12 在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是正方形,点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,点 C、D是二次函数$y=ax^2 + c(a≠0)$图像上的两点,点 C 的坐标为(3，4),求点 D 的坐标和二次函数的表达式。

12. ① 当点B在y轴的正半轴且在C点下方时，画出正方形ABCD的示意图，如图①。过点C作$CH ⊥ y$轴。由点C(3，4)，可得$OH=4$，$CH=3$。过点D作$DG ⊥ x$轴，可得$△ CHB ≌ △ BOA ≌ △ AGD$，所以$CH=OB=AG=3$，所以$BH=OH-OB=1$，$BH=OA=DG=1$，点D坐标为(4，1)。将点C(3，4)，点D(4，1)代入$y=ax^2+c$，得$\begin{cases}9a+c=4,\\16a+c=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{7},\\c=\frac{55}{7},\end{cases}$ 所以二次函数的表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$。
② 当点B在y轴的负半轴时，画出正方形ABCD的示意图，如图②。过点C作$CH ⊥ y$轴，由点C(3，4)可得，$OH=4$，$CH=3$。过点D作x轴平行线，过点C作y轴平行线交于点M，所以$DM ⊥ CM$。由正方形的性质可得$△ DMC ≌ △ BHC ≌ △ AOB$，所以$CH=OB=MC=3$，$BH=OH+OB=7$，$BH=OA=DM=7$，所以点D坐标为(-4，7)。将点C(3，4)，点D(-4，7)代入$y=ax^2+c$得$\begin{cases}9a+c=4,\\16a+c=7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{3}{7},\\c=\frac{1}{7},\end{cases}$ 所以二次函数的表达式为$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
综上所述，二次函数的表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$或$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。

13 已知二次函数 $ y = ax^2 + 4ax + 4a - 1 $ 的图像是 $ C_1 $。
(1) 求 $ C_1 $ 关于点 $ R(1, 0) $ 中心对称的图像 $ C_2 $ 的函数表达式(用含 $ a $ 的式子表示)。
(2) 在(1)的条件下，设抛物线 $ C_1 $、$ C_2 $ 与 $ y $ 轴的交点分别为 $ A $、$ B $，当 $ AB = 18 $ 时，求 $ a $ 的值。

13. (1) 将二次函数化为顶点式$y=a(x+2)^2-1$，可得顶点为$(-2,-1)$。顶点关于点$R(1,0)$中心对称点为$(4,1)$，所以$C_2$的函数表达式为$y=-a(x-4)^2+1$。
(2) 分别将$x=0$代入抛物线$C_1$、$C_2$，得$A(0,4a-1)$、$B(0,-16a+1)$。$AB=|4a-1-(-16a+1)|=|20a-2|$。当$AB=18$时，可得$|20a-2|=18$，解得$a=1$或$-\frac{4}{5}$。

14 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像的一部分如图所示。已知它的顶点 M 在第二象限，且经过点 A(1，0)和点 B(0，1)。
（1）试求 a、b 所满足的等量关系。
（2）设此二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为 C，当△AMC 的面积为△ABC 的面积的$\frac{5}{4}$时，求 a 的值。
（3）点 C 是二次函数图像与 x 轴的另一交点，是否存在实数 a，使得△ABC 为直角三角形。若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由。

14. (1) 把点A(1,0)和点B(0,1)分别代入$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}a+b+c=0,\\c=1,\end{cases}$ 所以$a+b=-1$。
(2) 因为点A、C均在x轴上，点M在第二象限，所以$S_{△ AMC}=\frac{1}{2}AC · y_M$。点B在y轴正半轴上，所以$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}AC · y_B$。因为$S_{△ AMC}=\frac{5}{4}S_{△ ABC}$,所以$\frac{1}{2}AC · y_M=\frac{5}{4} × \frac{1}{2}AC · y_B$。因为$y_B=1$,所以$y_M=\frac{5}{4}$,所以$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{5}{4}$,可得$\begin{cases}a+b+c=0,\\c=1,\\\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{5}{4},\end{cases}$ 整理得$a^2+3a+1=0$,解得$a_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$,$a_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。因为点M在第二象限，所以$x=-\frac{b}{2a}=\frac{a+1}{2a}＜0$,由图像开口向下可知$a＜0$,所以$-1＜a＜0$,所以$a=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
(3) 不存在。理由如下:因为顶点M在第二象限，所以点C在A的左侧。因为点A(1,0)和点B(0,1)，所以$OA=OB=1$。因为$∠ AOB=90°$,所以$∠ BAC=45°$始终成立，所以只有$∠ ABC=90°$或者$∠ ACB=90°$两种可能。①当$∠ ABC=90°$时，因为$∠ BAC=45°$,所以$∠ ACB=45°$,所以$OA=OC=1$,所以顶点M与点B重合，这与点M在第二象限不符，舍去；②当$∠ ACB=90°$时，所以点C与点O重合，而点B也在抛物线上，不存在这样的抛物线。综上所述，不存在这样的点C。