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7 新考向 探究题 [2025 宿城期中]如图，M，N为$4×4$的方格纸中格点上的两点.若以MN为边，在方格纸中取一点P(点P在格点上)，使得$△ MNP$为等腰三角形，则点P的个数为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
7. C
解析
【分析】
要解决格点中等腰三角形的构造问题，需结合等腰三角形“两边相等”的判定条件分类讨论：已知MN为△MNP的边，因此分三类情况：①以M为顶角顶点，满足MN=MP；②以N为顶角顶点，满足MN=NP；③以P为顶角顶点，满足PM=PN。先设小方格边长为1，用勾股定理算出MN的长度，再分别通过画弧、作垂直平分线的方法找到所有符合条件的格点P，排除共线、超出方格的无效点，最后统计个数即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，由勾股定理得$MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
1. 当$MN=MP$时：以M为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，与格点的交点中，除N外，满足三点不共线的点P有2个；
2. 当$MN=NP$时：以N为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，与格点的交点中，除M外，满足三点不共线的点P有2个；
3. 当$PM=PN$时：作MN的垂直平分线，与格点的交点中，满足三点不共线的点P有1个。
综上，符合条件的点P共有$2+2+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是格点背景下的探究题，核心考查分类讨论思想，解题时要覆盖所有等腰三角形的可能情况，同时注意排除三点共线的无效点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
要解决格点中等腰三角形的构造问题，需结合等腰三角形“两边相等”的判定条件分类讨论：已知MN为△MNP的边，因此分三类情况：①以M为顶角顶点，满足MN=MP；②以N为顶角顶点，满足MN=NP；③以P为顶角顶点，满足PM=PN。先设小方格边长为1，用勾股定理算出MN的长度，再分别通过画弧、作垂直平分线的方法找到所有符合条件的格点P，排除共线、超出方格的无效点，最后统计个数即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1，由勾股定理得$MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
1. 当$MN=MP$时：以M为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，与格点的交点中，除N外，满足三点不共线的点P有2个；
2. 当$MN=NP$时：以N为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，与格点的交点中，除M外，满足三点不共线的点P有2个；
3. 当$PM=PN$时：作MN的垂直平分线，与格点的交点中，满足三点不共线的点P有1个。
综上，符合条件的点P共有$2+2+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】
本题是格点背景下的探究题，核心考查分类讨论思想，解题时要覆盖所有等腰三角形的可能情况，同时注意排除三点共线的无效点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
8 [2024广州]如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=AC=6$，$D$为边$BC$的中点，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$AE=CF$，则四边形$AEDF$的面积为
9
。答案
8. 9
解析
【分析】
本题可通过构造辅助线转化面积求解：首先△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，连接AD后，可利用等腰直角三角形的性质得到AD=CD、∠EAD=∠C=45°，结合已知AE=CF可证明△AED和△CFD全等，将四边形AEDF的面积转化为△ACD的面积，再计算△ACD的面积即可得到结果。
【解析】
解：连接AD，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$，
∵ D是BC的中点，
∴ AD=CD，∠EAD=∠C=45°，且$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\∠ EAD=∠ C \\AD=CD\end{array} $
∴ △AED≌△CFD（SAS），
∴ $S_{△ AED}=S_{△ CFD}$，
∴ $S_{四边形AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × 18 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；割补法求面积
【点评】
本题是几何面积计算的典型题，核心解题思路是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易计算的规则三角形面积，很好地考查了几何性质的灵活运用和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题可通过构造辅助线转化面积求解：首先△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，连接AD后，可利用等腰直角三角形的性质得到AD=CD、∠EAD=∠C=45°，结合已知AE=CF可证明△AED和△CFD全等，将四边形AEDF的面积转化为△ACD的面积，再计算△ACD的面积即可得到结果。
【解析】
解：连接AD，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC=6，
∴ △ABC是等腰直角三角形，∠C=45°，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$，
∵ D是BC的中点，
∴ AD=CD，∠EAD=∠C=45°，且$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
在△AED和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}AE=CF \\∠ EAD=∠ C \\AD=CD\end{array} $
∴ △AED≌△CFD（SAS），
∴ $S_{△ AED}=S_{△ CFD}$，
∴ $S_{四边形AEDF}=S_{△ AED}+S_{△ ADF}=S_{△ CFD}+S_{△ ADF}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × 18 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；割补法求面积
【点评】
本题是几何面积计算的典型题，核心解题思路是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易计算的规则三角形面积，很好地考查了几何性质的灵活运用和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
9 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB。若AB=4，则DC的长为
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
解题时先从已知的“AC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得出AD=DC；再结合∠B=∠ADB的条件，利用等腰三角形“等角对等边”的判定，可推出AB=AD；最后通过AD这个中间量等量代换，就能求出DC的长度。
【解析】
∵ DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得：AD = DC，
又
∵ ∠B = ∠ADB，
∴ 根据等角对等边可得：AB = AD，
已知AB=4，
∴ AD=4，
∴ DC = AD = 4。
【答案】
4
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，核心是通过AD搭建AB和DC的等量关系，需要熟练掌握线段垂直平分线性质和等腰三角形的判定定理，解题时注意结合图形梳理边、角的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的“AC的垂直平分线”入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得出AD=DC；再结合∠B=∠ADB的条件，利用等腰三角形“等角对等边”的判定，可推出AB=AD；最后通过AD这个中间量等量代换，就能求出DC的长度。
【解析】
∵ DE是AC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质可得：AD = DC，
又
∵ ∠B = ∠ADB，
∴ 根据等角对等边可得：AB = AD，
已知AB=4，
∴ AD=4，
∴ DC = AD = 4。
【答案】
4
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，核心是通过AD搭建AB和DC的等量关系，需要熟练掌握线段垂直平分线性质和等腰三角形的判定定理，解题时注意结合图形梳理边、角的对应关系即可。
【难度系数】
0.8
10 [2025 宿城期末]如图,在$△ ABC$中,角平分线$BO$和$CO$相交于点$O$,$OE// AB$,$OF// AC$,$BC=2a$,则$△ OEF$的周长为
2a
.答案
10. 2a 【解析】
∵ OB 平分∠ABC,
∴ ∠OBE = ∠OBA.
∵ OE//AB,
∴ ∠EOB = ∠ABO,
∴ ∠OBE = ∠EOB,
∴ BE = OE. 同理，可得 OF = FC.
∴ △OEF的周长=OE+EF+OF = BE+EF+FC = BC = 2a.
∵ OB 平分∠ABC,
∴ ∠OBE = ∠OBA.
∵ OE//AB,
∴ ∠EOB = ∠ABO,
∴ ∠OBE = ∠EOB,
∴ BE = OE. 同理，可得 OF = FC.
∴ △OEF的周长=OE+EF+OF = BE+EF+FC = BC = 2a.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理角的关系：首先角平分线可得到一组相等的角，再结合平行线的性质可得到另一组相等的内错角，通过等量代换得到同一个三角形内两个角相等，再依据等角对等边将OE、OF分别转化为BE、FC，最终把△OEF的周长转化为已知线段BC的长度即可求解。
【解析】
∵ BO是∠ABC的角平分线，
∴ ∠OBE = ∠OBA，
∵ OE//AB，
∴ ∠EOB = ∠ABO（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠OBE = ∠EOB，
∴ BE = OE（等角对等边）。
同理，CO是∠ACB的角平分线，OF//AC，可得∠FOC = ∠FCO，
∴ OF = FC。
∴ △OEF的周长 = OE + EF + OF = BE + EF + FC = BC，
已知BC=2a，因此△OEF的周长为2a。
【答案】
2a
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，解题核心是识别“角平分线+平行线”的模型推出等腰三角形，通过线段转化将未知周长转化为已知线段长度，有效简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理角的关系：首先角平分线可得到一组相等的角，再结合平行线的性质可得到另一组相等的内错角，通过等量代换得到同一个三角形内两个角相等，再依据等角对等边将OE、OF分别转化为BE、FC，最终把△OEF的周长转化为已知线段BC的长度即可求解。
【解析】
∵ BO是∠ABC的角平分线，
∴ ∠OBE = ∠OBA，
∵ OE//AB，
∴ ∠EOB = ∠ABO（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠OBE = ∠EOB，
∴ BE = OE（等角对等边）。
同理，CO是∠ACB的角平分线，OF//AC，可得∠FOC = ∠FCO，
∴ OF = FC。
∴ △OEF的周长 = OE + EF + OF = BE + EF + FC = BC，
已知BC=2a，因此△OEF的周长为2a。
【答案】
2a
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用，解题核心是识别“角平分线+平行线”的模型推出等腰三角形，通过线段转化将未知周长转化为已知线段长度，有效简化计算。
【难度系数】
0.7
11 [2024 泗洪期中]如图,在△ABC中,∠A=100°,∠B=36°,∠EDF=40°,BD=BE,求证:△CDF是等腰三角形.
答案
11. 在△ABC 中，∠A = 100°, ∠B = 36°,
∴ ∠C = 180°−∠A−∠B = 180°−100°−36° = 44°.
∵ BD = BE,
∴ ∠BDE = ∠BED.
∵ ∠B = 36°,
∴ ∠BDE = ∠BED = $\frac{180°−∠B}{2}$ = $\frac{180°−36°}{2}$ = 72°.
∵ ∠EDF = 40°,
∴ ∠CDF = 180°−∠BDE−∠EDF = 180°−72°−40° = 68°,
∴ ∠CFD = 180°−∠C−∠CDF = 180°−44°−68° = 68°,
∴ ∠CDF = ∠CFD,
∴ CD = CF, 即△CDF 是等腰三角形
∴ ∠C = 180°−∠A−∠B = 180°−100°−36° = 44°.
∵ BD = BE,
∴ ∠BDE = ∠BED.
∵ ∠B = 36°,
∴ ∠BDE = ∠BED = $\frac{180°−∠B}{2}$ = $\frac{180°−36°}{2}$ = 72°.
∵ ∠EDF = 40°,
∴ ∠CDF = 180°−∠BDE−∠EDF = 180°−72°−40° = 68°,
∴ ∠CFD = 180°−∠C−∠CDF = 180°−44°−68° = 68°,
∴ ∠CDF = ∠CFD,
∴ CD = CF, 即△CDF 是等腰三角形
解析
【分析】
要证明△CDF是等腰三角形，可通过证明其两个内角相等，进而得到两边相等来完成判定。首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数；再根据BD=BE可知△BDE为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质求出∠BDE的度数；接下来结合平角为180°，减去∠BDE和已知∠EDF的度数，得到∠CDF的度数；最后在△CDF中利用内角和定理求出∠CFD的度数，验证∠CDF和∠CFD相等即可。
【解析】
在△ABC中，∠A = 100°, ∠B = 36°,
∴ ∠C = 180°−∠A−∠B = 180°−100°−36° = 44°.
∵ BD = BE,
∴ ∠BDE = ∠BED.
∵ ∠B = 36°,
∴ ∠BDE = ∠BED = $\frac{180°−∠B}{2}$ = $\frac{180°−36°}{2}$ = 72°.
∵ ∠EDF = 40°,
∴ ∠CDF = 180°−∠BDE−∠EDF = 180°−72°−40° = 68°,
∴ ∠CFD = 180°−∠C−∠CDF = 180°−44°−68° = 68°,
∴ ∠CDF = ∠CFD,
∴ CD = CF, 即△CDF 是等腰三角形。
【答案】
△CDF是等腰三角形
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是通过角度计算得到相等的内角，进而利用等角对等边判定等腰三角形，解题时要注意平角性质的正确运用，计算角度时要避免出错。
【难度系数】
0.8
要证明△CDF是等腰三角形，可通过证明其两个内角相等，进而得到两边相等来完成判定。首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数；再根据BD=BE可知△BDE为等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质求出∠BDE的度数；接下来结合平角为180°，减去∠BDE和已知∠EDF的度数，得到∠CDF的度数；最后在△CDF中利用内角和定理求出∠CFD的度数，验证∠CDF和∠CFD相等即可。
【解析】
在△ABC中，∠A = 100°, ∠B = 36°,
∴ ∠C = 180°−∠A−∠B = 180°−100°−36° = 44°.
∵ BD = BE,
∴ ∠BDE = ∠BED.
∵ ∠B = 36°,
∴ ∠BDE = ∠BED = $\frac{180°−∠B}{2}$ = $\frac{180°−36°}{2}$ = 72°.
∵ ∠EDF = 40°,
∴ ∠CDF = 180°−∠BDE−∠EDF = 180°−72°−40° = 68°,
∴ ∠CFD = 180°−∠C−∠CDF = 180°−44°−68° = 68°,
∴ ∠CDF = ∠CFD,
∴ CD = CF, 即△CDF 是等腰三角形。
【答案】
△CDF是等腰三角形
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是通过角度计算得到相等的内角，进而利用等角对等边判定等腰三角形，解题时要注意平角性质的正确运用，计算角度时要避免出错。
【难度系数】
0.8
12 如图,在锐角三角形ABC中,E是边AB上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.求证:
(1) $∠ BEC=2∠ AGE$;
(2) 一题多解 $△ AEG$是等腰三角形.
(1) $∠ BEC=2∠ AGE$;
(2) 一题多解 $△ AEG$是等腰三角形.
答案
12. (1) 如图，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F.
∵ BE=CE，EF⊥BC,
∴ ∠CEF = ∠BEF = $\frac{1}{2}$∠BEC.
∵ EF⊥BC,AD⊥BC,
∴ EF//AD,
∴ ∠CEF = ∠AGE,
∴ ∠AGE = $\frac{1}{2}$∠BEC,即∠BEC=2∠AGE
(2) 解法一：由(1)，得 EF//AD,
∴ ∠BEF = ∠BAD,
∠CEF = ∠AGE.
∵ ∠CEF = ∠BEF,
∴ ∠AGE = ∠BAD,
∴ EA=EG,
∴ △AEG 是等腰三角形
解法二：
∵ ∠BEC 是△AEG 的外角，
∴ ∠BEC = ∠EAG + ∠AGE. 由(1)，得 ∠BEC = 2 ∠AGE.
∴ ∠EAG + ∠AGE = 2∠AGE, 即 ∠EAG = ∠AGE,
∴ EA=EG,
∴ △AEG 是等腰三角形
解析
【分析】
(1)要证明∠BEC=2∠AGE，首先已知BE=CE，△BEC是等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的性质，作EF⊥BC得到EF平分∠BEC，即∠BEC=2∠CEF；再结合EF和AD都垂直于BC，可推出EF//AD，利用平行线的性质得到∠CEF=∠AGE，等量代换即可得证。
(2)证明△AEG是等腰三角形，只需证明其有两个内角相等：方法一可借助(1)中EF//AD的结论，得到多组角的等量关系，结合∠CEF=∠BEF推导∠AGE=∠EAG；方法二利用三角形外角的性质，结合(1)的结论直接推导∠EAG=∠AGE，即可得到EA=EG，证得△AEG是等腰三角形。
【解析】
(1) 过点 E 作 EF⊥BC 于点 F.
∵ BE=CE，EF⊥BC，
∴ ∠CEF = ∠BEF = $\frac{1}{2}$∠BEC.
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，
∴ EF//AD，
∴ ∠CEF = ∠AGE，
∴ ∠AGE = $\frac{1}{2}$∠BEC，即∠BEC=2∠AGE。
(2) 解法一：由(1)，得 EF//AD，
∴ ∠BEF = ∠BAD，∠CEF = ∠AGE.
∵ ∠CEF = ∠BEF，
∴ ∠AGE = ∠BAD，
∴ EA=EG，
∴ △AEG 是等腰三角形。
解法二：
∵ ∠BEC 是△AEG 的外角，
∴ ∠BEC = ∠EAG + ∠AGE。由(1)，得 ∠BEC = 2 ∠AGE，
∴ ∠EAG + ∠AGE = 2∠AGE，即 ∠EAG = ∠AGE，
∴ EA=EG，
∴ △AEG 是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形相关性质、判定的应用，以及角度关系的推导，作辅助线利用等腰三角形三线合一是解题的切入点，第二问的一题多解可以拓宽解题思路，帮助大家灵活运用不同几何性质解决问题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠BEC=2∠AGE，首先已知BE=CE，△BEC是等腰三角形，可利用等腰三角形三线合一的性质，作EF⊥BC得到EF平分∠BEC，即∠BEC=2∠CEF；再结合EF和AD都垂直于BC，可推出EF//AD，利用平行线的性质得到∠CEF=∠AGE，等量代换即可得证。
(2)证明△AEG是等腰三角形，只需证明其有两个内角相等：方法一可借助(1)中EF//AD的结论，得到多组角的等量关系，结合∠CEF=∠BEF推导∠AGE=∠EAG；方法二利用三角形外角的性质，结合(1)的结论直接推导∠EAG=∠AGE，即可得到EA=EG，证得△AEG是等腰三角形。
【解析】
(1) 过点 E 作 EF⊥BC 于点 F.
∵ BE=CE，EF⊥BC，
∴ ∠CEF = ∠BEF = $\frac{1}{2}$∠BEC.
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，
∴ EF//AD，
∴ ∠CEF = ∠AGE，
∴ ∠AGE = $\frac{1}{2}$∠BEC，即∠BEC=2∠AGE。
(2) 解法一：由(1)，得 EF//AD，
∴ ∠BEF = ∠BAD，∠CEF = ∠AGE.
∵ ∠CEF = ∠BEF，
∴ ∠AGE = ∠BAD，
∴ EA=EG，
∴ △AEG 是等腰三角形。
解法二：
∵ ∠BEC 是△AEG 的外角，
∴ ∠BEC = ∠EAG + ∠AGE。由(1)，得 ∠BEC = 2 ∠AGE，
∴ ∠EAG + ∠AGE = 2∠AGE，即 ∠EAG = ∠AGE，
∴ EA=EG，
∴ △AEG 是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形相关性质、判定的应用，以及角度关系的推导，作辅助线利用等腰三角形三线合一是解题的切入点，第二问的一题多解可以拓宽解题思路，帮助大家灵活运用不同几何性质解决问题。
【难度系数】
0.7
