三、解答题
11 已知二次函数的顶点为$(4, -2)$，且其图像经过点$(5, 1)$，求此二次函数的表达式。

11 设二次函数的表达式为$y=a(x-4)^2-2$,将点$(5,1)$代入可得,$a=3$,所以二次函数的表达式为$y=3(x-4)^2-2$。

【分析】
当已知二次函数的顶点坐标时，优先选用顶点式设函数表达式，可减少未知参数的数量，简化计算。首先根据顶点坐标$(4,-2)$写出含参数$a$的顶点式，再将函数经过的点$(5,1)$代入表达式，解关于$a$的一元一次方程求出$a$的值，最后将$a$代回顶点式即可得到二次函数的表达式。
【解析】
解：
∵二次函数的顶点为$(4, -2)$，
∴设该二次函数的表达式为顶点式：$y=a(x-4)^2-2$（$a≠0$），
将点$(5,1)$代入上式，得：
$1=a×(5-4)^2 - 2$，
化简得：$1 = a - 2$，
解得：$a=3$，
将$a=3$代入所设顶点式，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y=3(x-4)^2-2$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知的顶点坐标选择合适的解析式形式，掌握待定系数法的求解步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.85

12 已知抛物线经过点$(3,-1)$，顶点坐标为$(2,-2)$。
（1）求抛物线对应的函数表达式。
（2）若点$P(t,y_1)$，$Q(t+3,y_2)$都在抛物线上，且$y_1=y_2$，求$P$、$Q$两点的坐标。

12 (1) 设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2-2$,将点$(3,-1)$代入可得,$a=1$,所以抛物线的表达式为$y=(x-2)^2-2$。
(2) 因为$y_1=y_2$,所以$PQ // x$轴,所以P、Q两点关于对称轴直线$x=2$对称,所以$2-t=t+3-2$,解得$t=\frac{1}{2}$。把$t=\frac{1}{2}$代入可得,$y_1=y_2=\frac{1}{4}$,$t+3=\frac{7}{2}$,所以$P(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$,$Q(\frac{7}{2},\frac{1}{4})$。

【分析】
（1）已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，仅需求出参数a即可得到解析式，避免设一般式求解多个参数的繁琐计算；将已知抛物线上的点代入顶点式，解一元一次方程求出a值即可。
（2）抛物线上两点纵坐标相等时，两点关于抛物线的对称轴对称，本题抛物线对称轴为顶点横坐标所在直线x=2，对称点到对称轴的距离相等，据此列方程求出t的值，再将t代入抛物线解析式求出纵坐标，即可得到P、Q两点坐标。
【解析】
（1）设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点坐标为$(2,-2)$，即$h=2$，$k=-2$，代入得$y=a(x-2)^2-2$。
将点$(3,-1)$代入上式：$-1=a(3-2)^2-2$，解得$a=1$。
因此抛物线对应的函数表达式为$y=(x-2)^2-2$。
（2）$\because y_1=y_2$，$\therefore$点$P$、$Q$关于抛物线的对称轴对称。
由顶点坐标可知抛物线对称轴为直线$x=2$，则两点到对称轴的距离相等，即$2-t = (t+3)-2$。
解方程得$t=\frac{1}{2}$。
则$t+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$，将$t=\frac{1}{2}$代入抛物线解析式得：
$y_1=(\frac{1}{2}-2)^2-2=\frac{1}{4}$，即$y_2=y_1=\frac{1}{4}$。
$\therefore P$点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$Q$点坐标为$(\frac{7}{2},\frac{1}{4})$。
【答案】
（1）$y=(x-2)^2-2$
（2）$P(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$Q(\frac{7}{2},\frac{1}{4})$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，熟练运用二次函数的对称性简化计算，掌握这两类方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8

13 已知二次函数$y=x^2+2ax-2b+1$和$y=-x^2+(a-3)x+b^2-1$的图像都同时经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b的值。

13 因为抛物线的二次项系数互为相反数,且都经过x轴上两个不同的点M、N,所以两条抛物线的图像关于x轴对称,所以二次函数各项系数均互为相反数,所以
$\begin{cases}2a + a - 3 = 0,\\-2b + 1 + b^2 - 1 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=0\end{cases}$或$\begin{cases}a=1,\\b=2。\end{cases}$
当$\begin{cases}a=1,\\b=0\end{cases}$时,两抛物线分别为$y=(x+1)^2$和$y=-(x+1)^2$,它们与x轴只有一个交点,舍去;当$\begin{cases}a=1,\\b=2\end{cases}$时,两抛物线分别为$y=x^2+2x-3$和$y=-x^2-2x+3$,符合题意。所以$a=1, b=2$。

【分析】
解题时首先抓住“两个二次函数图像都经过x轴上两个不同的点”这一核心条件，说明当y=0时，两个对应的一元二次方程有两个相同的不等实根；观察两个二次函数的二次项系数互为相反数，可推出两个函数图像关于x轴对称，因此对应项的系数均互为相反数，由此可列出关于a、b的方程组求解；求出解后，要结合“两个不同的点”的要求，检验两个函数与x轴的交点个数，舍去不符合条件的解。
【解析】
∵ 两个二次函数的图像都经过x轴上两个不同的点M、N，且二次项系数分别为1和-1，互为相反数，
∴ 两个二次函数的图像关于x轴对称，对应项系数互为相反数，可列方程组：
$\begin{cases}2a = -(a - 3)\\-2b + 1 = -(b^2 - 1)\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}2a + a - 3 = 0\\-2b + 1 + b^2 - 1 = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$3a=3$，即$a=1$；
解第二个方程得：$b^2-2b=0$，即$b(b-2)=0$，得$b=0$或$b=2$。
接下来检验解是否符合题意：
① 当$\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}$时，两个函数分别为$y=(x+1)^2$和$y=-(x+1)^2$，与x轴仅有1个交点，不符合“两个不同的点”的要求，舍去；
② 当$\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$时，两个函数分别为$y=x^2+2x-3$和$y=-x^2-2x+3$，令y=0解得x=1或x=-3，有两个不同的x轴交点，符合题意。
【答案】
$a=1$，$b=2$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与x轴交点，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与方程结合的典型习题，核心突破口是根据两个函数同过x轴两点、二次项系数互为相反数的特征推出系数的对应关系，易错点是求出a、b的值后忽略“两个不同点”的约束条件，未进行检验导致错解。
【难度系数】
0.6

14 如图，抛物线$y=-x^2+2x+3$，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线l过点C交x轴于点E(4,0)，点Q在x轴的正半轴上运动，过点Q作y轴的平行线，交直线l于点M，交抛物线于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻折，点M的对应点为$M'$，当点$M'$恰好落在y轴上时，试求点Q的坐标。

14 由题意可得$A(-1,0), B(3,0), C(0,3)$。设直线CE表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,将$C(0,3), E(4,0)$代入CE表达式,可得$\begin{cases}4k + b = 0,\\b = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$所以直线CE:$y=-\frac{3}{4}x+3$。设点Q坐标为$(m,0)$,则$M(m, -\frac{3}{4}m + 3)$,$N(m, -m^2 + 2m + 3)$。如图,因为$MN // CM'$,所以$∠ M'CN = ∠ MNC$。由翻折可得$∠ M'CN = ∠ MCN$,所以$∠ MNC = ∠ MCN$,所以$MN=MC$。因为$CM=\sqrt{m^2 + (-\frac{3}{4}m + 3 - 3)^2}=\frac{5}{4}m$, $MN=|-m^2 + 2m + 3 - (-\frac{3}{4}m + 3)|=|-m^2 + \frac{11}{4}m|$,所以$|-m^2 + \frac{11}{4}m|=\frac{5}{4}m$。因为点Q在x轴正半轴,所以$m＞0$。
当$-m^2 + \frac{11}{4}m =\frac{5}{4}m$时,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=\frac{3}{2}$,点$Q(\frac{3}{2}, 0)$,此时点$M'$在y轴正半轴;
当$m^2 -\frac{11}{4} m=\frac{5}{4}m$时,解得$m_1=0$(舍去),$m_2=4$,点$Q(4,0)$,此时点$M'$在y轴负半轴。
综上所述,点Q坐标为$(\frac{3}{2}, 0)$或$(4, 0)$。

【分析】
解题时首先先确定抛物线与坐标轴交点A、B、C的坐标，再利用C、E两点坐标求出直线CE的解析式；接下来设点Q的横坐标为m（m＞0，因Q在x轴正半轴），即可表示出点M、N的坐标；结合翻折的性质以及MN平行于y轴（即平行于CM'所在的y轴），可推导得出∠MNC=∠MCN，即△CMN为等腰三角形，MN=CM；最后分别用含m的式子表示出MN和CM的长度，列绝对值方程，分情况求解即可得到m的值，即得Q点坐标，注意舍去不符合题意的解。
【解析】
1. 求抛物线与坐标轴交点坐标
对于抛物线$y=-x^2+2x+3$，
令x=0，得y=3，故$C(0,3)$；
令y=0，即$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
2. 求直线CE的解析式
设直线CE的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$C(0,3)$、$E(4,0)$代入得：
$\begin{cases}b=3\\4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4}\\b=3\end{cases}$，
因此直线CE的解析式为$y=-\frac{3}{4}x+3$。
3. 设点坐标，推导线段等量关系
设点Q坐标为$(m,0)$（$m＞0$，因Q在x轴正半轴），
因QM、QN平行于y轴，故$M(m, -\frac{3}{4}m+3)$，$N(m, -m^2+2m+3)$。
由翻折性质可得$∠M'CN=∠MCN$，
又$MN// y$轴，即$MN// CM'$，故$∠M'CN=∠MNC$，
因此$∠MNC=∠MCN$，即$MN=MC$。
4. 列方程求解
计算线段长度：
$CM=\sqrt{(m-0)^2+(-\frac{3}{4}m+3-3)^2}=\sqrt{m^2+\frac{9}{16}m^2}=\frac{5}{4}m$，
$MN=|(-m^2+2m+3)-(-\frac{3}{4}m+3)|=|-m^2+\frac{11}{4}m|$。
由$MN=MC$得：$|-m^2+\frac{11}{4}m|=\frac{5}{4}m$，
因$m＞0$，分两种情况讨论：
① 当$-m^2+\frac{11}{4}m=\frac{5}{4}m$时，整理得$-m^2+\frac{3}{2}m=0$，解得$m_1=0$（舍去），$m_2=\frac{3}{2}$，即$Q(\frac{3}{2},0)$；
② 当$m^2-\frac{11}{4}m=\frac{5}{4}m$时，整理得$m^2-4m=0$，解得$m_1=0$（舍去），$m_2=4$，即$Q(4,0)$。
【答案】
点Q的坐标为$(\frac{3}{2}, 0)$或$(4, 0)$
【知识点】
1. 二次函数图像性质
2. 一次函数解析式求解
3. 折叠的性质
【点评】
本题综合考查函数与几何变换的结合，解题核心是利用折叠的性质和平行线的性质推导出等腰三角形，将线段的等量关系转化为方程求解，解题时需注意对绝对值的情况进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6