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1 已知抛物线$y=2x^2+bx-c$的顶点坐标是$(1,-3)$，则$b$、$c$的值分别是（
A.$b=-4$，$c=1$
B.$b=4$，$c=1$
C.$b=-4$，$c=-1$
D.$b=4$，$c=-1$
A
）。A.$b=-4$，$c=1$
B.$b=4$，$c=1$
C.$b=-4$，$c=-1$
D.$b=4$，$c=-1$
答案
1 A
解析
【分析】
本题可利用二次函数一般式的顶点坐标性质求解：首先对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，可先代入已知的$a$和顶点横坐标求出$b$的值；再将顶点坐标代入函数表达式，即可求出$c$的值。
【解析】
对于抛物线$y=2x^2+bx-c$，二次项系数$a=2$，已知顶点横坐标为1，根据顶点横坐标公式：
$x=-\frac{b}{2a}$
代入$a=2$，$x=1$得：
$1=-\frac{b}{2×2}$
解得$b=-4$。
将$b=-4$、顶点坐标$(1,-3)$代入原抛物线表达式得：
$-3=2×1^2 + (-4)×1 -c$
计算右侧：$2-4=-2$，即：
$-3=-2 -c$
移项解得$c=1$。
综上$b=-4$，$c=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；待定系数法求函数系数
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查顶点坐标与函数系数的对应关系，解题时要注意符号运算，避免因符号出错丢分，熟练掌握顶点公式或顶点式均可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题可利用二次函数一般式的顶点坐标性质求解：首先对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$，可先代入已知的$a$和顶点横坐标求出$b$的值；再将顶点坐标代入函数表达式，即可求出$c$的值。
【解析】
对于抛物线$y=2x^2+bx-c$，二次项系数$a=2$，已知顶点横坐标为1，根据顶点横坐标公式：
$x=-\frac{b}{2a}$
代入$a=2$，$x=1$得：
$1=-\frac{b}{2×2}$
解得$b=-4$。
将$b=-4$、顶点坐标$(1,-3)$代入原抛物线表达式得：
$-3=2×1^2 + (-4)×1 -c$
计算右侧：$2-4=-2$，即：
$-3=-2 -c$
移项解得$c=1$。
综上$b=-4$，$c=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标公式；待定系数法求函数系数
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查顶点坐标与函数系数的对应关系，解题时要注意符号运算，避免因符号出错丢分，熟练掌握顶点公式或顶点式均可快速解答。
【难度系数】
0.8
2 已知抛物线$C:y=x^2+3x-10$，将抛物线$C$平移得到抛物线$C'$。若两条抛物线$C$、$C'$关于直线$x=1$对称，则下列平移方法中，正确的是(
A.将抛物线$C$向右平移$\frac{5}{2}$个单位
B.将抛物线$C$向右平移3个单位
C.将抛物线$C$向右平移5个单位
D.将抛物线$C$向右平移6个单位
C
)。A.将抛物线$C$向右平移$\frac{5}{2}$个单位
B.将抛物线$C$向右平移3个单位
C.将抛物线$C$向右平移5个单位
D.将抛物线$C$向右平移6个单位
答案
2 C
解析
【分析】
要解决抛物线平移后关于直线x=1对称的问题，可利用抛物线平移的核心性质：抛物线平移仅改变位置，形状、开口方向不变，平移过程中顶点同步平移。因此我们可以先求出原抛物线C的顶点横坐标，再根据点关于直线x=1对称的规律，求出平移后抛物线C'的顶点横坐标，两个顶点横坐标的差就是平移的距离，差为正则向右平移，差为负则向左平移。
【解析】
1. 求原抛物线C的顶点横坐标：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$C:y=x^2+3x-10$中，$a=1$，$b=3$，代入得顶点横坐标为：
$x=-\frac{3}{2×1}=-\frac{3}{2}$
2. 求平移后抛物线$C'$的顶点横坐标：
若两点关于直线$x=1$对称，则两点横坐标的平均数为1，纵坐标相同。
设$C'$的顶点横坐标为$x'$，则$\frac{x' + (-\frac{3}{2})}{2}=1$，解得：
$x' = 2×1 + \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$
3. 计算平移距离：
平移距离为$x' - (-\frac{3}{2})=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5$，结果为正，说明是向右平移5个单位。
【答案】
C
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数顶点坐标；轴对称的性质
【点评】
本题将二次函数平移与轴对称知识点结合考查，解题的关键是将抛物线的对称问题转化为顶点的对称问题，简化运算过程，避免对抛物线解析式进行复杂的变形。
【难度系数】
0.6
要解决抛物线平移后关于直线x=1对称的问题，可利用抛物线平移的核心性质：抛物线平移仅改变位置，形状、开口方向不变，平移过程中顶点同步平移。因此我们可以先求出原抛物线C的顶点横坐标，再根据点关于直线x=1对称的规律，求出平移后抛物线C'的顶点横坐标，两个顶点横坐标的差就是平移的距离，差为正则向右平移，差为负则向左平移。
【解析】
1. 求原抛物线C的顶点横坐标：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$C:y=x^2+3x-10$中，$a=1$，$b=3$，代入得顶点横坐标为：
$x=-\frac{3}{2×1}=-\frac{3}{2}$
2. 求平移后抛物线$C'$的顶点横坐标：
若两点关于直线$x=1$对称，则两点横坐标的平均数为1，纵坐标相同。
设$C'$的顶点横坐标为$x'$，则$\frac{x' + (-\frac{3}{2})}{2}=1$，解得：
$x' = 2×1 + \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$
3. 计算平移距离：
平移距离为$x' - (-\frac{3}{2})=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5$，结果为正，说明是向右平移5个单位。
【答案】
C
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数顶点坐标；轴对称的性质
【点评】
本题将二次函数平移与轴对称知识点结合考查，解题的关键是将抛物线的对称问题转化为顶点的对称问题，简化运算过程，避免对抛物线解析式进行复杂的变形。
【难度系数】
0.6
3 已知抛物线$y=x^2 - bx(b≠0)$的顶点为C，与x轴的两个交点分别为A、B，且△ABC为等腰直角三角形，则△ABC的面积为（
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.1
D
）。A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.1
答案
3 D [提示:由题意可得A(0,0),B(b,0),抛物线的对称轴为直线$x=\frac{b}{2}$,所以顶点C的坐标为$(\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4})$。因为△ABC为等腰直角三角形,所以$|-\frac{b^2}{4}|=|-\frac{b}{2}|$,解得$|b|=2$或0(舍),所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· |b|· |-\frac{b^2}{4}|=1$。]
解析
【分析】
解题时首先可以通过令抛物线解析式中y=0，求解一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点A、B的坐标，从而得到AB的长度；再利用二次函数顶点坐标公式求出顶点C的坐标。由抛物线的对称性可知△ABC天然为等腰三角形，要满足等腰直角三角形的条件，仅需满足斜边上的高等于斜边长度的一半，据此列方程求出|b|的值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求A、B两点坐标
令$y=0$，则$x^2 - bx = 0$，因式分解得$x(x-b)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=b$，因此$A(0,0)$，$B(b,0)$，则$AB=|b-0|=|b|$。
步骤2：求顶点C的坐标
二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{一次项系数}{2×二次项系数}$，此处二次项系数为1，一次项系数为$-b$，因此对称轴为直线$x=\frac{b}{2}$。
将$x=\frac{b}{2}$代入抛物线解析式，得$y=(\frac{b}{2})^2 - b·\frac{b}{2} = -\frac{b^2}{4}$，因此顶点$C(\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4})$，点C到x轴的距离即等腰$△ ABC$的高为$|-\frac{b^2}{4}|=\frac{b^2}{4}$。
步骤3：利用等腰直角三角形性质列方程求解
因为$△ ABC$为等腰直角三角形，且$AC=BC$，则斜边上的高等于斜边的一半，即：
$\frac{b^2}{4} = \frac{1}{2}|b|$
因为$b≠0$，等式两边同时除以$|b|$得$\frac{|b|}{4} = \frac{1}{2}$，解得$|b|=2$。
步骤4：计算$△ ABC$的面积
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × |b| × \frac{b^2}{4} = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合基础题，解题关键是利用抛物线的对称性简化等腰直角三角形的判定条件，通过建立方程求解未知参数，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先可以通过令抛物线解析式中y=0，求解一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点A、B的坐标，从而得到AB的长度；再利用二次函数顶点坐标公式求出顶点C的坐标。由抛物线的对称性可知△ABC天然为等腰三角形，要满足等腰直角三角形的条件，仅需满足斜边上的高等于斜边长度的一半，据此列方程求出|b|的值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求A、B两点坐标
令$y=0$，则$x^2 - bx = 0$，因式分解得$x(x-b)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=b$，因此$A(0,0)$，$B(b,0)$，则$AB=|b-0|=|b|$。
步骤2：求顶点C的坐标
二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{一次项系数}{2×二次项系数}$，此处二次项系数为1，一次项系数为$-b$，因此对称轴为直线$x=\frac{b}{2}$。
将$x=\frac{b}{2}$代入抛物线解析式，得$y=(\frac{b}{2})^2 - b·\frac{b}{2} = -\frac{b^2}{4}$，因此顶点$C(\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4})$，点C到x轴的距离即等腰$△ ABC$的高为$|-\frac{b^2}{4}|=\frac{b^2}{4}$。
步骤3：利用等腰直角三角形性质列方程求解
因为$△ ABC$为等腰直角三角形，且$AC=BC$，则斜边上的高等于斜边的一半，即：
$\frac{b^2}{4} = \frac{1}{2}|b|$
因为$b≠0$，等式两边同时除以$|b|$得$\frac{|b|}{4} = \frac{1}{2}$，解得$|b|=2$。
步骤4：计算$△ ABC$的面积
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × |b| × \frac{b^2}{4} = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合基础题，解题关键是利用抛物线的对称性简化等腰直角三角形的判定条件，通过建立方程求解未知参数，侧重考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
④ 已知二次函数的图像经过(-1，3)，(1，-1)和(0，-2)三个点，那么二次函数的表达式为
$y=3x^2-2x-2$
。答案
4 $y=3x^2-2x-2$
解析
【分析】
已知二次函数图象上三个普通点的坐标，无顶点、与x轴交点等特殊点，因此优先选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。一般式包含a、b、c三个未知系数，将三个点的坐标分别代入一般式，即可得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，代入一般式就能得到所求二次函数的表达式。
【解析】
设该二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a≠0)}$，
将三个点的坐标分别代入表达式：
1. 把$(-1,3)$代入：$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = 3$，整理得 $a - b + c = 3$ ①；
2. 把$(1,-1)$代入：$a·1^2 + b·1 + c = -1$，整理得 $a + b + c = -1$ ②；
3. 把$(0,-2)$代入：$a·0^2 + b·0 + c = -2$，整理得 $c = -2$ ③。
将③分别代入①和②，得到：
$\begin{cases}a - b - 2 = 3 \\ a + b - 2 = -1\end{cases}$，化简为$\begin{cases}a - b = 5 \ \ \ \ ④\\ a + b = 1 \ \ \ \ ⑤\end{cases}$
④+⑤得：$2a=6$，解得$a=3$；
把$a=3$代入⑤得：$3 + b = 1$，解得$b=-2$。
将$a=3$、$b=-2$、$c=-2$代入所设一般式，即可得到二次函数表达式。
【答案】
$y=3x^2-2x-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三元一次方程组的求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常考题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是根据已知点的特征合理选择二次函数的形式，熟练解三元一次方程组即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
已知二次函数图象上三个普通点的坐标，无顶点、与x轴交点等特殊点，因此优先选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。一般式包含a、b、c三个未知系数，将三个点的坐标分别代入一般式，即可得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，代入一般式就能得到所求二次函数的表达式。
【解析】
设该二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c\ (a≠0)}$，
将三个点的坐标分别代入表达式：
1. 把$(-1,3)$代入：$a·(-1)^2 + b·(-1) + c = 3$，整理得 $a - b + c = 3$ ①；
2. 把$(1,-1)$代入：$a·1^2 + b·1 + c = -1$，整理得 $a + b + c = -1$ ②；
3. 把$(0,-2)$代入：$a·0^2 + b·0 + c = -2$，整理得 $c = -2$ ③。
将③分别代入①和②，得到：
$\begin{cases}a - b - 2 = 3 \\ a + b - 2 = -1\end{cases}$，化简为$\begin{cases}a - b = 5 \ \ \ \ ④\\ a + b = 1 \ \ \ \ ⑤\end{cases}$
④+⑤得：$2a=6$，解得$a=3$；
把$a=3$代入⑤得：$3 + b = 1$，解得$b=-2$。
将$a=3$、$b=-2$、$c=-2$代入所设一般式，即可得到二次函数表达式。
【答案】
$y=3x^2-2x-2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三元一次方程组的求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础常考题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是根据已知点的特征合理选择二次函数的形式，熟练解三元一次方程组即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
5 已知二次函数的顶点为(-3,6)，且经过点(1,-2)，那么二次函数的表达式为
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 + 6$
。答案
5 $y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 + 6$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式求解解析式更简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标，我们可先将已知顶点代入顶点式，得到仅含参数$a$的表达式，再将函数经过的点的坐标代入，求解出$a$的值，即可得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数的顶点为$(-3,6)$
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x+3)^2+6(a≠0)$
将点$(1,-2)$代入解析式得：
$-2=a×(1+3)^2+6$
整理得：$16a+6=-2$
移项计算得：$16a=-8$
解得：$a=-\frac{1}{2}$
将$a=-\frac{1}{2}$代入所设解析式，可得二次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+6$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 + 6$
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，已知顶点坐标时选用顶点式求解可大幅简化计算，熟练掌握顶点式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.7
已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式求解解析式更简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$为顶点坐标，我们可先将已知顶点代入顶点式，得到仅含参数$a$的表达式，再将函数经过的点的坐标代入，求解出$a$的值，即可得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数的顶点为$(-3,6)$
∴设该二次函数的解析式为$y=a(x+3)^2+6(a≠0)$
将点$(1,-2)$代入解析式得：
$-2=a×(1+3)^2+6$
整理得：$16a+6=-2$
移项计算得：$16a=-8$
解得：$a=-\frac{1}{2}$
将$a=-\frac{1}{2}$代入所设解析式，可得二次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2+6$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 + 6$
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，已知顶点坐标时选用顶点式求解可大幅简化计算，熟练掌握顶点式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.7
6 (1)已知二次函数的图像经过(-4，0)，(1，0)和(-2，6)三个点，那么二次函数的表达式为
$y=-x^2-3x+4$
；(2)已知二次函数的图像经过(2，4)，(3，4)和(5，10)三个点，那么二次函数的表达式为$y=x^2-5x+10$
。答案
6 (1) $y=-x^2-3x+4$ (2) $y=x^2-5x+10$
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标(-4,0)、(1,0)，可优先选用交点式设解析式，仅需求出参数a即可，能避免解三元一次方程组、简化计算：先设交点式为y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0，x₁、x₂为函数与x轴交点的横坐标），代入已知的两个零点，再将第三个点(-2,6)代入即可求出a，最后整理为一般式即可。
(2) 已知两个点(2,4)、(3,4)的纵坐标相等，说明这两个点是抛物线上的对称点，可设简化的待定式y=a(x-2)(x-3)+4（a≠0），代入x=2或x=3时y恒为4，符合已知条件，再将第三个点(5,10)代入求出a，最后整理为一般式即可；也可设一般式列三元一次方程组求解。
【解析】
(1) 设二次函数的交点式为$y=a(x+4)(x-1)$（$a≠ 0$）
将点$(-2,6)$代入解析式得：
$6 = a× (-2+4)× (-2-1)$
$6 = -6a$
解得$a=-1$
将$a=-1$代入交点式展开得：
$y=-(x+4)(x-1) = -(x^2+3x-4) = -x^2-3x+4$
(2) 设二次函数解析式为$y=a(x-2)(x-3)+4$（$a≠ 0$）
将点$(5,10)$代入解析式得：
$10 = a× (5-2)× (5-3) + 4$
$10 = 6a + 4$
解得$a=1$
将$a=1$代入展开得：
$y=(x-2)(x-3)+4 = x^2-5x+6+4 = x^2-5x+10$
【答案】
(1) $y=-x^2-3x+4$；(2) $y=x^2-5x+10$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数交点式；三元一次方程组应用
【点评】
这两道题是二次函数解析式求解的基础题型，解题时可根据已知点的特征灵活选择解析式形式，能有效减少计算量、提高正确率，若对特殊形式不熟悉，选用一般式列方程组求解也可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
(1) 已知二次函数图像与x轴的两个交点坐标(-4,0)、(1,0)，可优先选用交点式设解析式，仅需求出参数a即可，能避免解三元一次方程组、简化计算：先设交点式为y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0，x₁、x₂为函数与x轴交点的横坐标），代入已知的两个零点，再将第三个点(-2,6)代入即可求出a，最后整理为一般式即可。
(2) 已知两个点(2,4)、(3,4)的纵坐标相等，说明这两个点是抛物线上的对称点，可设简化的待定式y=a(x-2)(x-3)+4（a≠0），代入x=2或x=3时y恒为4，符合已知条件，再将第三个点(5,10)代入求出a，最后整理为一般式即可；也可设一般式列三元一次方程组求解。
【解析】
(1) 设二次函数的交点式为$y=a(x+4)(x-1)$（$a≠ 0$）
将点$(-2,6)$代入解析式得：
$6 = a× (-2+4)× (-2-1)$
$6 = -6a$
解得$a=-1$
将$a=-1$代入交点式展开得：
$y=-(x+4)(x-1) = -(x^2+3x-4) = -x^2-3x+4$
(2) 设二次函数解析式为$y=a(x-2)(x-3)+4$（$a≠ 0$）
将点$(5,10)$代入解析式得：
$10 = a× (5-2)× (5-3) + 4$
$10 = 6a + 4$
解得$a=1$
将$a=1$代入展开得：
$y=(x-2)(x-3)+4 = x^2-5x+6+4 = x^2-5x+10$
【答案】
(1) $y=-x^2-3x+4$；(2) $y=x^2-5x+10$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数交点式；三元一次方程组应用
【点评】
这两道题是二次函数解析式求解的基础题型，解题时可根据已知点的特征灵活选择解析式形式，能有效减少计算量、提高正确率，若对特殊形式不熟悉，选用一般式列方程组求解也可得到正确结果。
【难度系数】
0.85
7 已知二次函数的图像经过A(-1,0)，B(3,0)，且函数有最小值-8，那么二次函数的表达式为
$y=2(x-1)^2 -8$
。答案
7 $y=2(x-1)^2 -8$
解析
【分析】
拿到本题首先梳理已知条件：已知二次函数与x轴的两个交点坐标，以及函数的最小值。首先根据二次函数的对称性，x轴上的两个交点关于抛物线的对称轴对称，可先计算出对称轴的直线方程；函数的最小值就是抛物线顶点的纵坐标，结合对称轴即可得到顶点坐标；之后选择顶点式设出二次函数解析式，代入任意一个已知交点的坐标求解参数a，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
∵二次函数图像经过x轴上的A(-1,0)、B(3,0)两点，两点关于抛物线对称轴对称
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$
2. 确定顶点坐标：
∵函数有最小值-8，说明顶点纵坐标为-8，横坐标与对称轴一致
∴抛物线顶点坐标为$(1,-8)$
3. 设顶点式解析式：
设二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-8$（$a≠0$）
4. 代入点求参数a：
将A(-1,0)代入解析式得：
$0=a×(-1-1)^2-8$
$4a-8=0$
解得$a=2$
5. 整理得最终解析式：
将$a=2$代入所设顶点式，得$y=2(x-1)^2-8$
【答案】
$y=2(x-1)^2 -8$
【知识点】
二次函数对称性；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础常考题，解题核心是利用交点的对称性结合最值快速确定顶点坐标，选择匹配的解析式形式代入计算即可，熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.75
拿到本题首先梳理已知条件：已知二次函数与x轴的两个交点坐标，以及函数的最小值。首先根据二次函数的对称性，x轴上的两个交点关于抛物线的对称轴对称，可先计算出对称轴的直线方程；函数的最小值就是抛物线顶点的纵坐标，结合对称轴即可得到顶点坐标；之后选择顶点式设出二次函数解析式，代入任意一个已知交点的坐标求解参数a，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
∵二次函数图像经过x轴上的A(-1,0)、B(3,0)两点，两点关于抛物线对称轴对称
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$
2. 确定顶点坐标：
∵函数有最小值-8，说明顶点纵坐标为-8，横坐标与对称轴一致
∴抛物线顶点坐标为$(1,-8)$
3. 设顶点式解析式：
设二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-8$（$a≠0$）
4. 代入点求参数a：
将A(-1,0)代入解析式得：
$0=a×(-1-1)^2-8$
$4a-8=0$
解得$a=2$
5. 整理得最终解析式：
将$a=2$代入所设顶点式，得$y=2(x-1)^2-8$
【答案】
$y=2(x-1)^2 -8$
【知识点】
二次函数对称性；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础常考题，解题核心是利用交点的对称性结合最值快速确定顶点坐标，选择匹配的解析式形式代入计算即可，熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.75
8 如果抛物线$C_1$的顶点在抛物线$C_2$上，同时，抛物线$C_2$的顶点在抛物线$C_1$上，那么，我们称抛物线$C_1$与$C_2$关联。现将抛物线$C_1: y=\frac{1}{8}(x+1)^2 -2$，绕点$P(t，2)$旋转$180°$得到抛物线$C_2$，若抛物线$C_1$与$C_2$关联，则$t$的值为
3或-5
。答案
8 3或-5 [提示:抛物线$C_1$的顶点为(-1,-2),关于点$P(t,2)$的成中心对称的点为$(2t+1,6)$,且为抛物线$C_2$的顶点。由关联抛物线的定义可知$C_1$经过点$(2t+1,6)$,代入可得$6=\frac{1}{8}(2t+1+1)^2 -2$,整理得$(2t+2)^2=64$,解得$t_1=3, t_2=-5$。]
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先根据抛物线$C_1$的顶点式求出它的顶点坐标；②抛物线绕点$P$旋转$180°$后，新抛物线$C_2$的顶点与$C_1$的顶点关于点$P$中心对称，利用中点坐标公式即可求出$C_2$的顶点坐标；③根据“关联”抛物线的定义，两个抛物线顶点互在对方抛物线上，由于旋转$180°$的性质，$C_1$的顶点必然在$C_2$上，因此只需将$C_2$的顶点坐标代入$C_1$的解析式，解方程即可求出$t$的值。
【解析】
1. 求抛物线$C_1$的顶点坐标
抛物线$C_1$的解析式为$y=\frac{1}{8}(x+1)^2 -2$，属于顶点式，因此$C_1$的顶点坐标为$M(-1,-2)$。
2. 求抛物线$C_2$的顶点坐标
抛物线$C_1$绕点$P(t,2)$旋转$180°$得到$C_2$，旋转$180°$的两个图形对应点关于旋转中心中心对称，即$P$是$M$和$C_2$顶点$N$的中点。
设$C_2$的顶点为$N(x,y)$，根据中点坐标公式可得：
$\begin{cases} t=\frac{-1+x}{2} \\ 2=\frac{-2+y}{2} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2t+1 \\ y=6 \end{cases}$，即$C_2$的顶点坐标为$N(2t+1,6)$。
3. 根据关联定义列方程求解
根据“关联”的定义，$C_2$的顶点$N$需在抛物线$C_1$上，将$N$代入$C_1$的解析式：
$6=\frac{1}{8}(2t+1+1)^2 -2$
整理得：$\frac{1}{8}(2t+2)^2=8$
两边同乘8得：$(2t+2)^2=64$
开平方得：$2t+2=\pm8$
当$2t+2=8$时，解得$t=3$；
当$2t+2=-8$时，解得$t=-5$。
【答案】
$3$或$-5$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 中心对称的坐标变换
3. 新定义理解
【点评】
本题将二次函数的旋转变换与新定义结合，解题的核心是准确理解“关联”抛物线的含义，熟练运用中心对称的坐标规律，以及二次函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，计算时注意开平方有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先根据抛物线$C_1$的顶点式求出它的顶点坐标；②抛物线绕点$P$旋转$180°$后，新抛物线$C_2$的顶点与$C_1$的顶点关于点$P$中心对称，利用中点坐标公式即可求出$C_2$的顶点坐标；③根据“关联”抛物线的定义，两个抛物线顶点互在对方抛物线上，由于旋转$180°$的性质，$C_1$的顶点必然在$C_2$上，因此只需将$C_2$的顶点坐标代入$C_1$的解析式，解方程即可求出$t$的值。
【解析】
1. 求抛物线$C_1$的顶点坐标
抛物线$C_1$的解析式为$y=\frac{1}{8}(x+1)^2 -2$，属于顶点式，因此$C_1$的顶点坐标为$M(-1,-2)$。
2. 求抛物线$C_2$的顶点坐标
抛物线$C_1$绕点$P(t,2)$旋转$180°$得到$C_2$，旋转$180°$的两个图形对应点关于旋转中心中心对称，即$P$是$M$和$C_2$顶点$N$的中点。
设$C_2$的顶点为$N(x,y)$，根据中点坐标公式可得：
$\begin{cases} t=\frac{-1+x}{2} \\ 2=\frac{-2+y}{2} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=2t+1 \\ y=6 \end{cases}$，即$C_2$的顶点坐标为$N(2t+1,6)$。
3. 根据关联定义列方程求解
根据“关联”的定义，$C_2$的顶点$N$需在抛物线$C_1$上，将$N$代入$C_1$的解析式：
$6=\frac{1}{8}(2t+1+1)^2 -2$
整理得：$\frac{1}{8}(2t+2)^2=8$
两边同乘8得：$(2t+2)^2=64$
开平方得：$2t+2=\pm8$
当$2t+2=8$时，解得$t=3$；
当$2t+2=-8$时，解得$t=-5$。
【答案】
$3$或$-5$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 中心对称的坐标变换
3. 新定义理解
【点评】
本题将二次函数的旋转变换与新定义结合，解题的核心是准确理解“关联”抛物线的含义，熟练运用中心对称的坐标规律，以及二次函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，计算时注意开平方有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9 二次函数$y=(m^2 - 2)x^2 - 4mx + n$的对称轴是$x=2$，且最高点在直线$y=\frac{1}{2}x + 1$上，这个二次函数的表达式为
$y=-x^2+4x-2$
。答案
9 $y=-x^2+4x-2$ [提示:由二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$,可得$-\frac{4m}{2(m^2-2)}=2$,整理得$m^2-m-2=0$,解得$m_1=2, m_2=-1$。因为函数有最高点,所以二次函数开口向下,所以$m^2-2＜0$,所以$m=-1$,所以$y=-x^2+4x+n$。当$x=2$时,代入直线$y=\frac{1}{2}x+1, y=2$,所以顶点坐标$(2,2)$。将顶点代入$y=-x^2+4x+n$,得$2=-4+8+n$,解得$n=-2$,所以二次函数的表达式为$y=-x^2+4x-2$。]
解析
【分析】
要确定二次函数的表达式，需依次求出参数m、n的值：①首先利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴x=2列方程求解m的可能值；②由“函数有最高点”可知二次函数开口向下，即二次项系数小于0，据此筛选出符合条件的m值，确定二次项和一次项系数；③最高点就是二次函数的顶点，顶点横坐标为对称轴x=2，将其代入直线解析式即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标；④最后将顶点坐标代入二次函数解析式求出n的值，即可得到完整的函数表达式。
【解析】
1. 求参数m的值：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=m^2-2$，$b=-4m$，已知对称轴为$x=2$，代入得：
$-\frac{-4m}{2(m^2-2)}=2$
整理得$\frac{2m}{m^2-2}=2$，化简为$m^2 - m - 2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
2. 筛选符合条件的m：
因为函数有最高点，所以二次函数开口向下，即二次项系数$m^2-2＜0$。
当$m=2$时，$m^2-2=2＞0$，不符合要求，舍去；当$m=-1$时，$m^2-2=-1＜0$，符合要求，故$m=-1$，此时二次函数解析式可写为$y=-x^2+4x+n$。
3. 求顶点坐标：
最高点即顶点，在对称轴$x=2$上，将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$得：$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$，即顶点坐标为$(2,2)$。
4. 求参数n的值：
将顶点$(2,2)$代入$y=-x^2+4x+n$得：$2=-2^2 +4×2 +n$，解得$n=-2$。
【答案】
$y=-x^2+4x-2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴公式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题的关键是抓住“有最高点”的隐含条件，确定二次项系数的符号，对求出的m值进行合理筛选，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数的表达式，需依次求出参数m、n的值：①首先利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴x=2列方程求解m的可能值；②由“函数有最高点”可知二次函数开口向下，即二次项系数小于0，据此筛选出符合条件的m值，确定二次项和一次项系数；③最高点就是二次函数的顶点，顶点横坐标为对称轴x=2，将其代入直线解析式即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标；④最后将顶点坐标代入二次函数解析式求出n的值，即可得到完整的函数表达式。
【解析】
1. 求参数m的值：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=m^2-2$，$b=-4m$，已知对称轴为$x=2$，代入得：
$-\frac{-4m}{2(m^2-2)}=2$
整理得$\frac{2m}{m^2-2}=2$，化简为$m^2 - m - 2=0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m_1=2$，$m_2=-1$。
2. 筛选符合条件的m：
因为函数有最高点，所以二次函数开口向下，即二次项系数$m^2-2＜0$。
当$m=2$时，$m^2-2=2＞0$，不符合要求，舍去；当$m=-1$时，$m^2-2=-1＜0$，符合要求，故$m=-1$，此时二次函数解析式可写为$y=-x^2+4x+n$。
3. 求顶点坐标：
最高点即顶点，在对称轴$x=2$上，将$x=2$代入直线$y=\frac{1}{2}x+1$得：$y=\frac{1}{2}×2 +1=2$，即顶点坐标为$(2,2)$。
4. 求参数n的值：
将顶点$(2,2)$代入$y=-x^2+4x+n$得：$2=-2^2 +4×2 +n$，解得$n=-2$。
【答案】
$y=-x^2+4x-2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴公式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题的关键是抓住“有最高点”的隐含条件，确定二次项系数的符号，对求出的m值进行合理筛选，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
10 点$A(m,y_1)$，$B(m+4,y_2)$，$C(1,y_3)$在二次函数$y=ax^2 - 2ax + 4$的图像上，且$y_1 ≤ y_2 ≤ y_3$，则$m$的取值范围是
$m ≤ -1$
。答案
10 $m ≤ -1$ [提示:因为当$x=1$时,$y_3$最大且对称轴为直线$x=1$,所以抛物线开口向下,点C为顶点且是最高点。①当点A、点B均在顶点C的左侧时$y_1 ≤ y_2 ≤ y_3$恒成立;②当点A、点B在顶点C的两侧时,因为要保证$y_1 ≤ y_2$,所以$m+4-1 ≤ 1-m$,解得$m ≤ -1$。]
解析
【分析】
首先求出二次函数的对称轴，结合$y_2≤y_3$可判断抛物线开口方向，明确开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大的规律。再根据A、B两点横坐标的位置关系分两种情况讨论：①两点都在对称轴左侧，利用二次函数的增减性直接判断；②两点在对称轴两侧，根据函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系列不等式求解，最后综合两种情况得到m的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2 - 2ax + 4$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$可得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即对称轴为直线$x=1$，点$C(1,y_3)$为抛物线的顶点。
2. 判断抛物线开口方向
已知$y_2≤y_3$，说明顶点处函数值为最大值，因此抛物线开口向下，此时抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大。
3. 分情况讨论A、B的位置
点A横坐标为$m$，点B横坐标为$m+4$，B始终在A右侧，两点横坐标相差4：
① 当A、B均在对称轴左侧（含对称轴）时，即$m+4≤1$，解得$m≤-3$。
此时开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，因$m＜m+4≤1$，故$y_1＜y_2≤y_3$，满足题设条件。
② 当A在对称轴左侧、B在对称轴右侧时，即$\begin{cases}m＜1 \\ m+4＞1\end{cases}$，解得$-3＜m＜1$。
要满足$y_1≤y_2$，即点B到对称轴的距离≤点A到对称轴的距离，列不等式：
$(m+4)-1 ≤ 1 - m$
化简得：$m+3 ≤ 1 - m$
移项合并同类项得：$2m≤-2$，解得$m≤-1$。
结合此情况的前提$-3＜m＜1$，得此情况的解集为$-3＜m≤-1$。
4. 合并解集
综合两种情况，$m$的取值范围为$m≤-1$。
【答案】
$m ≤ -1$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的增减性，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数性质的灵活应用，解题核心是先确定对称轴和开口方向，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，解题时需注意运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.5
首先求出二次函数的对称轴，结合$y_2≤y_3$可判断抛物线开口方向，明确开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大的规律。再根据A、B两点横坐标的位置关系分两种情况讨论：①两点都在对称轴左侧，利用二次函数的增减性直接判断；②两点在对称轴两侧，根据函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系列不等式求解，最后综合两种情况得到m的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=ax^2 - 2ax + 4$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$可得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即对称轴为直线$x=1$，点$C(1,y_3)$为抛物线的顶点。
2. 判断抛物线开口方向
已知$y_2≤y_3$，说明顶点处函数值为最大值，因此抛物线开口向下，此时抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大。
3. 分情况讨论A、B的位置
点A横坐标为$m$，点B横坐标为$m+4$，B始终在A右侧，两点横坐标相差4：
① 当A、B均在对称轴左侧（含对称轴）时，即$m+4≤1$，解得$m≤-3$。
此时开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，因$m＜m+4≤1$，故$y_1＜y_2≤y_3$，满足题设条件。
② 当A在对称轴左侧、B在对称轴右侧时，即$\begin{cases}m＜1 \\ m+4＞1\end{cases}$，解得$-3＜m＜1$。
要满足$y_1≤y_2$，即点B到对称轴的距离≤点A到对称轴的距离，列不等式：
$(m+4)-1 ≤ 1 - m$
化简得：$m+3 ≤ 1 - m$
移项合并同类项得：$2m≤-2$，解得$m≤-1$。
结合此情况的前提$-3＜m＜1$，得此情况的解集为$-3＜m≤-1$。
4. 合并解集
综合两种情况，$m$的取值范围为$m≤-1$。
【答案】
$m ≤ -1$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的增减性，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数性质的灵活应用，解题核心是先确定对称轴和开口方向，将函数值的大小关系转化为点到对称轴的距离关系，解题时需注意运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.5
