的中点。
∵A(-3,2)，
∴OM=|-3|=3，ON=|2|=2，
∴OE=2OM=6，OC=2ON=4。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，∠OBC和∠OEC都对应弧OC，
∴∠OBC=∠OEC。
又
∵∠EOC=90°，在Rt△EOC中，
$\tan∠OEC=\frac{OC}{OE}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴$\tan∠OBC=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题重点考查圆的性质与三角函数的结合应用，解题核心是通过圆周角定理完成角度的转化，将未知角转化为直角三角形内的锐角，再结合垂径定理求出对应线段长度，对转化思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
