1 [2024泰安]如图，直线$l // m$，等边三角形$ABC$的两个顶点$B$，$C$分别落在直线$l$，$m$上。若$∠ ABE=21°$，则$∠ ACD$的大小是（）

A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$

1. B

【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先由直线$l // m$可利用平行线的同旁内角互补的性质，得到$∠ EBC + ∠ BCD = 180°$；再根据等边三角形的性质可知其每个内角均为$60°$，结合已知$∠ ABE=21°$先求出$∠ EBC$的度数，再推导得到$∠ BCD$的度数，最后用$∠ BCD$减去等边三角形的内角$∠ ACB$即可求出$∠ ACD$的大小。
【解析】
解：$\because$直线$l // m$
$\therefore ∠ EBC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
$\because △ ABC$是等边三角形
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 60°$
已知$∠ ABE=21°$，则：
$∠ EBC = ∠ ABE + ∠ ABC = 21° + 60° = 81°$
代入平行线的性质结论得：
$∠ BCD = 180° - ∠ EBC = 180° - 81° = 99°$
又$\because ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD$
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCD - ∠ ACB = 99° - 60° = 39°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是平行线性质与等边三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是找准角之间的和差关系，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

2 如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,点F在BC上,连接DF,BD=BF,则∠BFD的大小是 ()

A.$60°$
B.$65°$
C.$75°$
D.$80°$

2. C

【分析】
解决本题的思路如下：首先利用等边三角形的内角性质得到∠ABC的度数，再结合角平分线的定义求出∠DBC的度数；最后根据“等边对等角”的性质和三角形内角和定理，计算等腰△BDF的底角∠BFD的度数即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
又
∵BD=BF，
∴△BDF是等腰三角形，∠BFD=∠BDF，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BFD=$\frac{180°-∠DBC}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是熟练掌握等边三角形、角平分线以及等腰三角形的相关性质，逐步推导角度即可得到结果。
【难度系数】
0.8

3 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在线段$BC$上,且$∠ B=30°$,$∠ ADC=60°$,$DC=3$,则$BD$的长为.

3. 6

【分析】
解题时先从已知的直角和特殊角度入手：首先在Rt△ADC中，根据三角形内角和求出∠DAC的度数，结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质算出AD的长度；再利用三角形外角的性质求出∠BAD的度数，可发现∠BAD与∠B相等，根据等角对等边即可得到BD和AD的等量关系，进而求出BD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
$\therefore ∠ DAC=180° - 90° - 60°=30°$，
$\because$ 直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ DAC$所对的边为$DC=3$，
$\therefore AD=2DC=2×3=6$。
$\because ∠ ADC$是$△ABD$的外角，
$\therefore ∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，
已知$∠ B=30°$，$∠ ADC=60°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ ADC - ∠ B=60° - 30°=30°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ B$，
$\therefore BD=AD=6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形30°角的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过角度的运算得到等角，进而转化得到边的等量关系，熟练掌握特殊三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

4 [2025宿豫期末]如图，△ABC是等边三角形，在边AC的右侧作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，连接BD，则∠ABD的大小为。

4. $45°$

【分析】
要求∠ABD的度数，可先将其转化为∠ABC与∠CBD的差。已知△ABC是等边三角形，可直接得到∠ABC=60°，因此只需计算∠CBD的度数。首先根据等边三角形和等腰直角三角形的边的性质，推导得出BC=CD，即△BCD是等腰三角形；再计算出△BCD的顶角∠BCD的度数，利用等腰三角形底角相等的性质算出∠CBD，最后作差即可得到∠ABD的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$BC=AC$，$∠ ACB=∠ ABC=60°$，
∵△ACD是等腰直角三角形，$∠ ACD=90°$，
∴$AC=CD$，
∴$BC=CD$，即△BCD是等腰三角形，
∴$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=60°+90°=150°$，
∴$∠ CBD=∠ CDB=\frac{180°-∠ BCD}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$，
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=60°-15°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题的核心是通过边的等量关系得到等腰三角形BCD，再结合角度和差与等腰三角形底角的性质求解，解题思路清晰，属于基础类常考题型。
【难度系数】
0.7

5 如图，$△ ABC$是等边三角形，点$B$，$C$，$D$，$E$在同一条直线上，且$CG=CD$，$DF=DE$，则$∠ E$的大小为。

5. $15°$

【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，回忆等边三角形的内角性质得到∠ACB的度数，进而求出其邻补角∠ACD的度数；再结合CG=CD的条件，可知△CGD为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和定理就能算出底角∠CDG的度数；最后根据DF=DE判定△DFE是等腰三角形，先求出△DFE的顶角度数，再利用等腰三角形性质即可算出∠E的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
∵CG=CD，
∴△CGD是等腰三角形，
∴∠CDG=∠CGD=$\frac{180°-∠ACD}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠FDE=180°-∠CDG=180°-30°=150°。
∵DF=DE，
∴△DFE是等腰三角形，
∴∠E=∠DFE=$\frac{180°-∠FDE}{2}$=$\frac{180°-150°}{2}$=15°。
【答案】
$15°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是结合特殊三角形的性质推导角度关系，解题时需要理清图中各角的和差关系，逐步推导即可得出结果。
【难度系数】
0.7

6 如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE。求证：$CD=CE$。

6. $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=CB, ∠ ACB= 60°. \because BD$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BD ⊥ AC, \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$ 中, $∠ DBC=30°$. 根据画图痕迹, 得 $BD= DE, \therefore ∠ E=∠ DBC=30°. \because ∠ ACB$ 是 $△ DCE$ 的外角, $\therefore ∠ ACB=∠ CDE+∠ E, \therefore ∠ CDE=30°$,$\therefore ∠ E=∠ CDE, \therefore CD=CE$

【分析】
要证明$CD=CE$，可通过证明两边所对的角相等推导，即证$∠ CDE=∠ E$。首先结合等边三角形的性质及中线的特征，求出$∠ DBC$的度数；再根据作图得到$BD=DE$，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ E$的度数；最后借助三角形外角的性质求出$∠ CDE$的度数，若$∠ CDE=∠ E$即可得证。
【解析】
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore AB=CB, ∠ ACB= 60°$.
$\because BD$是$△ ABC$的中线,
$\therefore BD ⊥ AC$,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BDC$中, $∠ DBC=30°$.
根据画图痕迹, 得$BD= DE$,
$\therefore ∠ E=∠ DBC=30°$.
$\because ∠ ACB$是$△ DCE$的外角,
$\therefore ∠ ACB=∠ CDE+∠ E$,
$\therefore ∠ CDE=30°$,
$\therefore ∠ E=∠ CDE$,
$\therefore CD=CE$。
【答案】
$CD=CE$
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是通过角度推导得到等角，进而利用等角对等边完成证明，考察了学生对特殊三角形性质及三角形外角定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

7 教材P48练习T3变式 [2025沭阳期中]如图，在$Rt△ ABC$中，CD是斜边AB上的高，$∠ A=30°$，$BD=2\ \mathrm{cm}$，则AD的长是（）

A.4 cm
B.5 cm
C.6 cm
D.7 cm

7. C

【分析】
要解决这道题，我们可以从已知的直角和30°角入手：首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合CD是斜边的高，推导得到∠BCD=30°，借助“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”先求出BC的长度，再在Rt△ABC中用同样的性质求出AB的总长度，最后用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=90°-∠A=60°，且BC=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵ CD是斜边AB上的高，
∴ ∠CDB=90°，
∴ 在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B=30°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC。
已知BD=2cm，代入得BC=2BD=2×2=4cm。
将BC=4cm代入BC=$\frac{1}{2}$AB，得AB=2BC=2×4=8cm。
∴ AD=AB-BD=8-2=6cm。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是找到图中两组含30°角的直角三角形，两次运用30°角对应的边的关系逐步推导边长，计算难度较低，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

8 如图，P是等边三角形ABC的边AB上的一点（不与点A，B重合），则在以线段CP，BP，AP长为边长的三角形中，最大的内角的大小为 （）

A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$

8. D 【解析】过点 $P$ 作 $PE//BC$,交 $AC$ 于点 $E$,可证$△ AEP$ 是等边三角形,则 $△ CEP$ 就是以线段 $CP,BP$,$AP$ 长为边长的三角形,其中最大的内角 $∠ CEP$ 的大小为 $120°$.

【分析】
要解决这个问题，我们需要把分散的三条线段AP、BP、CP转化到同一个三角形中，再求该三角形的最大内角。首先利用等边三角形的性质，通过作平行线构造新的等边三角形，实现线段的等量转化：过点P作PE平行于BC交AC于E，可先证△AEP是等边三角形，得到AP=PE，再推出EC=BP，这样△CEP的三边就分别对应AP、BP、CP，最后计算该三角形的最大内角即可。
【解析】
解：过点P作$PE// BC$，交AC于点E。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AC=AB$。
∵$PE// BC$，
∴$∠ AEP=∠ ACB=60°$，$∠ APE=∠ B=60°$，
∴$△ AEP$是等边三角形，
∴$AP=PE=AE$。
∵$AC-AE=AB-AP$，
∴$EC=BP$。
此时$△ CEP$的三边长分别为：$CE=BP$，$PE=AP$，$CP$为公共边，即$△ CEP$就是以线段$CP$、$BP$、$AP$为边长的三角形。
∵$∠ AEP=60°$，$∠ AEP+∠ CEP=180°$，
∴$∠ CEP=180°-60°=120°$。
三角形内角和为$180°$，一个三角形中最多有1个钝角，因此$120°$就是该三角形的最大内角，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查等边三角形相关的线段转化问题，核心方法是通过作平行线构造等边三角形，将三条分散的线段整合到同一个三角形中，是几何中线段转化的常用技巧，解题时需熟练运用等边三角形的边、角性质完成等量代换。
【难度系数】
0.6