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14 丁字尺是一种作图工具，如图①所示，可以将其看作两把互相垂直的直尺组成，并且CD部分平分AB部分。现在将丁字尺放在一个圆形工件上(圆心为O)，如图②所示，使得A、B、D分别落在$\odot O$上，这样圆心O就会落在CD上，已知$AB=CD=8\mathrm{cm}$，求出该圆形工件的半径。
答案
因为圆心O落在CD上,CD垂直AB,所以线段CD平分线段AB,所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。连接AO,则$AC^2+OC^2=AO^2$。设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$,所以$4^2+(8-r)^2=r^2$,解得$r=5$,所以该圆形工件的半径为5 cm。
解析
【分析】
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先由题意可知CD过圆心且垂直于弦AB，根据垂径定理可先求出半弦长AC的长度；要求圆的半径，可设半径为r，将弦心距OC用含r的式子表示，再在直角三角形AOC中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵圆心O落在CD上，CD⊥AB，
∴根据垂径定理，CD平分AB，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$AO=OD=r\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=CD-OD=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$AC^2+OC^2=AO^2$，
代入数据得：$4^2+(8-r)^2=r^2$，
展开计算：$16+64-16r+r^2=r^2$，
整理得：$16r=80$，
解得：$r=5$。
【答案】
该圆形工件的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
这是垂径定理应用的典型题型，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合“半弦长、弦心距、半径构成直角三角形”的关系，用勾股定理列方程求解，掌握此类模型可以快速解决圆中求半径、弦长的相关问题。
【难度系数】
0.75
本题可结合垂径定理与勾股定理求解：首先由题意可知CD过圆心且垂直于弦AB，根据垂径定理可先求出半弦长AC的长度；要求圆的半径，可设半径为r，将弦心距OC用含r的式子表示，再在直角三角形AOC中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵圆心O落在CD上，CD⊥AB，
∴根据垂径定理，CD平分AB，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
连接AO，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$AO=OD=r\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=CD-OD=(8-r)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$AC^2+OC^2=AO^2$，
代入数据得：$4^2+(8-r)^2=r^2$，
展开计算：$16+64-16r+r^2=r^2$，
整理得：$16r=80$，
解得：$r=5$。
【答案】
该圆形工件的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
这是垂径定理应用的典型题型，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合“半弦长、弦心距、半径构成直角三角形”的关系，用勾股定理列方程求解，掌握此类模型可以快速解决圆中求半径、弦长的相关问题。
【难度系数】
0.75
15 如图①所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件。管片的横截面是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心。
(1) $ BA $、$ CD $ 的延长线交于圆心 $ O $，若测得 $ AB = 0.6\,\mathrm{m} $，$ AD = 3\,\mathrm{m} $，$ BC = 4\,\mathrm{m} $，求 $ OB $ 的长。
(2) 如图②，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点 $ L $ 为弧 $ MP $ 的中点，若测得 $ MN = PQ = 0.5\,\mathrm{m} $，$ NL = LQ = 2\,\mathrm{m} $，求：该混凝土管片的外圆弧半径。
(1) $ BA $、$ CD $ 的延长线交于圆心 $ O $，若测得 $ AB = 0.6\,\mathrm{m} $，$ AD = 3\,\mathrm{m} $，$ BC = 4\,\mathrm{m} $，求 $ OB $ 的长。
(2) 如图②，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点 $ L $ 为弧 $ MP $ 的中点，若测得 $ MN = PQ = 0.5\,\mathrm{m} $，$ NL = LQ = 2\,\mathrm{m} $，求：该混凝土管片的外圆弧半径。
答案
(1) 由条件可知$∠ OAD=\frac{180°-∠ O}{2}=∠ OBC$,所以$△ AOD ∽ △ BOC$,所以$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{3}{4}$。设$OB=x\ \mathrm{m}$,则$OA=(x-0.6)\ \mathrm{m}$,所以$\frac{x-0.6}{x}=\frac{3}{4}$,解得$x=2.4$,所以$OB=2.4\ \mathrm{m}$。
(2) 设圆心为点O,连接OP、OM、OL、MP,OL与PM相交于点T,则$∠ OTM=90°$,$MT=NL=2\ \mathrm{m}$。设外半径为$r\ \mathrm{m}$,则$OT=(r-0.5)\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ OMT$中,由勾股定理可得$OM^2=OT^2+MT^2$,所以$r^2=(r-0.5)^2+2^2$,解得$r=4.25$,该混凝土管片的外圆弧半径为4.25 m。
(2) 设圆心为点O,连接OP、OM、OL、MP,OL与PM相交于点T,则$∠ OTM=90°$,$MT=NL=2\ \mathrm{m}$。设外半径为$r\ \mathrm{m}$,则$OT=(r-0.5)\ \mathrm{m}$。在$\mathrm{Rt}△ OMT$中,由勾股定理可得$OM^2=OT^2+MT^2$,所以$r^2=(r-0.5)^2+2^2$,解得$r=4.25$,该混凝土管片的外圆弧半径为4.25 m。
解析
【分析】
(1) 本题中△AOD和△BOC有公共角∠O，又OA=OD、OB=OC（同圆半径相等），两个三角形均为等腰三角形，底角相等，可推出两角对应相等，证明两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解OB的长度。
(2) 根据L是弧MP的中点，结合垂径定理可知圆心O、点L的连线垂直平分弦MP，构造直角三角形，利用矩形的性质得到直角三角形的两条直角边长度，再通过勾股定理列方程求解外圆弧半径即可。
【解析】
(1)
∵OA、OD为内圆弧半径，
∴OA=OD，
∴$∠ OAD=\frac{180°-∠ O}{2}$；
同理OB、OC为外圆弧半径，OB=OC，
∴$∠ OBC=\frac{180°-∠ O}{2}$，
∴$∠ OAD=∠ OBC$，又$∠ O$是△AOD和△BOC的公共角，
∴$△ AOD ∽ △ BOC$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{3}{4}$。
设$OB=x\ \mathrm{m}$，则$OA=OB-AB=(x-0.6)\ \mathrm{m}$，代入比例得：
$\frac{x-0.6}{x}=\frac{3}{4}$，
解得$x=2.4$，即OB的长为2.4m。
(2) 设外圆弧的圆心为点O，连接OM、OL，OL交弦MP于点T。
∵L是弧MP的中点，OL过圆心O，由垂径定理得：$OL⊥ MP$，且$MT=PT$。
由题意可知$MP//$地面$NQ$，$MN⊥ NQ$，$OL⊥ NQ$，
∴四边形MNLT为矩形，因此$MT=NL=2\ \mathrm{m}$，$TL=MN=0.5\ \mathrm{m}$。
设外圆弧半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OM=OL=r\ \mathrm{m}$，$OT=OL-TL=(r-0.5)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMT$中，由勾股定理得：$OM^2=OT^2+MT^2$，
代入得：$r^2=(r-0.5)^2+2^2$，
展开计算得$r^2=r^2-r+0.25+4$，解得$r=4.25$，
即该混凝土管片的外圆弧半径为4.25m。
【答案】
(1) $OB=2.4\,\mathrm{m}$；(2) 外圆弧半径为$4.25\,\mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合隧道管片的实际场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际测量数据转化为几何图形中的边长关系，第一问通过相似三角形建立比例方程求解，第二问利用垂径定理构造直角三角形结合勾股定理列方程求解，较好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 本题中△AOD和△BOC有公共角∠O，又OA=OD、OB=OC（同圆半径相等），两个三角形均为等腰三角形，底角相等，可推出两角对应相等，证明两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解OB的长度。
(2) 根据L是弧MP的中点，结合垂径定理可知圆心O、点L的连线垂直平分弦MP，构造直角三角形，利用矩形的性质得到直角三角形的两条直角边长度，再通过勾股定理列方程求解外圆弧半径即可。
【解析】
(1)
∵OA、OD为内圆弧半径，
∴OA=OD，
∴$∠ OAD=\frac{180°-∠ O}{2}$；
同理OB、OC为外圆弧半径，OB=OC，
∴$∠ OBC=\frac{180°-∠ O}{2}$，
∴$∠ OAD=∠ OBC$，又$∠ O$是△AOD和△BOC的公共角，
∴$△ AOD ∽ △ BOC$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{3}{4}$。
设$OB=x\ \mathrm{m}$，则$OA=OB-AB=(x-0.6)\ \mathrm{m}$，代入比例得：
$\frac{x-0.6}{x}=\frac{3}{4}$，
解得$x=2.4$，即OB的长为2.4m。
(2) 设外圆弧的圆心为点O，连接OM、OL，OL交弦MP于点T。
∵L是弧MP的中点，OL过圆心O，由垂径定理得：$OL⊥ MP$，且$MT=PT$。
由题意可知$MP//$地面$NQ$，$MN⊥ NQ$，$OL⊥ NQ$，
∴四边形MNLT为矩形，因此$MT=NL=2\ \mathrm{m}$，$TL=MN=0.5\ \mathrm{m}$。
设外圆弧半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OM=OL=r\ \mathrm{m}$，$OT=OL-TL=(r-0.5)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMT$中，由勾股定理得：$OM^2=OT^2+MT^2$，
代入得：$r^2=(r-0.5)^2+2^2$，
展开计算得$r^2=r^2-r+0.25+4$，解得$r=4.25$，
即该混凝土管片的外圆弧半径为4.25m。
【答案】
(1) $OB=2.4\,\mathrm{m}$；(2) 外圆弧半径为$4.25\,\mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合隧道管片的实际场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际测量数据转化为几何图形中的边长关系，第一问通过相似三角形建立比例方程求解，第二问利用垂径定理构造直角三角形结合勾股定理列方程求解，较好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
