12 已知抛物线$y=x^2-(2m-1)x-6m$与$x$轴交于两点$(x_1,0)$和$(x_2,0)$，且$x_1x_2=x_1+x_2+49$，要使抛物线经过原点，请计算应将它向右平移多少个单位？

12 由题意得,一元二次方程$x^2-(2m-1)x-6m=0$的两根为$x_1$和$x_2$,由韦达定理得$x_1+x_2=2m-1$,$x_1· x_2=-6m$。因为$x_1x_2=x_1+x_2+49$,所以$-6m=2m-1+49$,解得$m=-6$,所以抛物线表达式为$y=x^2+13x+36$,与$x$轴的交点坐标为$(-4,0)$和$(-9,0)$,所以抛物线向右平移4个单位或者9个单位后会经过原点。

13 已知抛物线 $ y = x^2 - (m^2 + 4)x - 2m^2 - 12 $。
（1）证明：不论m取什么实数，抛物线与x轴总有两个交点，且其中一个交点是(-2, 0)。
（2）m取什么实数时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小？最小距离是多少？

13 （1）抛物线对应的一元二次方程为$x^2-(m^2+4)x-2m^2-12=0$,因式分解得$(x+2)(x-m^2-6)=0$,解得$x_1=-2$,$x_2=m^2+6$,因为$x_1=-2＜0$,$x_2=m^2+6＞0$,所以$x_1≠x_2$,所以抛物线与$x$轴的交点为$(-2,0)$和$(m^2+6,0)$,所以不论$m$取什么实数,抛物线与$x$轴总有两个交点,且其中一个交点是$(-2,0)$。
（2）两交点间的距离为$|x_1-x_2|=|m^2+6-(-2)|=|m^2+8|=m^2+8$。因为$m^2≥0$,所以$m^2+8≥8$,所以当$m=0$时,两交点间的最小距离为8。

14 已知关于x的一元二次方程$2x^2 + 4x + k - 1 = 0$有实数根，且k为正整数。
（1）求k的值。
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数$y=2x^2 + 4x + k - 1$的图像向下平移8个单位，求平移后的函数的表达式。
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像。请你结合这个新的图像回答：当直线$y=\frac{1}{2}x + b$与此图像有两个公共点时，b的取值范围。

14 （1）因为一元二次方程有实数根,所以$\Delta =b^2-4ac≥0$,可得$16-4×2(k-1)≥0$,解得$k≤3$。因为$k$为正整数,所以$k=1$或2或3。
（2）因为此方程有两个非零的整数根,所以$x_1· x_2$是非零整数,即$x_1· x_2=\frac{c}{a}=\frac{k-1}{2}$是非零整数,
当$k=1$时,$\frac{k-1}{2}=0$,不符合题意,舍去;
当$k=2$时,$\frac{k-1}{2}=\frac{1}{2}$,不符合题意,舍去;
当$k=3$时,$\frac{k-1}{2}=1$,此时二次函数为$y=2x^2+4x+2$,符合题意;
向下平移8个单位后表达式为$y=2x^2+4x-6$。
（3）当$y=0$时,$2x^2+4x-6=0$,解得$x_1=1$,$x_2=-3$,所以抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$,分别设为点$A$、$B$,翻折后的图像如图所示。当直线$y=\frac{1}{2}x+b$经过点$B$时,与抛物线恰有一个交点,此时把点$B(1,0)$代入,得$\frac{1}{2}+b=0$,解得$b=-\frac{1}{2}$;当直线$y=\frac{1}{2}x+b$经过点$A$时,与抛物线有三个交点,此时把点$A(-3,0)$代入,得$-\frac{3}{2}+b=0$,解得$b=\frac{3}{2}$。所以当$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$时,抛物线与直线有两个公共点。由图可知,当直线与翻折上去的图像只有一个交点时,直线与抛物线有三个交点。翻折后的抛物线的表达式为$y=-2x^2-4x+6$,联立得$\begin{cases}y=-2x^2-4x+6,\\y=\frac{1}{2}x+b,\end{cases}$ 整理得$4x^2+9x+2b-12=0$,因为直线与翻折上去的图像只有一个交点,所以$\Delta=81-4×4(2b-12)=0$,解得$b=\frac{273}{32}$,所以当$b＞\frac{273}{32}$时,抛物线与直线有两个公共点。所以当$-\frac{1}{2}＜b＜\frac{3}{2}$或$b＞\frac{273}{32}$时,抛物线与直线有两个公共点。