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12 已知抛物线$y=x^2-(2m-1)x-6m$与$x$轴交于两点$(x_1,0)$和$(x_2,0)$，且$x_1x_2=x_1+x_2+49$，要使抛物线经过原点，请计算应将它向右平移多少个单位？
答案
12 由题意得,一元二次方程$x^2-(2m-1)x-6m=0$的两根为$x_1$和$x_2$,由韦达定理得$x_1+x_2=2m-1$,$x_1· x_2=-6m$。因为$x_1x_2=x_1+x_2+49$,所以$-6m=2m-1+49$,解得$m=-6$,所以抛物线表达式为$y=x^2+13x+36$,与$x$轴的交点坐标为$(-4,0)$和$(-9,0)$,所以抛物线向右平移4个单位或者9个单位后会经过原点。
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，因此可利用韦达定理，用含参数m的式子表示出两根之和与两根之积；第二步，将两根和、积代入题中给出的等式$x_1x_2=x_1+x_2+49$，求解得到m的值，即可确定抛物线的解析式；第三步，求出抛物线与x轴的交点坐标，要使抛物线向右平移后经过原点，只需让原抛物线与x轴的其中一个交点平移至原点处，向右平移的单位长度即为该负交点横坐标的绝对值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2-(2m-1)x-6m$与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$
∴$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2-(2m-1)x-6m=0$的两个实数根
由韦达定理得：$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-6m$
∵$x_1x_2=x_1+x_2+49$
∴代入得：$-6m=2m-1+49$
移项合并同类项得：$-8m=48$
解得：$m=-6$
将$m=-6$代入抛物线解析式得：
$y=x^2-(2×(-6)-1)x -6×(-6)=x^2+13x+36$
令$y=0$，即$x^2+13x+36=0$
因式分解得：$(x+4)(x+9)=0$
解得：$x_1=-4$，$x_2=-9$
即抛物线与x轴交点为$(-4,0)$和$(-9,0)$
要使抛物线向右平移后经过原点，只需将其中一个交点平移至$(0,0)$：
将$(-4,0)$向右平移4个单位得到$(0,0)$，将$(-9,0)$向右平移9个单位得到$(0,0)$
∴应向右平移4个单位或9个单位。
【答案】
应将它向右平移4个单位或9个单位。
【知识点】
韦达定理；二次函数解析式求解；二次函数图象平移
【点评】
本题综合了二次函数与一元二次方程的关联知识，解题核心是先利用韦达定理求出参数m，再结合抛物线与x轴的交点特征确定平移距离，需要注意不要漏解，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为三步：第一步，抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，因此可利用韦达定理，用含参数m的式子表示出两根之和与两根之积；第二步，将两根和、积代入题中给出的等式$x_1x_2=x_1+x_2+49$，求解得到m的值，即可确定抛物线的解析式；第三步，求出抛物线与x轴的交点坐标，要使抛物线向右平移后经过原点，只需让原抛物线与x轴的其中一个交点平移至原点处，向右平移的单位长度即为该负交点横坐标的绝对值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2-(2m-1)x-6m$与x轴交于$(x_1,0)$、$(x_2,0)$
∴$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2-(2m-1)x-6m=0$的两个实数根
由韦达定理得：$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-6m$
∵$x_1x_2=x_1+x_2+49$
∴代入得：$-6m=2m-1+49$
移项合并同类项得：$-8m=48$
解得：$m=-6$
将$m=-6$代入抛物线解析式得：
$y=x^2-(2×(-6)-1)x -6×(-6)=x^2+13x+36$
令$y=0$，即$x^2+13x+36=0$
因式分解得：$(x+4)(x+9)=0$
解得：$x_1=-4$，$x_2=-9$
即抛物线与x轴交点为$(-4,0)$和$(-9,0)$
要使抛物线向右平移后经过原点，只需将其中一个交点平移至$(0,0)$：
将$(-4,0)$向右平移4个单位得到$(0,0)$，将$(-9,0)$向右平移9个单位得到$(0,0)$
∴应向右平移4个单位或9个单位。
【答案】
应将它向右平移4个单位或9个单位。
【知识点】
韦达定理；二次函数解析式求解；二次函数图象平移
【点评】
本题综合了二次函数与一元二次方程的关联知识，解题核心是先利用韦达定理求出参数m，再结合抛物线与x轴的交点特征确定平移距离，需要注意不要漏解，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.65
13 已知抛物线 $ y = x^2 - (m^2 + 4)x - 2m^2 - 12 $。
（1）证明：不论m取什么实数，抛物线与x轴总有两个交点，且其中一个交点是(-2, 0)。
（2）m取什么实数时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小？最小距离是多少？
（1）证明：不论m取什么实数，抛物线与x轴总有两个交点，且其中一个交点是(-2, 0)。
（2）m取什么实数时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小？最小距离是多少？
答案
13 （1）抛物线对应的一元二次方程为$x^2-(m^2+4)x-2m^2-12=0$,因式分解得$(x+2)(x-m^2-6)=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=m^2+6$,因为$x_1=-2＜0$,$x_2=m^2+6＞0$,所以$x_1≠x_2$,所以抛物线与$x$轴的交点为$(-2,0)$和$(m^2+6,0)$,所以不论$m$取什么实数,抛物线与$x$轴总有两个交点,且其中一个交点是$(-2,0)$。
（2）两交点间的距离为$|x_1-x_2|=|m^2+6-(-2)|=|m^2+8|=m^2+8$。因为$m^2≥0$,所以$m^2+8≥8$,所以当$m=0$时,两交点间的最小距离为8。
（2）两交点间的距离为$|x_1-x_2|=|m^2+6-(-2)|=|m^2+8|=m^2+8$。因为$m^2≥0$,所以$m^2+8≥8$,所以当$m=0$时,两交点间的最小距离为8。
解析
【分析】
（1）要证明抛物线与x轴总有两个交点，可将问题转化为证明抛物线对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根；要证明其中一个交点是$(-2,0)$，只需验证$x=-2$是方程的根即可，也可通过因式分解直接求出方程的两个根，直观判断根的情况。（2）抛物线与x轴两个交点的距离等于两个交点横坐标差的绝对值，先写出距离的表达式，再结合$m^2$的非负性即可求出最小值。
【解析】
（1）抛物线$y = x^2 - (m^2 + 4)x - 2m^2 - 12$对应的一元二次方程为：
$x^2-(m^2+4)x-2m^2-12=0$
对该方程因式分解可得：
$(x+2)(x-m^2-6)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=m^2+6$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+6≥6＞0$，即$x_1≠ x_2$
∴抛物线与x轴的交点为$(-2,0)$和$(m^2+6,0)$
因此不论m取什么实数，抛物线与x轴总有两个交点，且其中一个交点是$(-2,0)$。
（2）两个交点间的距离为：
$|x_1-x_2|=|m^2+6 - (-2)|=|m^2+8|$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+8＞0$，即距离$d=m^2+8$
当$m^2=0$也就是$m=0$时，$d$取得最小值，最小值为8。
【答案】
（1）证明成立；（2）当$m=0$时，两交点间距离最小，最小距离为8。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，因式分解法解方程，非负数的性质
【点评】
本题将二次函数与一元二次方程相结合，解题核心是把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的根的问题，再结合非负性求最值，是二次函数部分的基础常考题型，能有效考察学生对知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明抛物线与x轴总有两个交点，可将问题转化为证明抛物线对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根；要证明其中一个交点是$(-2,0)$，只需验证$x=-2$是方程的根即可，也可通过因式分解直接求出方程的两个根，直观判断根的情况。（2）抛物线与x轴两个交点的距离等于两个交点横坐标差的绝对值，先写出距离的表达式，再结合$m^2$的非负性即可求出最小值。
【解析】
（1）抛物线$y = x^2 - (m^2 + 4)x - 2m^2 - 12$对应的一元二次方程为：
$x^2-(m^2+4)x-2m^2-12=0$
对该方程因式分解可得：
$(x+2)(x-m^2-6)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=m^2+6$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+6≥6＞0$，即$x_1≠ x_2$
∴抛物线与x轴的交点为$(-2,0)$和$(m^2+6,0)$
因此不论m取什么实数，抛物线与x轴总有两个交点，且其中一个交点是$(-2,0)$。
（2）两个交点间的距离为：
$|x_1-x_2|=|m^2+6 - (-2)|=|m^2+8|$
∵$m^2≥0$，
∴$m^2+8＞0$，即距离$d=m^2+8$
当$m^2=0$也就是$m=0$时，$d$取得最小值，最小值为8。
【答案】
（1）证明成立；（2）当$m=0$时，两交点间距离最小，最小距离为8。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，因式分解法解方程，非负数的性质
【点评】
本题将二次函数与一元二次方程相结合，解题核心是把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的根的问题，再结合非负性求最值，是二次函数部分的基础常考题型，能有效考察学生对知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
14 已知关于x的一元二次方程$2x^2 + 4x + k - 1 = 0$有实数根，且k为正整数。
（1）求k的值。
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数$y=2x^2 + 4x + k - 1$的图像向下平移8个单位，求平移后的函数的表达式。
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像。请你结合这个新的图像回答：当直线$y=\frac{1}{2}x + b$与此图像有两个公共点时，b的取值范围。
（1）求k的值。
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数$y=2x^2 + 4x + k - 1$的图像向下平移8个单位，求平移后的函数的表达式。
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像。请你结合这个新的图像回答：当直线$y=\frac{1}{2}x + b$与此图像有两个公共点时，b的取值范围。
答案
14 （1）因为一元二次方程有实数根,所以$\Delta =b^2-4ac≥0$,可得$16-4×2(k-1)≥0$,解得$k≤3$。因为$k$为正整数,所以$k=1$或2或3。
（2）因为此方程有两个非零的整数根,所以$x_1· x_2$是非零整数,即$x_1· x_2=\frac{c}{a}=\frac{k-1}{2}$是非零整数,
当$k=1$时,$\frac{k-1}{2}=0$,不符合题意,舍去;
当$k=2$时,$\frac{k-1}{2}=\frac{1}{2}$,不符合题意,舍去;
当$k=3$时,$\frac{k-1}{2}=1$,此时二次函数为$y=2x^2+4x+2$,符合题意;
向下平移8个单位后表达式为$y=2x^2+4x-6$。
（3）当$y=0$时,$2x^2+4x-6=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-3$,所以抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$,分别设为点$A$、$B$,翻折后的图像如图所示
。当直线$y=\frac{1}{2}x+b$经过点$B$时,与抛物线恰有一个交点,此时把点$B(1,0)$代入,得$\frac{1}{2}+b=0$,解得$b=-\frac{1}{2}$;当直线$y=\frac{1}{2}x+b$经过点$A$时,与抛物线有三个交点,此时把点$A(-3,0)$代入,得$-\frac{3}{2}+b=0$,解得$b=\frac{3}{2}$。所以当$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$时,抛物线与直线有两个公共点。由图可知,当直线与翻折上去的图像只有一个交点时,直线与抛物线有三个交点。翻折后的抛物线的表达式为$y=-2x^2-4x+6$,联立得$\begin{cases}y=-2x^2-4x+6,\\y=\frac{1}{2}x+b,\end{cases}$ 整理得$4x^2+9x+2b-12=0$,因为直线与翻折上去的图像只有一个交点,所以$\Delta=81-4×4(2b-12)=0$,解得$b=\frac{273}{32}$,所以当$b＞\frac{273}{32}$时,抛物线与直线有两个公共点。所以当$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$或$b＞\frac{273}{32}$时,抛物线与直线有两个公共点。解析
【分析】
（1）要确定k的取值，已知一元二次方程有实数根，首先利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$建立关于k的不等式，再结合k为正整数的条件，即可求出k的所有可能值。
（2）要求平移后的函数表达式，先根据方程有两个非零整数根的要求，利用韦达定理的两根乘积性质，排除不符合条件的k值，得到原二次函数解析式，再根据“上加下减”的平移规律，向下平移8个单位即函数值减8，即可得到平移后的解析式。
（3）要求b的取值范围，首先求出平移后抛物线与x轴的两个交点坐标，将x轴下方的图像翻折后，翻折部分的解析式为原解析式y取相反数。分两种情况讨论直线与新图像的交点：一是直线介于经过两个交点的位置之间，代入交点坐标求出对应b值，得到该区间的b范围；二是直线位于翻折图像上方，联立直线与翻折后抛物线的解析式，利用$\Delta=0$求出直线与翻折部分恰有一个交点时的b值，大于该值时直线仅与原图像未翻折部分有两个交点，综合两种情况即可得到b的全部取值范围。
【解析】
（1）
∵关于x的一元二次方程$2x^2 + 4x + k - 1 = 0$有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
代入a=2，b=4，c=k-1得：
$\Delta = 4^2 - 4×2×(k-1) = 16 - 8(k-1) ≥ 0$，
解不等式得$k≤3$，
又
∵k为正整数，
∴$k=1$或2或3。
（2）
∵方程有两个非零整数根，由韦达定理得两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{k-1}{2}$，该值为非零整数：
当$k=1$时，$\frac{k-1}{2}=0$，说明方程有一个根为0，不符合题意，舍去；
当$k=2$时，$\frac{k-1}{2}=\frac{1}{2}$，不是整数，不符合题意，舍去；
当$k=3$时，$\frac{k-1}{2}=1$，符合条件，此时原二次函数为$y=2x^2+4x+2$。
将图像向下平移8个单位，可得平移后的函数表达式为：
$y=2x^2+4x+2-8=2x^2+4x-6$。
（3）令平移后的抛物线$y=2x^2+4x-6=0$，
化简得$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
即抛物线与x轴交点为A(-3,0)、B(1,0)。
将x轴下方的图像沿x轴翻折，翻折部分的解析式为$y=-2x^2-4x+6$（$-3≤ x≤1$），新图像如图所示。
分情况讨论直线$y=\frac{1}{2}x+b$与新图像的交点：
① 当直线过点B(1,0)时，代入得$\frac{1}{2}+b=0$，解得$b=-\frac{1}{2}$，此时直线与新图像有1个交点；
当直线过点A(-3,0)时，代入得$-\frac{3}{2}+b=0$，解得$b=\frac{3}{2}$，此时直线与新图像有3个交点；
故当$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$时，直线与新图像有2个公共点。
② 联立直线与翻折后抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-2x^2-4x+6\\y=\frac{1}{2}x +b\end{cases}$
整理得$4x^2+9x+2b-12=0$，当直线与翻折部分恰有一个交点时，$\Delta=9^2-4×4×(2b-12)=0$，
解得$b=\frac{273}{32}$，当$b＞\frac{273}{32}$时，直线与翻折部分无交点，仅与原图像x轴上方的两部分有2个公共点。
综上，b的取值范围为$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$或$b＞\frac{273}{32}$。
【答案】
（1）$k=1$或2或3；
（2）平移后的函数表达式为$y=2x^2+4x-6$；
（3）$b$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$或$b＞\frac{273}{32}$，翻折后的图像如图所示。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次函数的图像变换
3. 函数交点的求解
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根的判定、二次函数的平移与翻折变换、一次函数与二次函数交点的参数范围求解，解题时需要结合数形结合思想分类讨论，避免漏解，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
（1）要确定k的取值，已知一元二次方程有实数根，首先利用根的判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$建立关于k的不等式，再结合k为正整数的条件，即可求出k的所有可能值。
（2）要求平移后的函数表达式，先根据方程有两个非零整数根的要求，利用韦达定理的两根乘积性质，排除不符合条件的k值，得到原二次函数解析式，再根据“上加下减”的平移规律，向下平移8个单位即函数值减8，即可得到平移后的解析式。
（3）要求b的取值范围，首先求出平移后抛物线与x轴的两个交点坐标，将x轴下方的图像翻折后，翻折部分的解析式为原解析式y取相反数。分两种情况讨论直线与新图像的交点：一是直线介于经过两个交点的位置之间，代入交点坐标求出对应b值，得到该区间的b范围；二是直线位于翻折图像上方，联立直线与翻折后抛物线的解析式，利用$\Delta=0$求出直线与翻折部分恰有一个交点时的b值，大于该值时直线仅与原图像未翻折部分有两个交点，综合两种情况即可得到b的全部取值范围。
【解析】
（1）
∵关于x的一元二次方程$2x^2 + 4x + k - 1 = 0$有实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
代入a=2，b=4，c=k-1得：
$\Delta = 4^2 - 4×2×(k-1) = 16 - 8(k-1) ≥ 0$，
解不等式得$k≤3$，
又
∵k为正整数，
∴$k=1$或2或3。
（2）
∵方程有两个非零整数根，由韦达定理得两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{k-1}{2}$，该值为非零整数：
当$k=1$时，$\frac{k-1}{2}=0$，说明方程有一个根为0，不符合题意，舍去；
当$k=2$时，$\frac{k-1}{2}=\frac{1}{2}$，不是整数，不符合题意，舍去；
当$k=3$时，$\frac{k-1}{2}=1$，符合条件，此时原二次函数为$y=2x^2+4x+2$。
将图像向下平移8个单位，可得平移后的函数表达式为：
$y=2x^2+4x+2-8=2x^2+4x-6$。
（3）令平移后的抛物线$y=2x^2+4x-6=0$，
化简得$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
即抛物线与x轴交点为A(-3,0)、B(1,0)。
将x轴下方的图像沿x轴翻折，翻折部分的解析式为$y=-2x^2-4x+6$（$-3≤ x≤1$），新图像如图所示
。分情况讨论直线$y=\frac{1}{2}x+b$与新图像的交点：
① 当直线过点B(1,0)时，代入得$\frac{1}{2}+b=0$，解得$b=-\frac{1}{2}$，此时直线与新图像有1个交点；
当直线过点A(-3,0)时，代入得$-\frac{3}{2}+b=0$，解得$b=\frac{3}{2}$，此时直线与新图像有3个交点；
故当$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$时，直线与新图像有2个公共点。
② 联立直线与翻折后抛物线的解析式：
$\begin{cases}y=-2x^2-4x+6\\y=\frac{1}{2}x +b\end{cases}$
整理得$4x^2+9x+2b-12=0$，当直线与翻折部分恰有一个交点时，$\Delta=9^2-4×4×(2b-12)=0$，
解得$b=\frac{273}{32}$，当$b＞\frac{273}{32}$时，直线与翻折部分无交点，仅与原图像x轴上方的两部分有2个公共点。
综上，b的取值范围为$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$或$b＞\frac{273}{32}$。
【答案】
（1）$k=1$或2或3；
（2）平移后的函数表达式为$y=2x^2+4x-6$；
（3）$b$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$或$b＞\frac{273}{32}$，翻折后的图像如图所示
。【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次函数的图像变换
3. 函数交点的求解
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根的判定、二次函数的平移与翻折变换、一次函数与二次函数交点的参数范围求解，解题时需要结合数形结合思想分类讨论，避免漏解，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
