9 [2024 泗洪期中]如图,在边长为2的等边三角形ABC中,点D在边BC上运动(不与点B,C重合),点E在边AB的延长线上,点F在边AC的延长线上,AD=DE=DF.点D在边BC上从点B运动至点C的过程中,△BED周长的变化规律为 ()

A.不变
B.一直变小
C.先变大后变小
D.先变小后变大

9. D 【解析】$\because AD = DE = DF, \therefore ∠ DAE = ∠ DEA, ∠ DAF = ∠ DFA. \because ∠ DAE + ∠ DAF = ∠ BAC=60°,\therefore ∠ DEA + ∠ DFA = 60°. \because ∠ ABC = ∠ DEA + ∠ EDB = 60°, \therefore ∠ EDB = ∠ DFA. \because ∠ ACB = ∠ CFD + ∠ CDF = 60°, \therefore ∠ CDF = ∠ BED. \because DE = FD, \therefore △ BDE ≌ △ CFD (\mathrm{ASA}), \therefore BD = CF, BE = CD, \therefore △ BED$ 的周长 $= BD + BE + DE = BD + CD + AD = BC + AD. \because$ 点 $D$ 在边 $BC$ 上从点 $B$ 运动至点 $C$ 的过程中, $AD$ 的长先变小后变大, $\therefore △ BED$ 的周长先变小后变大.

【分析】
解决本题首先要结合已知条件AD=DE=DF和等边△ABC的内角为60°的性质，利用等边对等角推导角的相等关系，证明△BDE和△CFD全等，将△BED的周长中的未知边进行转化，最终把周长转化为固定边长BC加AD的和，再分析点D在BC上运动时AD的长度变化规律，即可判断周长的变化趋势。
【解析】
∵AD = DE = DF，
∴∠DAE = ∠DEA，∠DAF = ∠DFA。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，BC=2。
∵∠DAE + ∠DAF = ∠BAC=60°，
∴∠DEA + ∠DFA = 60°。
∵∠ABC = ∠DEA + ∠EDB = 60°，
∴∠EDB = ∠DFA。
∵∠ACB = ∠CFD + ∠CDF = 60°，
∴∠CDF = ∠BED。
在△BDE和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠BED=∠CDF \\DE=FD \\∠EDB=∠DFC\end{array} $
∴△BDE ≌ △CFD（ASA），
∴BD = CF，BE = CD，
∴△BED的周长 = BD + BE + DE = BD + CD + AD = BC + AD。
∵点D在边BC上从点B运动至点C的过程中，AD的长度先变小（当AD⊥BC时AD最短，为等边三角形的高）后变大，
∴△BED的周长先变小后变大。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形性质；全等三角形判定与性质；垂线段最短
【点评】
本题属于几何动点综合题，核心解题思路是通过角的推导证明三角形全等，实现周长的等量转化，将动态周长问题转化为单条线段AD的长度变化问题，很好地考查了几何转化思想和综合分析能力。
【难度系数】
0.6

10 [2025潍坊]如图,甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地(AB为A地到B地的直线距离).甲:$A→C→B$,路程为$l_甲$.乙:$A→D→E→F→B$,路程为$l_乙$.丙:$A→G→H→B$,路程为$l_丙$.将$l_甲,l_乙,l_丙$按从大到小的顺序排列为.

10. $l_甲=l_乙＞l_丙$ 【解析】设 $AB=a$,可以求得 $l_甲= 2a,l_乙=2a,l_丙＜2a,\therefore l_甲=l_乙＞l_丙$.

【分析】
解题时先观察图形中均有60°角，可借助等边三角形的判定与性质计算甲、乙的路程，再利用三角形三边关系判断丙的路程与前两者的大小关系。具体步骤：①设AB的长度为参数a，先分析甲的路径对应的△ACB，由两个内角为60°可判定其为等边三角形，即可求出$l_甲$；②再分析乙的路径对应的两个小三角形，分别判定为等边三角形，将路程转化为线段和，得到$l_乙$；③最后通过延长丙路径的两条侧边得到等边三角形，结合三角形三边关系推出$l_丙$小于2a，即可比较三者大小。
【解析】
解：设AB的长度为$a$。
1. 计算$l_甲$：在$△ ACB$中，$∠ A=∠ B=60°$，$\therefore ∠ C=180°-60°-60°=60°$，即$△ ACB$是等边三角形，$\therefore AC=BC=AB=a$，$\therefore l_甲=AC+CB=a+a=2a$。
2. 计算$l_乙$：在$△ ADE$中，$∠ A=∠ AED=60°$，$\therefore △ ADE$是等边三角形，故$AD=DE=AE$；同理$△ EFB$中，$∠ B=∠ FEB=60°$，$△ EFB$是等边三角形，故$EF=FB=EB$。$\therefore l_乙=AD+DE+EF+FB=AE+AE+EB+EB=2(AE+EB)=2AB=2a$。
3. 比较$l_丙$与$2a$的大小：延长$AG$、$BH$交于点$K$，$\because ∠ A=∠ B=60°$，$\therefore △ AKB$为等边三角形，$AK+KB=2a$。在$△ GKH$中，根据三角形三边关系，$GH ＜ GK + KH$，$\therefore AG + GH + HB ＜ AG + GK + KH + HB = AK + KB = 2a$，即$l_丙 ＜ 2a$。
综上可得$l_甲=l_乙＞l_丙$。
【答案】
$l_甲=l_乙＞l_丙$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；三角形三边关系；线段和的大小比较
【点评】
本题将路径长度比较与几何性质结合，解题核心是利用等边三角形的性质将甲、乙的路程统一用AB的长度表示，再通过三角形三边关系判断丙的路程范围，能很好地考查学生的几何转化能力。
【难度系数】
0.7

11 [2025宿迁段考]如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ C=90°$，等边三角形$DEF$的三个顶点分别落在$AC$，$AB$，$BC$上.若$CD=5$，$BE=8$，则$AB$的长为.

11. 14 【解析】如图,过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$,则$∠ DHE=∠ C=90°$. 在 $△ ABC$ 中, $∠ B = 30°, ∠ C = 90°,\therefore ∠ A = 60°, AB = 2AC, \therefore ∠ 2 + ∠ ADE = 120°$.$\because △ DEF$ 是等边三角形, $\therefore DE = FD, ∠ EDF = 60°$,$\therefore ∠ 1 + ∠ ADE = 120°, \therefore ∠ 2 = ∠ 1$. 在 $△ DHE$ 和 $△ FCD$ 中, $\begin{cases}∠ DHE=∠ C=90°,\\∠ 2=∠ 1,\\DE=FD,\end{cases}$$\therefore △ DHE ≌ △ FCD$(AAS),$\therefore HE = CD = 5, \therefore HB = HE + BE = 5 + 8 =13,\therefore AB = BH + AH = 13 + AH$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADH$ 中,$∠ A = 60°, \therefore ∠ ADH = 30°, \therefore AD = 2AH, \therefore AC =CD + AD = 5 + 2AH. \because AB = 2AC, \therefore 13 + AH =2(5 + 2AH),\therefore AH=1,\therefore AB=13+AH=14.$

【分析】
遇到同时包含直角三角形、等边三角形的几何求长问题，首先回忆两类特殊三角形的性质：含30°角的直角三角形中30°对的直角边是斜边的一半，等边三角形三边相等、内角为60°。本题要关联已知的CD、BE长度，需构造全等三角形转化线段长度：过D作AB的垂线DH，既可以得到和∠C相等的直角，又能利用角的和差推出△DHE和△FCD的一组等角，结合等边三角形的等边DE=FD，即可证明全等得到HE=CD；再利用含30°角的直角三角形的性质设AH为未知数，结合AB=2AC的等量关系列方程，求出AH后即可得到AB的长度。
【解析】
解：如图，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$，则$∠ DHE=∠ C=90°$.
在 $△ ABC$ 中, $∠ B = 30°, ∠ C = 90°$,
$\therefore ∠ A = 180°-90°-30°=60°, AB = 2AC$,
$\therefore ∠ 2 + ∠ ADE = 180°-∠A=120°$.
$\because △ DEF$ 是等边三角形,
$\therefore DE = FD, ∠ EDF = 60°$,
$\therefore ∠ 1 + ∠ ADE = 180°-∠EDF=120°$,
$\therefore ∠ 2 = ∠ 1$.
在 $△ DHE$ 和 $△ FCD$ 中,
$\begin{cases}∠ DHE=∠ C=90°,\\∠ 2=∠ 1,\\DE=FD,\end{cases}$
$\therefore △ DHE ≌ △ FCD$(AAS),
$\therefore HE = CD = 5$,
$\therefore HB = HE + BE = 5 + 8 =13$,
$\therefore AB = BH + AH = 13 + AH$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADH$ 中,$∠ A = 60°$,
$\therefore ∠ ADH = 30°$,
$\therefore AD = 2AH$,
$\therefore AC =CD + AD = 5 + 2AH$.
$\because AB = 2AC$,
$\therefore 13 + AH =2(5 + 2AH)$,
解得$AH=1$,
$\therefore AB=13+AH=13+1=14$.

【答案】
14
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，通过作垂线构造全等三角形实现线段长度的转化，结合特殊直角三角形的性质，利用方程思想求解未知线段，解题的关键是找到角的等量关系证明全等，对几何辅助线构造能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12 如图，$△ ABC$，$△ CDE$均为等边三角形，连接$BD$，$AE$交于点$O$，$BC$与$AE$交于点$P$。
（1）求证：$AE=BD$；
（2）求$∠ AOB$的度数。

12. （1）$\because △ ABC,△ CDE$ 均为等边三角形, $\therefore AC =BC,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=60°, \therefore ∠ ACB + ∠ BCE=∠ DCE + ∠ BCE$,即$∠ ACE=∠ BCD$. 在$△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中, $\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACE=∠ BCD,\\CE=CD,\end{cases}$$\therefore △ ACE ≌ △ BCD$（SAS）, $\therefore AE = BD$ （2）$\because △ ACE ≌ △ BCD,\therefore ∠ CAE = ∠ CBD$. 又$\because △ APC$ 与 $△ BPO$ 的内角和均为 $180°,∠ APC=∠ BPO, \therefore ∠ BOP=∠ ACP=60°$,即$∠ AOB=60°$

【分析】
（1）要证AE=BD，可通过证明两条线段所在的△ACE和△BCD全等来推导。首先根据等边三角形的性质，可得两组对应边相等，再结合角的和差关系得到两组边的夹角相等，即可用SAS判定两三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证。
（2）求∠AOB的度数时，可借助第一问的全等结论得到对应角∠CAE=∠CBD，再结合对顶角相等和三角形内角和为180°的性质，可得∠AOB与等边△ABC的内角∠ACB相等，即可求出角度。
【解析】
（1）证明：$\because △ ABC,△ CDE$ 均为等边三角形,
$\therefore AC =BC,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=60°$,
$\therefore ∠ ACB + ∠ BCE=∠ DCE + ∠ BCE$,即$∠ ACE=∠ BCD$.
在$△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ ACE=∠ BCD,\\CE=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ BCD$（SAS）,
$\therefore AE = BD$
（2）解：$\because △ ACE ≌ △ BCD,\therefore ∠ CAE = ∠ CBD$.
又$\because △ APC$ 与 $△ BPO$ 的内角和均为 $180°,∠ APC=∠ BPO$,
$\therefore ∠ BOP=∠ ACP=60°$,即$∠ AOB=60°$
【答案】
（1）$AE=BD$，证明成立；（2）$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合基础题，解题的核心是利用等边三角形边、角的性质构造全等三角形，再结合全等的性质转化角的关系，是等边三角形相关证明题的典型考法，熟练掌握全等判定和等边三角形性质是解题关键。
【难度系数】
0.7

13 [2025 福建]如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$D$ 是 $AB$ 的中点，$CE ⊥ BC$，垂足为 $C$，$EF$ 是由 $CD$ 沿 $CE$ 方向平移得到的.已知 $EF$ 过点 $A$，$BE$ 交 $CD$ 于点 $G$.
（1）求$∠ DCE$ 的度数；
（2）求证：$△ CEG$ 是等边三角形.

13. （1）$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AC = BC$,$∠ ACB = 60°$. $\because D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore ∠ DCB = ∠ DCA = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 60° = 30°$. $\because CE ⊥ BC$,$\therefore ∠ BCE = 90°, \therefore ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ DCB = 60°$ （2）由平移可知,$CD//EF,\therefore ∠ EAC = ∠ DCA = 30°$.$\because ∠ ECA = ∠ BCE - ∠ ACB = 30°, \therefore ∠ EAC = ∠ ECA,\therefore AE=CE,∠ AEC=120°$. $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB = CB, \therefore BE$ 垂直平分 $AC, \therefore$ 易得$∠ GEC = \frac{1}{2}∠ AEC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$. 由（1）知,$∠ GCE = 60°, \therefore ∠ EGC = 60°, \therefore ∠ GEC = ∠ GCE = ∠ EGC,\therefore △ CEG$ 是等边三角形

【分析】
（1）求∠DCE的度数时，先利用等边三角形三线合一的性质，结合D是AB中点，得出CD平分∠ACB，算出∠DCB的度数，再结合CE⊥BC得到∠BCE=90°，用∠BCE减去∠DCB即可得到结果。
（2）要证明△CEG是等边三角形，已知第一问已得∠GCE=60°，只需再证明该三角形其余内角也为60°即可：首先根据平移的性质得到CD//EF，推导角相等得出AE=CE，再结合等边△ABC中AB=CB，可得BE是AC的垂直平分线，从而得到∠GEC=60°，最后证明△CEG三个内角均为60°，即可判定其为等边三角形。
【解析】
（1）$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AC = BC$,$∠ ACB = 60°$. $\because D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore ∠ DCB = ∠ DCA = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 60° = 30°$. $\because CE ⊥ BC$,$\therefore ∠ BCE = 90°, \therefore ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ DCB = 90°-30°=60°$。
（2）由平移可知,$CD//EF,\therefore ∠ EAC = ∠ DCA = 30°$.$\because ∠ ECA = ∠ BCE - ∠ ACB = 90°-60°=30°, \therefore ∠ EAC = ∠ ECA,\therefore AE=CE,∠ AEC=180°-30°-30°=120°$. $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB = CB$,又$AE=CE$,$\therefore BE$ 垂直平分 $AC, \therefore ∠ GEC = \frac{1}{2}∠ AEC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$. 由（1）知,$∠ GCE = 60°, \therefore ∠ EGC = 180°-60°-60°=60°, \therefore ∠ GEC = ∠ GCE = ∠ EGC,\therefore △ CEG$ 是等边三角形。
【答案】
（1）$\boxed{60°}$
（2）$\boxed{△CEG是等边三角形}$
【知识点】
等边三角形的性质与判定，平移的性质，垂直平分线的判定与性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、平移、线段垂直平分线的相关知识，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质和平移的平行性质，逐步推导角度关系，完成角度计算和三角形形状的证明。
【难度系数】
0.7