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10 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何。”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为
26
寸。答案
26
解析
【分析】
首先，题目给出弦CD垂直于直径AB，可先根据垂径定理得到CE的长度；接下来要求直径AB的长度，我们可以设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△OCE的各边长，再利用勾股定理列方程求解半径，最后即可得到直径的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CD=10寸
∴根据垂径定理，$CE=\frac{1}{2}CD=5$寸
设⊙O的半径为r寸，则$OC=r$寸，$OE=OB-EB=(r-1)$寸
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2$
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$
展开：$r^2=r^2-2r+1+25$
移项化简得：$2r=26$
解得$r=13$
∴直径$AB=2r=2×13=26$寸
【答案】
26
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想应用
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，解题的关键是通过设半径，利用直角三角形的勾股定理建立方程求解，体现了几何中的方程思想，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先，题目给出弦CD垂直于直径AB，可先根据垂径定理得到CE的长度；接下来要求直径AB的长度，我们可以设圆的半径为r，用含r的式子表示出Rt△OCE的各边长，再利用勾股定理列方程求解半径，最后即可得到直径的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CD=10寸
∴根据垂径定理，$CE=\frac{1}{2}CD=5$寸
设⊙O的半径为r寸，则$OC=r$寸，$OE=OB-EB=(r-1)$寸
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2$
代入得：$r^2=(r-1)^2+5^2$
展开：$r^2=r^2-2r+1+25$
移项化简得：$2r=26$
解得$r=13$
∴直径$AB=2r=2×13=26$寸
【答案】
26
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想应用
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，解题的关键是通过设半径，利用直角三角形的勾股定理建立方程求解，体现了几何中的方程思想，是垂径定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
11 如图，在$\odot O$中，半径$OC ⊥ AB$，$AC=2\sqrt{3}$，$CD=2$，求$\odot O$的半径$OA$的长。
第11题图
第11题图答案
因为$OC ⊥ AB$,所以$∠ ADC=∠ ADO=90°$。在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AC=2\sqrt{3}$,$CD=2$,所以$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=2\sqrt{2}$。在$\mathrm{Rt}△ ADO$中,$AD^2+DO^2=AO^2$,所以$(2\sqrt{2})^2+(OA-2)^2=OA^2$,解得$OA=3$,即$\odot O$的半径$OA$的长为3。
解析
【分析】
解题时先根据已知的$OC ⊥ AB$得到两个直角三角形，第一步在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，利用已知的$AC$、$CD$长度，通过勾股定理算出$AD$的长度；接下来设$\odot O$的半径$OA$为$r$，可得$OD=r-CD=r-2$，再在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，利用勾股定理建立关于$r$的方程，解方程即可求出半径$OA$的长。
【解析】
解：$\because OC ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ADO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=2\sqrt{3}$，$CD=2$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$。
设$\odot O$的半径$OA=r$，则$OC=OA=r$，
$\therefore OD=OC-CD=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$AD^2+OD^2=AO^2$，
代入得：$(2\sqrt{2})^2+(r-2)^2=r^2$，
整理得：$8+r^2-4r+4=r^2$，
解得$r=3$。
【答案】$\odot O$的半径$OA$的长为$3$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的基础题型，将垂径定理与勾股定理结合，通过设半径为未知数，利用勾股定理建立方程求解，是圆类计算题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题时先根据已知的$OC ⊥ AB$得到两个直角三角形，第一步在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，利用已知的$AC$、$CD$长度，通过勾股定理算出$AD$的长度；接下来设$\odot O$的半径$OA$为$r$，可得$OD=r-CD=r-2$，再在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，利用勾股定理建立关于$r$的方程，解方程即可求出半径$OA$的长。
【解析】
解：$\because OC ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ADO=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=2\sqrt{3}$，$CD=2$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$。
设$\odot O$的半径$OA=r$，则$OC=OA=r$，
$\therefore OD=OC-CD=r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$AD^2+OD^2=AO^2$，
代入得：$(2\sqrt{2})^2+(r-2)^2=r^2$，
整理得：$8+r^2-4r+4=r^2$，
解得$r=3$。
【答案】$\odot O$的半径$OA$的长为$3$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求半径的基础题型，将垂径定理与勾股定理结合，通过设半径为未知数，利用勾股定理建立方程求解，是圆类计算题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
12 如图，已知OA=OB，AB交⊙O于点C、D，OE是半径，且OE⊥AB于点F。
（1）求证：AC=BD。
（2）若CD=6，EF=1，求⊙O的半径。
（1）求证：AC=BD。
（2）若CD=6，EF=1，求⊙O的半径。
答案
(1) 因为$OE ⊥ AB$,CD 为$\odot O$的弦,所以$CF=DF$。因为$OA=OB$,$OE ⊥ AB$,所以$AF=BF$,所以$AF-CF=BF-DF$,即$AC=BD$。
(2) 连接OC。因为$OE ⊥ AB$,CD 为$\odot O$的弦,所以$CF=\frac{1}{2}CD=3$,$∠ OFC=90°$,所以$CO^2=CF^2+OF^2$。设$\odot O$半径为$r$,所以$r^2=3^2+(r-1)^2$,解得$r=5$,所以$\odot O$半径是5。
(2) 连接OC。因为$OE ⊥ AB$,CD 为$\odot O$的弦,所以$CF=\frac{1}{2}CD=3$,$∠ OFC=90°$,所以$CO^2=CF^2+OF^2$。设$\odot O$半径为$r$,所以$r^2=3^2+(r-1)^2$,解得$r=5$,所以$\odot O$半径是5。
解析
【分析】
（1）要证明AC=BD，可通过线段差推导：首先由OE垂直弦CD，结合垂径定理可得CF=DF；再由OA=OB可知△OAB是等腰三角形，等腰三角形底边上的高平分底边，可得AF=BF，两段相等线段分别减去相等的CF、DF，即可得AC=BD。
（2）求圆的半径可通过构造直角三角形用勾股定理求解：连接半径OC，由垂径定理先求出CF的长度，设半径为r，则OF的长度为r-EF，在Rt△OFC中根据勾股定理列方程，解方程即可得到半径。
【解析】
（1）证明：
∵$OE ⊥ AB$，CD为$\odot O$的弦，根据垂径定理，
∴$CF=DF$。
∵$OA=OB$，$OE ⊥ AB$，由等腰三角形三线合一的性质可得$AF=BF$。
∴$AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
（2）解：连接OC。
∵$OE ⊥ AB$，CD为$\odot O$的弦，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$，$∠ OFC=90°$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OF=OE-EF=r-1$，
在$Rt△ OFC$中，由勾股定理得$CO^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=3^2+(r-1)^2$，
展开化简得$2r=10$，解得$r=5$。
【答案】
（1）$AC=BD$得证；（2）$\odot O$的半径是$\boxed{5}$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问考查基础定理的直接应用，第二问是圆中计算的典型题型，核心是通过连接半径构造直角三角形，结合方程思想求解，这类辅助线的作法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AC=BD，可通过线段差推导：首先由OE垂直弦CD，结合垂径定理可得CF=DF；再由OA=OB可知△OAB是等腰三角形，等腰三角形底边上的高平分底边，可得AF=BF，两段相等线段分别减去相等的CF、DF，即可得AC=BD。
（2）求圆的半径可通过构造直角三角形用勾股定理求解：连接半径OC，由垂径定理先求出CF的长度，设半径为r，则OF的长度为r-EF，在Rt△OFC中根据勾股定理列方程，解方程即可得到半径。
【解析】
（1）证明：
∵$OE ⊥ AB$，CD为$\odot O$的弦，根据垂径定理，
∴$CF=DF$。
∵$OA=OB$，$OE ⊥ AB$，由等腰三角形三线合一的性质可得$AF=BF$。
∴$AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
（2）解：连接OC。
∵$OE ⊥ AB$，CD为$\odot O$的弦，
∴$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$，$∠ OFC=90°$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OF=OE-EF=r-1$，
在$Rt△ OFC$中，由勾股定理得$CO^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=3^2+(r-1)^2$，
展开化简得$2r=10$，解得$r=5$。
【答案】
（1）$AC=BD$得证；（2）$\odot O$的半径是$\boxed{5}$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问考查基础定理的直接应用，第二问是圆中计算的典型题型，核心是通过连接半径构造直角三角形，结合方程思想求解，这类辅助线的作法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
13 某公园有一圆弧形的拱桥，如图，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶C到水面AB的距离$DC=4$米。
（1）求水面宽度AB的大小。
（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶C的仰角为$α$，若$\tanα=\frac{1}{3}$，求水面上升的高度。
（1）求水面宽度AB的大小。
（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶C的仰角为$α$，若$\tanα=\frac{1}{3}$，求水面上升的高度。
答案
(1) 设拱桥所在圆的圆心为O,由题意可知,点O在CD的延长线上,连接OA。因为$OD ⊥ AB$,所以$∠ ADO=90°$。在$\mathrm{Rt}△ ADO$中,$OA=10$米,$OD=OC-DC=10-4=6$(米),所以$AD=\sqrt{AO^2-DO^2}=8$(米)。因为$OD ⊥ AB$,OC是半径,所以$AB=2AD=16$(米),即水面宽度AB长为16米。
(2) 设OC与EF相交于点G,连接OE。因为$EF // AB$,$OD ⊥ AB$,所以$OD ⊥ EF$,所以$∠ EGC=∠ EGO=90°$。在$\mathrm{Rt}△ EGC$中,$\tanα=\frac{CG}{EG}=\frac{1}{3}$,所以$EG=3CG$。设水面上升的高度为$x$米,即$DG=x$,则$OG=6+x$,$CG=4-x$,$EG=12-3x$。在$\mathrm{Rt}△ EGO$中,$EG^2+OG^2=OE^2$,所以$(12-3x)^2+(6+x)^2=10^2$,解得$x_1=4$(舍去),$x_2=2$。所以水面上升的高度为2米。
(2) 设OC与EF相交于点G,连接OE。因为$EF // AB$,$OD ⊥ AB$,所以$OD ⊥ EF$,所以$∠ EGC=∠ EGO=90°$。在$\mathrm{Rt}△ EGC$中,$\tanα=\frac{CG}{EG}=\frac{1}{3}$,所以$EG=3CG$。设水面上升的高度为$x$米,即$DG=x$,则$OG=6+x$,$CG=4-x$,$EG=12-3x$。在$\mathrm{Rt}△ EGO$中,$EG^2+OG^2=OE^2$,所以$(12-3x)^2+(6+x)^2=10^2$,解得$x_1=4$(舍去),$x_2=2$。所以水面上升的高度为2米。
解析
【分析】
（1）求水面宽度AB即求圆弧的弦长，圆中弦长计算通常结合垂径定理构造直角三角形求解：首先确定拱桥所在圆的圆心在CD的延长线上，连接半径OA，得到Rt△ADO，已知半径OA和OD的长度，用勾股定理求出半弦长AD，再由垂径定理得AB=2AD即可。
（2）水面上升后EF//AB，可得OC垂直EF，结合仰角的正切值可得到EG与CG的数量关系；设水面上升高度为x，用含x的式子表示出Rt△EGO的各边长，再结合勾股定理列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
（1）设拱桥所在圆的圆心为O，由题意可知点O在CD的延长线上，连接OA。
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OA=10米，OD=OC-DC=10-4=6（米），
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AO^2-DO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$（米）。
∵OD⊥AB，OC是圆的半径，由垂径定理得AB=2AD=2×8=16（米）。
（2）设OC与EF相交于点G，连接OE。
∵EF//AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，即∠EGC=∠EGO=90°。
在Rt△EGC中，从E测得C的仰角为α，$\tanα=\frac{CG}{EG}=\frac{1}{3}$，
∴EG=3CG。
设水面上升的高度为x米，即DG=x，则：
CG=DC-DG=4-x，EG=3(4-x)=12-3x，OG=OD+DG=6+x。
在Rt△EGO中，OE为圆的半径，长度为10米，由勾股定理得：
$EG^2+OG^2=OE^2$，即$(12-3x)^2+(6+x)^2=10^2$，
展开化简得：$10x^2-60x+80=0$，即$x^2-6x+8=0$，
解得$x_1=4$（此时水面与桥顶C平齐，不符合实际，舍去），$x_2=2$。
【答案】
（1）水面宽度AB为16米；
（2）水面上升的高度为2米。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的实际应用问题，结合了垂径定理、勾股定理及三角函数的相关知识，解题时要学会将实际问题转化为几何模型，合理构造直角三角形，运用方程思想求解，同时注意对解的实际意义进行检验。
【难度系数】
0.7
（1）求水面宽度AB即求圆弧的弦长，圆中弦长计算通常结合垂径定理构造直角三角形求解：首先确定拱桥所在圆的圆心在CD的延长线上，连接半径OA，得到Rt△ADO，已知半径OA和OD的长度，用勾股定理求出半弦长AD，再由垂径定理得AB=2AD即可。
（2）水面上升后EF//AB，可得OC垂直EF，结合仰角的正切值可得到EG与CG的数量关系；设水面上升高度为x，用含x的式子表示出Rt△EGO的各边长，再结合勾股定理列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
（1）设拱桥所在圆的圆心为O，由题意可知点O在CD的延长线上，连接OA。
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°。
在Rt△ADO中，OA=10米，OD=OC-DC=10-4=6（米），
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AO^2-DO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$（米）。
∵OD⊥AB，OC是圆的半径，由垂径定理得AB=2AD=2×8=16（米）。
（2）设OC与EF相交于点G，连接OE。
∵EF//AB，OD⊥AB，
∴OD⊥EF，即∠EGC=∠EGO=90°。
在Rt△EGC中，从E测得C的仰角为α，$\tanα=\frac{CG}{EG}=\frac{1}{3}$，
∴EG=3CG。
设水面上升的高度为x米，即DG=x，则：
CG=DC-DG=4-x，EG=3(4-x)=12-3x，OG=OD+DG=6+x。
在Rt△EGO中，OE为圆的半径，长度为10米，由勾股定理得：
$EG^2+OG^2=OE^2$，即$(12-3x)^2+(6+x)^2=10^2$，
展开化简得：$10x^2-60x+80=0$，即$x^2-6x+8=0$，
解得$x_1=4$（此时水面与桥顶C平齐，不符合实际，舍去），$x_2=2$。
【答案】
（1）水面宽度AB为16米；
（2）水面上升的高度为2米。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的实际应用问题，结合了垂径定理、勾股定理及三角函数的相关知识，解题时要学会将实际问题转化为几何模型，合理构造直角三角形，运用方程思想求解，同时注意对解的实际意义进行检验。
【难度系数】
0.7
