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1 下列二次函数中有一个函数的图像与$x$轴有两个不同的交点，这个函数是（
A.$y=x^2$
B.$y=x^2+4$
C.$y=3x^2-2x+5$
D.$y=3x^2+5x-1$
D
）。A.$y=x^2$
B.$y=x^2+4$
C.$y=3x^2-2x+5$
D.$y=3x^2+5x-1$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断二次函数图像与x轴的交点个数，可利用二次函数与对应一元二次方程的关系：当二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中$y=0$时，得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，方程根的个数对应函数图像与x轴的交点个数，可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：$\Delta＞0$时有两个不同交点，$\Delta=0$时有一个交点，$\Delta＜0$时没有交点。因此解题时只需分别计算四个选项中二次函数的判别式，选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta＞0$时图像与x轴有两个不同交点。
A选项：$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，$\Delta=0^2-4×1×0=0$，图像与x轴只有1个交点，不符合要求；
B选项：$y=x^2+4$中，$a=1$，$b=0$，$c=4$，$\Delta=0^2-4×1×4=-16＜0$，图像与x轴没有交点，不符合要求；
C选项：$y=3x^2-2x+5$中，$a=3$，$b=-2$，$c=5$，$\Delta=(-2)^2-4×3×5=4-60=-56＜0$，图像与x轴没有交点，不符合要求；
D选项：$y=3x^2+5x-1$中，$a=3$，$b=5$，$c=-1$，$\Delta=5^2-4×3×(-1)=25+12=37＞0$，图像与x轴有两个不同交点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式应用，二次函数与x轴交点判定，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次函数图像与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题时需要准确代入系数计算判别式，尤其要注意常数项为负时的符号问题，熟练掌握判别式的相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图像与x轴的交点个数，可利用二次函数与对应一元二次方程的关系：当二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中$y=0$时，得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，方程根的个数对应函数图像与x轴的交点个数，可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：$\Delta＞0$时有两个不同交点，$\Delta=0$时有一个交点，$\Delta＜0$时没有交点。因此解题时只需分别计算四个选项中二次函数的判别式，选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，$\Delta＞0$时图像与x轴有两个不同交点。
A选项：$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，$\Delta=0^2-4×1×0=0$，图像与x轴只有1个交点，不符合要求；
B选项：$y=x^2+4$中，$a=1$，$b=0$，$c=4$，$\Delta=0^2-4×1×4=-16＜0$，图像与x轴没有交点，不符合要求；
C选项：$y=3x^2-2x+5$中，$a=3$，$b=-2$，$c=5$，$\Delta=(-2)^2-4×3×5=4-60=-56＜0$，图像与x轴没有交点，不符合要求；
D选项：$y=3x^2+5x-1$中，$a=3$，$b=5$，$c=-1$，$\Delta=5^2-4×3×(-1)=25+12=37＞0$，图像与x轴有两个不同交点，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式应用，二次函数与x轴交点判定，二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次函数图像与x轴交点个数和判别式的对应关系，解题时需要准确代入系数计算判别式，尤其要注意常数项为负时的符号问题，熟练掌握判别式的相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 已知二次函数$y=ax^2+c$，当x取$x_1$、$x_2$($x_1≠x_2$)时，函数值相等，则当x取$x_1+x_2$时，函数值为(
A.$a+c$
B.$a-c$
C.$-c$
D.$c$
D
)。A.$a+c$
B.$a-c$
C.$-c$
D.$c$
答案
2.D
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：一是利用二次函数的图象性质，二次函数$y=ax^2+c$的对称轴为y轴（$x=0$），若两个不同自变量对应的函数值相等，说明这两个自变量关于对称轴对称，即可推出$x_1+x_2$的值，代入计算即可；二是利用代数运算，将$x_1$、$x_2$分别代入函数解析式，根据函数值相等列等式，结合$x_1≠x_2$的条件推导$x_1+x_2$的值，再代入计算函数值。
【解析】
方法一（利用对称性）：
二次函数$y=ax^2+c$的对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
已知当$x=x_1$和$x=x_2$时函数值相等，说明点$(x_1,y)$和$(x_2,y)$关于对称轴对称，因此横坐标满足$\frac{x_1+x_2}{2}=0$，即$x_1+x_2=0$。
将$x=x_1+x_2=0$代入函数解析式，得$y=a×0^2 + c = c$。
方法二（代数推导法）：
由题意得：$ax_1^2 + c = ax_2^2 + c$
移项化简得：$a(x_1^2 - x_2^2)=0$
因为二次函数中$a≠0$，所以$x_1^2 - x_2^2=0$，因式分解得$(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0$
又已知$x_1≠x_2$，即$x_1-x_2≠0$，因此$x_1+x_2=0$
将$x=0$代入函数得$y=c$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数图象上点的坐标特征、因式分解的应用
【点评】
本题可通过几何性质或代数运算两种方法求解，核心是利用二次函数的性质或等式运算求出$x_1+x_2$的取值，熟练掌握二次函数的基本性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路入手：一是利用二次函数的图象性质，二次函数$y=ax^2+c$的对称轴为y轴（$x=0$），若两个不同自变量对应的函数值相等，说明这两个自变量关于对称轴对称，即可推出$x_1+x_2$的值，代入计算即可；二是利用代数运算，将$x_1$、$x_2$分别代入函数解析式，根据函数值相等列等式，结合$x_1≠x_2$的条件推导$x_1+x_2$的值，再代入计算函数值。
【解析】
方法一（利用对称性）：
二次函数$y=ax^2+c$的对称轴是直线$x=0$（即y轴）。
已知当$x=x_1$和$x=x_2$时函数值相等，说明点$(x_1,y)$和$(x_2,y)$关于对称轴对称，因此横坐标满足$\frac{x_1+x_2}{2}=0$，即$x_1+x_2=0$。
将$x=x_1+x_2=0$代入函数解析式，得$y=a×0^2 + c = c$。
方法二（代数推导法）：
由题意得：$ax_1^2 + c = ax_2^2 + c$
移项化简得：$a(x_1^2 - x_2^2)=0$
因为二次函数中$a≠0$，所以$x_1^2 - x_2^2=0$，因式分解得$(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0$
又已知$x_1≠x_2$，即$x_1-x_2≠0$，因此$x_1+x_2=0$
将$x=0$代入函数得$y=c$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性、二次函数图象上点的坐标特征、因式分解的应用
【点评】
本题可通过几何性质或代数运算两种方法求解，核心是利用二次函数的性质或等式运算求出$x_1+x_2$的取值，熟练掌握二次函数的基本性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像如图所示，有下列4个结论：①$abc＞0$；②$b＞a+c$；③$4a+2b+c＞0$；④$b^2-4ac＞0$，其中正确的结论是（
A.②④
B.③④
C.①③④
D.②③④
D
）。A.②④
B.③④
C.①③④
D.②③④
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先根据二次函数图像的特征推导系数的符号与关系，再逐个验证结论：1. 由开口方向、对称轴、与y轴交点的位置判断a、b、c的符号，验证结论①；2. 观察x=-1时的函数值符号，变形后验证结论②；3. 利用抛物线的对称性，判断x=2时的函数值符号，验证结论③；4. 根据抛物线与x轴的交点个数，结合判别式的意义验证结论④。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 分析结论①：
抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$可得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
因此$abc＜0$，结论①错误。
2. 分析结论②：
当$x=-1$时，代入二次函数得$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，由图像可知$x=-1$时函数图像在x轴下方，即$y＜0$，
∴$a-b+c＜0$，移项得$b＞a+c$，结论②正确。
3. 分析结论③：
当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$，由于抛物线对称轴为$x=1$，$x=2$和$x=0$关于$x=1$对称，$x=0$时$y=c＞0$，因此$x=2$时的函数值与$x=0$时相等，即$4a+2b+c＞0$，结论③正确。
4. 分析结论④：
抛物线与x轴有2个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，结论④正确。
综上，②③④正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与系数关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数图像的常规综合题，需要将图像的几何特征转化为代数关系进行判断，熟记二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先根据二次函数图像的特征推导系数的符号与关系，再逐个验证结论：1. 由开口方向、对称轴、与y轴交点的位置判断a、b、c的符号，验证结论①；2. 观察x=-1时的函数值符号，变形后验证结论②；3. 利用抛物线的对称性，判断x=2时的函数值符号，验证结论③；4. 根据抛物线与x轴的交点个数，结合判别式的意义验证结论④。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 分析结论①：
抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＜0$可得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
因此$abc＜0$，结论①错误。
2. 分析结论②：
当$x=-1$时，代入二次函数得$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，由图像可知$x=-1$时函数图像在x轴下方，即$y＜0$，
∴$a-b+c＜0$，移项得$b＞a+c$，结论②正确。
3. 分析结论③：
当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$，由于抛物线对称轴为$x=1$，$x=2$和$x=0$关于$x=1$对称，$x=0$时$y=c＞0$，因此$x=2$时的函数值与$x=0$时相等，即$4a+2b+c＞0$，结论③正确。
4. 分析结论④：
抛物线与x轴有2个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，结论④正确。
综上，②③④正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像与系数关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数图像的常规综合题，需要将图像的几何特征转化为代数关系进行判断，熟记二次函数的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
7 若函数$y=(k-2)x^2 - \sqrt{7}x + (k-5)$的图像与$x$轴只有一个交点，则$k$的值是
2或$\frac{3}{2}$或$\frac{11}{2}$
。答案
7.$2或\frac{3}{2}或\frac{11}{2}$
解析
【分析】
遇到函数图象与x轴只有一个交点的问题，首先要判断函数类型，题目未明确说明是二次函数，因此需分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，函数为一次函数，一次函数是直线，与x轴只有一个交点，满足条件；②当二次项系数不为0时，函数为二次函数，此时图象与x轴只有一个交点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入公式计算即可得到对应k值，最后汇总所有符合条件的k值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当二次项系数$k-2=0$，即$k=2$时：
函数化简为$y=-\sqrt{7}x - 3$，属于一次函数，一次函数的图象是直线，与x轴仅有一个交点，符合题意，故$k=2$有效。
2. 当二次项系数$k-2≠0$，即$k≠2$时：
函数为二次函数，图象与x轴只有一个交点，说明对应一元二次方程$(k-2)x^2 - \sqrt{7}x + (k-5)=0$有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=k-2$，$b=-\sqrt{7}$，$c=k-5$，代入得：
$\Delta=(-\sqrt{7})^2 - 4×(k-2)×(k-5)=0$
计算得：
$7 - 4(k^2 -7k +10)=0$
展开整理：
$7 -4k^2 +28k -40=0 \implies 4k^2 -28k +33=0$
因式分解得$(2k-3)(2k-11)=0$，解得$k_1=\frac{3}{2}$，$k_2=\frac{11}{2}$，两个值均满足$k≠2$的条件，均有效。
综上，满足条件的$k$的值为$2$或$\frac{3}{2}$或$\frac{11}{2}$。
【答案】
$2或\frac{3}{2}或\frac{11}{2}$
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式应用
【点评】
本题是易错题，解题时极易忽略函数为一次函数的情况，直接默认是二次函数求解导致漏解，做题时要注意先明确函数类型，分类讨论时做到不重不漏。
【难度系数】
0.5
遇到函数图象与x轴只有一个交点的问题，首先要判断函数类型，题目未明确说明是二次函数，因此需分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，函数为一次函数，一次函数是直线，与x轴只有一个交点，满足条件；②当二次项系数不为0时，函数为二次函数，此时图象与x轴只有一个交点等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入公式计算即可得到对应k值，最后汇总所有符合条件的k值。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当二次项系数$k-2=0$，即$k=2$时：
函数化简为$y=-\sqrt{7}x - 3$，属于一次函数，一次函数的图象是直线，与x轴仅有一个交点，符合题意，故$k=2$有效。
2. 当二次项系数$k-2≠0$，即$k≠2$时：
函数为二次函数，图象与x轴只有一个交点，说明对应一元二次方程$(k-2)x^2 - \sqrt{7}x + (k-5)=0$有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，$\Delta=b^2-4ac$，本题中$a=k-2$，$b=-\sqrt{7}$，$c=k-5$，代入得：
$\Delta=(-\sqrt{7})^2 - 4×(k-2)×(k-5)=0$
计算得：
$7 - 4(k^2 -7k +10)=0$
展开整理：
$7 -4k^2 +28k -40=0 \implies 4k^2 -28k +33=0$
因式分解得$(2k-3)(2k-11)=0$，解得$k_1=\frac{3}{2}$，$k_2=\frac{11}{2}$，两个值均满足$k≠2$的条件，均有效。
综上，满足条件的$k$的值为$2$或$\frac{3}{2}$或$\frac{11}{2}$。
【答案】
$2或\frac{3}{2}或\frac{11}{2}$
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式应用
【点评】
本题是易错题，解题时极易忽略函数为一次函数的情况，直接默认是二次函数求解导致漏解，做题时要注意先明确函数类型，分类讨论时做到不重不漏。
【难度系数】
0.5
⑧ 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，且$x_1 + x_2 = 4$，点A(3, -8)在抛物线$y = ax^2 + bx + c$上，那么点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标是
(1, -8)
。答案
8.(1, -8)
解析
【分析】
解题需先结合一元二次方程根与系数的关系推导抛物线的对称轴，再利用轴对称的坐标规律求对称点坐标：① 首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，而对应抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，可通过已知的$x_1+x_2=4$直接算出对称轴；② 关于抛物线对称轴对称的两点纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等，结合点A的坐标即可算出对称点坐标。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1$、$x_2$
∴ 根据韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
已知$x_1 + x_2 = 4$，则$-\frac{b}{a}=4$
抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}×(-\frac{b}{a})=\frac{1}{2}×4=2$
即抛物线的对称轴为直线$x=2$
设点A(3, -8)关于直线$x=2$对称的点坐标为$(m, -8)$
由轴对称性质可知，两点横坐标的平均数等于对称轴对应的x值：
$\frac{3+m}{2}=2$
解得：$m=4-3=1$
∴ 对称点的坐标为(1, -8)
【答案】
(1, -8)
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二次函数的对称轴
3. 轴对称的坐标特征
【点评】
本题将一元二次方程的性质与二次函数的性质结合考查，解题的核心是明确一元二次方程两根之和与对应抛物线对称轴的关联，属于基础综合题，熟练掌握相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题需先结合一元二次方程根与系数的关系推导抛物线的对称轴，再利用轴对称的坐标规律求对称点坐标：① 首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，而对应抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，可通过已知的$x_1+x_2=4$直接算出对称轴；② 关于抛物线对称轴对称的两点纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离相等，结合点A的坐标即可算出对称点坐标。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1$、$x_2$
∴ 根据韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
已知$x_1 + x_2 = 4$，则$-\frac{b}{a}=4$
抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}×(-\frac{b}{a})=\frac{1}{2}×4=2$
即抛物线的对称轴为直线$x=2$
设点A(3, -8)关于直线$x=2$对称的点坐标为$(m, -8)$
由轴对称性质可知，两点横坐标的平均数等于对称轴对应的x值：
$\frac{3+m}{2}=2$
解得：$m=4-3=1$
∴ 对称点的坐标为(1, -8)
【答案】
(1, -8)
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二次函数的对称轴
3. 轴对称的坐标特征
【点评】
本题将一元二次方程的性质与二次函数的性质结合考查，解题的核心是明确一元二次方程两根之和与对应抛物线对称轴的关联，属于基础综合题，熟练掌握相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9 抛物线$y=x^2-(m-2)x-2m$与x轴的交点坐标为
$(-2, 0), (m, 0)$
。（用含m的代数式表示）答案
9.$(-2, 0), (m, 0)$
解析
【分析】
要求抛物线与x轴的交点坐标，根据二次函数与x轴交点的性质，交点处函数值y=0，因此只需令y=0，将问题转化为求解关于x的一元二次方程$x^2-(m-2)x-2m=0$，方程的两个根就是交点的横坐标，纵坐标均为0。观察一元二次方程左边的二次三项式，可通过十字相乘法因式分解，进而快速求出方程的根，得到交点坐标。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2-(m-2)x-2m=0$
对左边的多项式因式分解，十字相乘可得：
$(x+2)(x-m)=0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=m$
因为x轴上点的纵坐标为0，因此抛物线与x轴的交点坐标为$(-2,0)$和$(m,0)$。
【答案】
$(-2, 0), (m, 0)$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、一元二次方程的求解
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的核心是掌握“求函数与x轴交点坐标即令y=0解对应方程”的转化思路，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求抛物线与x轴的交点坐标，根据二次函数与x轴交点的性质，交点处函数值y=0，因此只需令y=0，将问题转化为求解关于x的一元二次方程$x^2-(m-2)x-2m=0$，方程的两个根就是交点的横坐标，纵坐标均为0。观察一元二次方程左边的二次三项式，可通过十字相乘法因式分解，进而快速求出方程的根，得到交点坐标。
【解析】
令抛物线解析式中$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2-(m-2)x-2m=0$
对左边的多项式因式分解，十字相乘可得：
$(x+2)(x-m)=0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=m$
因为x轴上点的纵坐标为0，因此抛物线与x轴的交点坐标为$(-2,0)$和$(m,0)$。
【答案】
$(-2, 0), (m, 0)$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、一元二次方程的求解
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题的核心是掌握“求函数与x轴交点坐标即令y=0解对应方程”的转化思路，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
⑩ 抛物线$y=ax^2+bx-1$的对称轴为$x=-1$，且顶点在直线$y=2x+4$上，则抛物线与此直线的交点坐标是
$(-1, 2)和(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$
。答案
10.$(-1, 2)和(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$
[提示:把$x=-1$代入直线$y=2x+4$,得$y=2$,所以抛物线顶点坐标为$(-1,2)$,所以抛物线的表达式为$y=a(x+1)^2+2$。将点$(0,-1)$代入顶点式,得$a=-3$,所以抛物线的表达式为$y=-3(x+1)^2+2$。联立得$\begin{cases}y=-3(x+1)^2+2,\\y=2x+4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_1=-1,\\y_1=2\end{cases}$或$\begin{cases}x_2=-\frac{5}{3},\\y_2=\frac{2}{3},\end{cases}$ 所以抛物线与此直线的交点坐标为$(-1,2)$和$(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$。]
[提示:把$x=-1$代入直线$y=2x+4$,得$y=2$,所以抛物线顶点坐标为$(-1,2)$,所以抛物线的表达式为$y=a(x+1)^2+2$。将点$(0,-1)$代入顶点式,得$a=-3$,所以抛物线的表达式为$y=-3(x+1)^2+2$。联立得$\begin{cases}y=-3(x+1)^2+2,\\y=2x+4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_1=-1,\\y_1=2\end{cases}$或$\begin{cases}x_2=-\frac{5}{3},\\y_2=\frac{2}{3},\end{cases}$ 所以抛物线与此直线的交点坐标为$(-1,2)$和$(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$。]
解析
【分析】
解题时先利用抛物线顶点在对称轴上的性质，结合已知的对称轴和顶点所在直线，先求出抛物线的顶点坐标；再利用顶点式设出抛物线解析式，代入已知抛物线上的点(0,-1)求出参数a，得到抛物线的完整解析式；最后联立抛物线与直线的解析式，解二元方程组，所得的解就是两个图象的交点坐标。
【解析】
1. 求抛物线顶点坐标
∵ 抛物线的对称轴为$x=-1$，顶点在对称轴上，且顶点在直线$y=2x+4$上
∴ 将$x=-1$代入$y=2x+4$，得$y=2×(-1)+4=2$，即抛物线顶点坐标为$(-1,2)$
2. 求抛物线解析式
设抛物线的顶点式为$y=a(x+1)^2+2$
已知抛物线$y=ax^2+bx-1$过点$(0,-1)$，将$(0,-1)$代入顶点式得：
$-1=a(0+1)^2+2$，解得$a=-3$
∴ 抛物线解析式为$y=-3(x+1)^2+2$
3. 求交点坐标
联立抛物线与直线的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=-3(x+1)^2+2\\y=2x+4\end{cases}$
将第二个式子代入第一个式子消去$y$，整理得：$3x^2+8x+5=0$
因式分解得：$(3x+5)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-\frac{5}{3}$
分别代入$y=2x+4$得$y_1=2$，$y_2=\frac{2}{3}$
【答案】
$(-1, 2)$和$(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；函数交点求解
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题核心是先确定抛物线解析式，再通过联立方程求解交点，思路清晰，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用抛物线顶点在对称轴上的性质，结合已知的对称轴和顶点所在直线，先求出抛物线的顶点坐标；再利用顶点式设出抛物线解析式，代入已知抛物线上的点(0,-1)求出参数a，得到抛物线的完整解析式；最后联立抛物线与直线的解析式，解二元方程组，所得的解就是两个图象的交点坐标。
【解析】
1. 求抛物线顶点坐标
∵ 抛物线的对称轴为$x=-1$，顶点在对称轴上，且顶点在直线$y=2x+4$上
∴ 将$x=-1$代入$y=2x+4$，得$y=2×(-1)+4=2$，即抛物线顶点坐标为$(-1,2)$
2. 求抛物线解析式
设抛物线的顶点式为$y=a(x+1)^2+2$
已知抛物线$y=ax^2+bx-1$过点$(0,-1)$，将$(0,-1)$代入顶点式得：
$-1=a(0+1)^2+2$，解得$a=-3$
∴ 抛物线解析式为$y=-3(x+1)^2+2$
3. 求交点坐标
联立抛物线与直线的解析式，得方程组：
$\begin{cases}y=-3(x+1)^2+2\\y=2x+4\end{cases}$
将第二个式子代入第一个式子消去$y$，整理得：$3x^2+8x+5=0$
因式分解得：$(3x+5)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-\frac{5}{3}$
分别代入$y=2x+4$得$y_1=2$，$y_2=\frac{2}{3}$
【答案】
$(-1, 2)$和$(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；函数交点求解
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题核心是先确定抛物线解析式，再通过联立方程求解交点，思路清晰，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
11 已知二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$，关于$x$的一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2+bx+c=0$的两个实根是-1和-5，试求这个二次函数的表达式。
答案
11 由题意得二次函数图像经过点$(-1, 0)$和$(-5, 0)$,所以二次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)(x+5)$,化为一般式为$y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
要确定二次函数的表达式，首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：一元二次方程的两个实根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。已知方程的两根为-1和-5，说明二次函数过点$(-1,0)$和$(-5,0)$，且题目已经给出二次项系数为$-\frac{1}{2}$，因此可以用二次函数的交点式直接写出表达式，再整理为一般式即可，这种方法比代入两点到一般式列二元一次方程组求解更简便。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2+bx+c=0$的两个实根是-1和-5
∴ 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(-5,0)$
已知二次项系数$a=-\frac{1}{2}$，根据二次函数的交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1,x_2$为函数与x轴交点的横坐标），代入得：
$y=-\frac{1}{2}(x+1)(x+5)$
展开整理为一般式：
$y=-\frac{1}{2}(x^2+6x+5)$
$y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{5}{2}$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{5}{2}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；交点式求二次函数解析式；待定系数法
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理解一元二次方程的根和对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，选择交点式求解可以大幅减少计算量，熟练掌握不同形式的二次函数解析式的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的表达式，首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：一元二次方程的两个实根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。已知方程的两根为-1和-5，说明二次函数过点$(-1,0)$和$(-5,0)$，且题目已经给出二次项系数为$-\frac{1}{2}$，因此可以用二次函数的交点式直接写出表达式，再整理为一般式即可，这种方法比代入两点到一般式列二元一次方程组求解更简便。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2+bx+c=0$的两个实根是-1和-5
∴ 二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(-5,0)$
已知二次项系数$a=-\frac{1}{2}$，根据二次函数的交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1,x_2$为函数与x轴交点的横坐标），代入得：
$y=-\frac{1}{2}(x+1)(x+5)$
展开整理为一般式：
$y=-\frac{1}{2}(x^2+6x+5)$
$y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{5}{2}$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2-3x-\frac{5}{2}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；交点式求二次函数解析式；待定系数法
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理解一元二次方程的根和对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，选择交点式求解可以大幅减少计算量，熟练掌握不同形式的二次函数解析式的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8
