三、解答题
11 已知二次函数的顶点为$(4, -2)$，且其图像经过点$(5, 1)$，求此二次函数的表达式。

11 设二次函数的表达式为$y=a(x-4)^2-2$,将点$(5,1)$代入可得,$a=3$,所以二次函数的表达式为$y=3(x-4)^2-2$。

12 已知抛物线经过点$(3,-1)$，顶点坐标为$(2,-2)$。
（1）求抛物线对应的函数表达式。
（2）若点$P(t,y_1)$，$Q(t+3,y_2)$都在抛物线上，且$y_1=y_2$，求$P$、$Q$两点的坐标。

12 (1) 设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2-2$,将点$(3,-1)$代入可得,$a=1$,所以抛物线的表达式为$y=(x-2)^2-2$。
(2) 因为$y_1=y_2$,所以$PQ // x$轴,所以P、Q两点关于对称轴直线$x=2$对称,所以$2-t=t+3-2$,解得$t=\frac{1}{2}$。把$t=\frac{1}{2}$代入可得,$y_1=y_2=\frac{1}{4}$,$t+3=\frac{7}{2}$,所以$P(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$,$Q(\frac{7}{2},\frac{1}{4})$。

13 已知二次函数$y=x^2+2ax-2b+1$和$y=-x^2+(a-3)x+b^2-1$的图像都同时经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。

13 因为抛物线的二次项系数互为相反数,且都经过x轴上两个不同的点M、N,所以两条抛物线的图像关于x轴对称,所以二次函数各项系数均互为相反数,所以
$\begin{cases}2a + a - 3 = 0,\\-2b + 1 + b^2 - 1 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=0\end{cases}$或$\begin{cases}a=1,\\b=2。\end{cases}$
当$\begin{cases}a=1,\\b=0\end{cases}$时,两抛物线分别为$y=(x+1)^2$和$y=-(x+1)^2$,它们与x轴只有一个交点,舍去;当$\begin{cases}a=1,\\b=2\end{cases}$时,两抛物线分别为$y=x^2+2x-3$和$y=-x^2-2x+3$,符合题意。所以$a=1, b=2$。

14 如图，抛物线$y=-x^2+2x+3$，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线l过点C交x轴于点E(4,0)，点Q在x轴的正半轴上运动，过点Q作y轴的平行线，交直线l于点M，交抛物线于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，点M的对应点为$M'$，当点$M'$恰好落在y轴上时，试求点Q的坐标。

14 由题意可得$A(-1,0), B(3,0), C(0,3)$。设直线CE表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,将$C(0,3), E(4,0)$代入CE表达式,可得$\begin{cases}4k + b = 0,\\b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$所以直线CE:$y=-\frac{3}{4}x+3$。设点Q坐标为$(m,0)$,则$M(m, -\frac{3}{4}m + 3)$,$N(m, -m^2 + 2m + 3)$。如图,因为$MN // CM'$,所以$∠ M'CN = ∠ MNC$。由翻折可得$∠ M'CN = ∠ MCN$,所以$∠ MNC = ∠ MCN$,所以$MN=MC$。因为$CM=\sqrt{m^2 + (-\frac{3}{4}m + 3 - 3)^2}=\frac{5}{4}m$, $MN=|-m^2 + 2m + 3 - (-\frac{3}{4}m + 3)|=|-m^2 + \frac{11}{4}m|$,所以$|-m^2 + \frac{11}{4}m|=\frac{5}{4}m$。因为点Q在x轴正半轴,所以$m＞0$。
当$-m^2 + \frac{11}{4}m =\frac{5}{4}m$时,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=\frac{3}{2}$,点$Q(\frac{3}{2}, 0)$,此时点$M'$在y轴正半轴;
当$m^2 -\frac{11}{4} m=\frac{5}{4}m$时,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=4$,点$Q(4,0)$,此时点$M'$在y轴负半轴。
综上所述,点Q坐标为$(\frac{3}{2}, 0)$或$(4, 0)$。