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12 在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是正方形,点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,点 C、D是二次函数$y=ax^2 + c(a≠0)$图像上的两点,点 C 的坐标为(3，4),求点 D 的坐标和二次函数的表达式。
答案
12. ① 当点B在y轴的正半轴且在C点下方时，画出正方形ABCD的示意图，如图①。过点C作$CH ⊥ y$轴。由点C(3，4)，可得$OH=4$，$CH=3$。过点D作$DG ⊥ x$轴，可得$△ CHB ≌ △ BOA ≌ △ AGD$，所以$CH=OB=AG=3$，所以$BH=OH-OB=1$，$BH=OA=DG=1$，点D坐标为(4，1)。将点C(3，4)，点D(4，1)代入$y=ax^2+c$，得$\begin{cases}9a+c=4,\\16a+c=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{7},\\c=\frac{55}{7},\end{cases}$ 所以二次函数的表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$。
② 当点B在y轴的负半轴时，画出正方形ABCD的示意图，如图②。过点C作$CH ⊥ y$轴，由点C(3，4)可得，$OH=4$，$CH=3$。过点D作x轴平行线，过点C作y轴平行线交于点M，所以$DM ⊥ CM$。由正方形的性质可得$△ DMC ≌ △ BHC ≌ △ AOB$，所以$CH=OB=MC=3$，$BH=OH+OB=7$，$BH=OA=DM=7$，所以点D坐标为(-4，7)。将点C(3，4)，点D(-4，7)代入$y=ax^2+c$得$\begin{cases}9a+c=4,\\16a+c=7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{3}{7},\\c=\frac{1}{7},\end{cases}$ 所以二次函数的表达式为$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
综上所述，二次函数的表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$或$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
解析
【分析】
本题需分两种情况讨论点B的位置求解：①点B在y轴正半轴且在点C下方；②点B在y轴负半轴。解题时，首先利用正方形四边相等、邻边垂直的性质，过点作坐标轴的垂线构造直角三角形，通过同角的余角相等证明直角三角形全等，得到对应边长度，从而求出点D的坐标；再将点C和点D的坐标代入二次函数解析式$y=ax^2+c$，解二元一次方程组即可求出a、c的值，得到二次函数表达式。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点B在y轴的正半轴且在C点下方时：
过点C作$CH ⊥ y$轴，已知点$C(3,4)$，可得$OH=4$，$CH=3$；过点D作$DG ⊥ x$轴。
由正方形ABCD的性质可得$∠ABC=∠BAD=90°$，$AB=BC=AD$，可证$△ CHB ≌ △ BOA ≌ △ AGD$，因此$CH=OB=AG=3$。
则$BH=OH-OB=4-3=1$，由全等性质得$BH=OA=DG=1$，因此点D的横坐标为$OA+AG=1+3=4$，纵坐标为$DG=1$，即$D(4,1)$。
将$C(3,4)$、$D(4,1)$代入$y=ax^2+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a+c=4\\16a+c=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{7}\\c=\frac{55}{7}\end{cases}$，此时二次函数表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$。
② 当点B在y轴的负半轴时：
过点C作$CH ⊥ y$轴，已知点$C(3,4)$，可得$OH=4$，$CH=3$；过点D作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两线交于点M，可得$DM ⊥ CM$。
由正方形ABCD的性质可证$△ DMC ≌ △ BHC ≌ △ AOB$，因此$CH=OB=MC=3$。
则$BH=OH+OB=4+3=7$，由全等性质得$BH=OA=DM=7$，因此点D的横坐标为$3-7=-4$，纵坐标为$4+3=7$，即$D(-4,7)$。
将$C(3,4)$、$D(-4,7)$代入$y=ax^2+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a+c=4\\16a+c=7\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{3}{7}\\c=\frac{1}{7}\end{cases}$，此时二次函数表达式为$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
综上所述，二次函数的表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$或$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
【答案】
当点D坐标为$(4,1)$时，二次函数表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$；当点D坐标为$(-4,7)$时，二次函数表达式为$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是几何与二次函数的综合题，解题的关键是结合正方形的性质构造全等三角形求出未知点的坐标，同时要注意分类讨论点B的位置，避免漏解，对学生的逻辑推理和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题需分两种情况讨论点B的位置求解：①点B在y轴正半轴且在点C下方；②点B在y轴负半轴。解题时，首先利用正方形四边相等、邻边垂直的性质，过点作坐标轴的垂线构造直角三角形，通过同角的余角相等证明直角三角形全等，得到对应边长度，从而求出点D的坐标；再将点C和点D的坐标代入二次函数解析式$y=ax^2+c$，解二元一次方程组即可求出a、c的值，得到二次函数表达式。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点B在y轴的正半轴且在C点下方时：
过点C作$CH ⊥ y$轴，已知点$C(3,4)$，可得$OH=4$，$CH=3$；过点D作$DG ⊥ x$轴。
由正方形ABCD的性质可得$∠ABC=∠BAD=90°$，$AB=BC=AD$，可证$△ CHB ≌ △ BOA ≌ △ AGD$，因此$CH=OB=AG=3$。
则$BH=OH-OB=4-3=1$，由全等性质得$BH=OA=DG=1$，因此点D的横坐标为$OA+AG=1+3=4$，纵坐标为$DG=1$，即$D(4,1)$。
将$C(3,4)$、$D(4,1)$代入$y=ax^2+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a+c=4\\16a+c=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{7}\\c=\frac{55}{7}\end{cases}$，此时二次函数表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$。
② 当点B在y轴的负半轴时：
过点C作$CH ⊥ y$轴，已知点$C(3,4)$，可得$OH=4$，$CH=3$；过点D作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两线交于点M，可得$DM ⊥ CM$。
由正方形ABCD的性质可证$△ DMC ≌ △ BHC ≌ △ AOB$，因此$CH=OB=MC=3$。
则$BH=OH+OB=4+3=7$，由全等性质得$BH=OA=DM=7$，因此点D的横坐标为$3-7=-4$，纵坐标为$4+3=7$，即$D(-4,7)$。
将$C(3,4)$、$D(-4,7)$代入$y=ax^2+c$，得方程组：
$\begin{cases}9a+c=4\\16a+c=7\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{3}{7}\\c=\frac{1}{7}\end{cases}$，此时二次函数表达式为$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
综上所述，二次函数的表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$或$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。
【答案】
当点D坐标为$(4,1)$时，二次函数表达式为$y=-\frac{3}{7}x^2+\frac{55}{7}$
；当点D坐标为$(-4,7)$时，二次函数表达式为$y=\frac{3}{7}x^2+\frac{1}{7}$。【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是几何与二次函数的综合题，解题的关键是结合正方形的性质构造全等三角形求出未知点的坐标，同时要注意分类讨论点B的位置，避免漏解，对学生的逻辑推理和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
13 已知二次函数 $ y = ax^2 + 4ax + 4a - 1 $ 的图像是 $ C_1 $。
(1) 求 $ C_1 $ 关于点 $ R(1, 0) $ 中心对称的图像 $ C_2 $ 的函数表达式(用含 $ a $ 的式子表示)。
(2) 在(1)的条件下，设抛物线 $ C_1 $、$ C_2 $ 与 $ y $ 轴的交点分别为 $ A $、$ B $，当 $ AB = 18 $ 时，求 $ a $ 的值。
(1) 求 $ C_1 $ 关于点 $ R(1, 0) $ 中心对称的图像 $ C_2 $ 的函数表达式(用含 $ a $ 的式子表示)。
(2) 在(1)的条件下，设抛物线 $ C_1 $、$ C_2 $ 与 $ y $ 轴的交点分别为 $ A $、$ B $，当 $ AB = 18 $ 时，求 $ a $ 的值。
答案
13. (1) 将二次函数化为顶点式$y=a(x+2)^2-1$，可得顶点为$(-2,-1)$。顶点关于点$R(1,0)$中心对称点为$(4,1)$，所以$C_2$的函数表达式为$y=-a(x-4)^2+1$。
(2) 分别将$x=0$代入抛物线$C_1$、$C_2$，得$A(0,4a-1)$、$B(0,-16a+1)$。$AB=|4a-1-(-16a+1)|=|20a-2|$。当$AB=18$时，可得$|20a-2|=18$，解得$a=1$或$-\frac{4}{5}$。
(2) 分别将$x=0$代入抛物线$C_1$、$C_2$，得$A(0,4a-1)$、$B(0,-16a+1)$。$AB=|4a-1-(-16a+1)|=|20a-2|$。当$AB=18$时，可得$|20a-2|=18$，解得$a=1$或$-\frac{4}{5}$。
解析
【分析】
(1) 求二次函数中心对称后的解析式，可先将原函数化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标；再根据中心对称的坐标性质，求出顶点关于点R的对称点，即为新抛物线的顶点；由于中心对称不改变抛物线开口大小，仅改变开口方向，因此新抛物线的二次项系数为-a，代入顶点式即可得到$C_2$的函数表达式。
(2) 抛物线与y轴交点的横坐标为0，分别将x=0代入$C_1$、$C_2$的解析式，即可得到A、B两点的纵坐标；由于A、B都在y轴上，两点距离等于纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 先将二次函数$y = ax^2 + 4ax + 4a - 1$化为顶点式：
$\begin{aligned}y &= ax^2 + 4ax + 4a - 1\\&=a(x^2+4x+4)-1\\&=a(x+2)^2 -1\end{aligned}$
因此抛物线$C_1$的顶点坐标为$(-2,-1)$。
设点$(-2,-1)$关于点$R(1,0)$的对称点坐标为$(x,y)$，根据中心对称的中点性质：两点中点为$R(1,0)$，因此$\frac{-2+x}{2}=1$，$\frac{-1+y}{2}=0$，解得$x=4$，$y=1$，即$C_2$的顶点坐标为$(4,1)$。
由于中心对称后的抛物线开口大小与原抛物线相同，开口方向相反，故二次项系数为$-a$，因此$C_2$的函数表达式为$y=-a(x-4)^2 +1$。
(2) 求抛物线与y轴的交点，令$x=0$：
代入$C_1$的解析式，得$y=4a-1$，故点$A$坐标为$(0,4a-1)$；
代入$C_2$的解析式，得$y=-a×(0-4)^2 +1=-16a+1$，故点$B$坐标为$(0,-16a+1)$。
由于$A$、$B$均在y轴上，两点距离$AB$为纵坐标差的绝对值：
$AB=|(4a-1)-(-16a+1)|=|20a-2|$
已知$AB=18$，因此列方程$|20a-2|=18$，分两种情况求解：
① 当$20a-2=18$时，$20a=20$，解得$a=1$；
② 当$20a-2=-18$时，$20a=-16$，解得$a=-\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-a(x-4)^2+1}$（或$\boldsymbol{y=-ax^2+8ax-16a+1}$）
(2) $\boldsymbol{a=1}$或$\boldsymbol{a=-\dfrac{4}{5}}$
【知识点】
二次函数的顶点式，中心对称的坐标变换，绝对值方程求解
【点评】
本题考查二次函数的图像变换与距离计算，第一问通过顶点对称求解析式的方法简化了计算，第二问求解时要注意距离为非负数，需考虑绝对值方程的两种情况，避免漏解，是二次函数部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数中心对称后的解析式，可先将原函数化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标；再根据中心对称的坐标性质，求出顶点关于点R的对称点，即为新抛物线的顶点；由于中心对称不改变抛物线开口大小，仅改变开口方向，因此新抛物线的二次项系数为-a，代入顶点式即可得到$C_2$的函数表达式。
(2) 抛物线与y轴交点的横坐标为0，分别将x=0代入$C_1$、$C_2$的解析式，即可得到A、B两点的纵坐标；由于A、B都在y轴上，两点距离等于纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 先将二次函数$y = ax^2 + 4ax + 4a - 1$化为顶点式：
$\begin{aligned}y &= ax^2 + 4ax + 4a - 1\\&=a(x^2+4x+4)-1\\&=a(x+2)^2 -1\end{aligned}$
因此抛物线$C_1$的顶点坐标为$(-2,-1)$。
设点$(-2,-1)$关于点$R(1,0)$的对称点坐标为$(x,y)$，根据中心对称的中点性质：两点中点为$R(1,0)$，因此$\frac{-2+x}{2}=1$，$\frac{-1+y}{2}=0$，解得$x=4$，$y=1$，即$C_2$的顶点坐标为$(4,1)$。
由于中心对称后的抛物线开口大小与原抛物线相同，开口方向相反，故二次项系数为$-a$，因此$C_2$的函数表达式为$y=-a(x-4)^2 +1$。
(2) 求抛物线与y轴的交点，令$x=0$：
代入$C_1$的解析式，得$y=4a-1$，故点$A$坐标为$(0,4a-1)$；
代入$C_2$的解析式，得$y=-a×(0-4)^2 +1=-16a+1$，故点$B$坐标为$(0,-16a+1)$。
由于$A$、$B$均在y轴上，两点距离$AB$为纵坐标差的绝对值：
$AB=|(4a-1)-(-16a+1)|=|20a-2|$
已知$AB=18$，因此列方程$|20a-2|=18$，分两种情况求解：
① 当$20a-2=18$时，$20a=20$，解得$a=1$；
② 当$20a-2=-18$时，$20a=-16$，解得$a=-\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-a(x-4)^2+1}$（或$\boldsymbol{y=-ax^2+8ax-16a+1}$）
(2) $\boldsymbol{a=1}$或$\boldsymbol{a=-\dfrac{4}{5}}$
【知识点】
二次函数的顶点式，中心对称的坐标变换，绝对值方程求解
【点评】
本题考查二次函数的图像变换与距离计算，第一问通过顶点对称求解析式的方法简化了计算，第二问求解时要注意距离为非负数，需考虑绝对值方程的两种情况，避免漏解，是二次函数部分的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
14 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像的一部分如图所示。已知它的顶点 M 在第二象限，且经过点 A(1，0)和点 B(0，1)。
（1）试求 a、b 所满足的等量关系。
（2）设此二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为 C，当△AMC 的面积为△ABC 的面积的$\frac{5}{4}$时，求 a 的值。
（3）点 C 是二次函数图像与 x 轴的另一交点，是否存在实数 a，使得△ABC 为直角三角形。若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由。
（1）试求 a、b 所满足的等量关系。
（2）设此二次函数的图像与 x 轴的另一个交点为 C，当△AMC 的面积为△ABC 的面积的$\frac{5}{4}$时，求 a 的值。
（3）点 C 是二次函数图像与 x 轴的另一交点，是否存在实数 a，使得△ABC 为直角三角形。若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由。
答案
14. (1) 把点A(1,0)和点B(0,1)分别代入$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}a+b+c=0,\\c=1,\end{cases}$ 所以$a+b=-1$。
(2) 因为点A、C均在x轴上，点M在第二象限，所以$S_{△ AMC}=\frac{1}{2}AC · y_M$。点B在y轴正半轴上，所以$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}AC · y_B$。因为$S_{△ AMC}=\frac{5}{4}S_{△ ABC}$,所以$\frac{1}{2}AC · y_M=\frac{5}{4} × \frac{1}{2}AC · y_B$。因为$y_B=1$,所以$y_M=\frac{5}{4}$,所以$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{5}{4}$,可得$\begin{cases}a+b+c=0,\\c=1,\\\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{5}{4},\end{cases}$ 整理得$a^2+3a+1=0$,解得$a_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$,$a_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。因为点M在第二象限，所以$x=-\frac{b}{2a}=\frac{a+1}{2a}＜0$,由图像开口向下可知$a＜0$,所以$-1＜a＜0$,所以$a=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
(3) 不存在。理由如下:因为顶点M在第二象限，所以点C在A的左侧。因为点A(1,0)和点B(0,1)，所以$OA=OB=1$。因为$∠ AOB=90°$,所以$∠ BAC=45°$始终成立，所以只有$∠ ABC=90°$或者$∠ ACB=90°$两种可能。①当$∠ ABC=90°$时，因为$∠ BAC=45°$,所以$∠ ACB=45°$,所以$OA=OC=1$,所以顶点M与点B重合，这与点M在第二象限不符，舍去；②当$∠ ACB=90°$时，所以点C与点O重合，而点B也在抛物线上，不存在这样的抛物线。综上所述，不存在这样的点C。
解析
【分析】
（1）已知二次函数经过A(1,0)和B(0,1)两个定点，将两点坐标代入函数解析式，消去参数c即可推导得到a与b的等量关系。
（2）△AMC和△ABC共底AC，面积比等于两个三角形在AC边上的高的比值，即顶点M的纵坐标和点B的纵坐标的比，先求出顶点M的纵坐标，再结合二次函数顶点纵坐标公式、第一问得到的a和b的关系，以及顶点在第二象限、抛物线开口向下的性质对求得的a进行取舍即可。
（3）先由A、B的坐标可得∠BAC=45°，因此直角仅可能为∠ABC或∠ACB，分两种情况讨论，结合顶点在第二象限的前提条件判断是否存在符合要求的a即可。
【解析】
（1）将点A(1,0)、B(0,1)代入$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\c=1\end{cases}$
将$c=1$代入第一个式子，整理得$a+b=-1$。
（2）△AMC和△ABC均以AC为底，△AMC的高为顶点M的纵坐标$y_M$，△ABC的高为点B的纵坐标$y_B=1$。
由$S_{△ AMC}=\frac{5}{4}S_{△ ABC}$，得：
$\frac{1}{2}AC· y_M=\frac{5}{4}×\frac{1}{2}AC×1$
约去公共项后得$y_M=\frac{5}{4}$。
由二次函数顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=y_M$，结合$c=1$、$b=-1-a$代入得：
$\frac{4a×1-(-1-a)^2}{4a}=\frac{5}{4}$
整理得$a^2+3a+1=0$，解得$a_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$a_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
因为顶点M在第二象限，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{a+1}{2a}＜0$，且抛物线开口向下得$a＜0$，因此$a+1＞0$，即$-1＜a＜0$。
$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\approx-2.618＜-1$，不符合要求舍去，故$a=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
（3）不存在符合条件的实数a，理由如下：
因为顶点M在第二象限，对称轴在y轴左侧，因此抛物线与x轴的另一交点C在点A左侧。
由A(1,0)、B(0,1)得$OA=OB=1$，$∠ AOB=90°$，故$∠ BAC=45°$恒成立，因此直角仅可能为$∠ ABC$或$∠ ACB$：
① 若$∠ ABC=90°$，结合$∠ BAC=45°$，得$∠ ACB=45°$，因此$OC=OA=1$，即C(-1,0)，此时抛物线对称轴为y轴，顶点为B(0,1)，与顶点M在第二象限矛盾，舍去；
② 若$∠ ACB=90°$，则点C在原点O(0,0)，此时点B(0,1)和点C(0,0)均在抛物线上，同一横坐标x=0对应两个y值，不符合函数定义，不存在这样的抛物线。
综上，不存在符合条件的实数a。
【答案】
(1) $a+b=-1$；
(2) $a=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$；
(3) 不存在，理由见解析。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数图像与性质
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了三角形面积计算、直角三角形判定的知识点，解题时需要运用分类讨论思想，同时要注意根据抛物线的图像性质对解进行合理性取舍，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
（1）已知二次函数经过A(1,0)和B(0,1)两个定点，将两点坐标代入函数解析式，消去参数c即可推导得到a与b的等量关系。
（2）△AMC和△ABC共底AC，面积比等于两个三角形在AC边上的高的比值，即顶点M的纵坐标和点B的纵坐标的比，先求出顶点M的纵坐标，再结合二次函数顶点纵坐标公式、第一问得到的a和b的关系，以及顶点在第二象限、抛物线开口向下的性质对求得的a进行取舍即可。
（3）先由A、B的坐标可得∠BAC=45°，因此直角仅可能为∠ABC或∠ACB，分两种情况讨论，结合顶点在第二象限的前提条件判断是否存在符合要求的a即可。
【解析】
（1）将点A(1,0)、B(0,1)代入$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\c=1\end{cases}$
将$c=1$代入第一个式子，整理得$a+b=-1$。
（2）△AMC和△ABC均以AC为底，△AMC的高为顶点M的纵坐标$y_M$，△ABC的高为点B的纵坐标$y_B=1$。
由$S_{△ AMC}=\frac{5}{4}S_{△ ABC}$，得：
$\frac{1}{2}AC· y_M=\frac{5}{4}×\frac{1}{2}AC×1$
约去公共项后得$y_M=\frac{5}{4}$。
由二次函数顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=y_M$，结合$c=1$、$b=-1-a$代入得：
$\frac{4a×1-(-1-a)^2}{4a}=\frac{5}{4}$
整理得$a^2+3a+1=0$，解得$a_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$a_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
因为顶点M在第二象限，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{a+1}{2a}＜0$，且抛物线开口向下得$a＜0$，因此$a+1＞0$，即$-1＜a＜0$。
$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\approx-2.618＜-1$，不符合要求舍去，故$a=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
（3）不存在符合条件的实数a，理由如下：
因为顶点M在第二象限，对称轴在y轴左侧，因此抛物线与x轴的另一交点C在点A左侧。
由A(1,0)、B(0,1)得$OA=OB=1$，$∠ AOB=90°$，故$∠ BAC=45°$恒成立，因此直角仅可能为$∠ ABC$或$∠ ACB$：
① 若$∠ ABC=90°$，结合$∠ BAC=45°$，得$∠ ACB=45°$，因此$OC=OA=1$，即C(-1,0)，此时抛物线对称轴为y轴，顶点为B(0,1)，与顶点M在第二象限矛盾，舍去；
② 若$∠ ACB=90°$，则点C在原点O(0,0)，此时点B(0,1)和点C(0,0)均在抛物线上，同一横坐标x=0对应两个y值，不符合函数定义，不存在这样的抛物线。
综上，不存在符合条件的实数a。
【答案】
(1) $a+b=-1$；
(2) $a=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$；
(3) 不存在，理由见解析。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数图像与性质
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了三角形面积计算、直角三角形判定的知识点，解题时需要运用分类讨论思想，同时要注意根据抛物线的图像性质对解进行合理性取舍，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.55
