10 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何。”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸。

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11 如图，在$\odot O$中，半径$OC ⊥ AB$，$AC=2\sqrt{3}$，$CD=2$，求$\odot O$的半径$OA$的长。 第11题图

因为$OC ⊥ AB$,所以$∠ ADC=∠ ADO=90°$。在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AC=2\sqrt{3}$,$CD=2$,所以$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=2\sqrt{2}$。在$\mathrm{Rt}△ ADO$中,$AD^2+DO^2=AO^2$,所以$(2\sqrt{2})^2+(OA-2)^2=OA^2$,解得$OA=3$,即$\odot O$的半径$OA$的长为3。

12 如图，已知OA=OB，AB交⊙O于点C、D，OE是半径，且OE⊥AB于点F。
（1）求证：AC=BD。
（2）若CD=6，EF=1，求⊙O的半径。

(1) 因为$OE ⊥ AB$,CD 为$\odot O$的弦,所以$CF=DF$。因为$OA=OB$,$OE ⊥ AB$,所以$AF=BF$,所以$AF-CF=BF-DF$,即$AC=BD$。
(2) 连接OC。因为$OE ⊥ AB$,CD 为$\odot O$的弦,所以$CF=\frac{1}{2}CD=3$,$∠ OFC=90°$,所以$CO^2=CF^2+OF^2$。设$\odot O$半径为$r$,所以$r^2=3^2+(r-1)^2$,解得$r=5$,所以$\odot O$半径是5。

13 某公园有一圆弧形的拱桥，如图，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶C到水面AB的距离$DC=4$米。
（1）求水面宽度AB的大小。
（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶C的仰角为$α$，若$\tanα=\frac{1}{3}$，求水面上升的高度。

(1) 设拱桥所在圆的圆心为O,由题意可知,点O在CD的延长线上,连接OA。因为$OD ⊥ AB$,所以$∠ ADO=90°$。在$\mathrm{Rt}△ ADO$中,$OA=10$米,$OD=OC-DC=10-4=6$(米),所以$AD=\sqrt{AO^2-DO^2}=8$(米)。因为$OD ⊥ AB$,OC是半径,所以$AB=2AD=16$(米),即水面宽度AB长为16米。
(2) 设OC与EF相交于点G,连接OE。因为$EF // AB$,$OD ⊥ AB$,所以$OD ⊥ EF$,所以$∠ EGC=∠ EGO=90°$。在$\mathrm{Rt}△ EGC$中,$\tanα=\frac{CG}{EG}=\frac{1}{3}$,所以$EG=3CG$。设水面上升的高度为$x$米,即$DG=x$,则$OG=6+x$,$CG=4-x$,$EG=12-3x$。在$\mathrm{Rt}△ EGO$中,$EG^2+OG^2=OE^2$,所以$(12-3x)^2+(6+x)^2=10^2$,解得$x_1=4$(舍去),$x_2=2$。所以水面上升的高度为2米。