11. ★★ [华师一附中自主招生] 一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，分别以各自的速度在甲、乙两地间匀速行驶，1 h后，快车司机发现有重要文件遗忘在出发地，便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地，结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车的行驶时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，y与x的函数图象如图，则a=.

11.$6.2$ 【点拨】设慢车的速度为$v_1$ km/h. 由题图知,$12.5v_1=1000$,解得$v_1=80$.设快车的速度为$v_2$ km/h.因为1 h后两车相距800 km,即1 h两车共行$1000-800=200(\mathrm{km})$,所以$v_2=120$.因为$a$ h后两车相遇,此时慢车走$80a$ km,快车走$120(a-2)$km,故有$80a+120(a-2)=1000$,解得$a=6.2$.

【分析】
解题思路：首先从函数图像中提取关键信息，甲乙两地全程为1000km，慢车走完全程用时12.5h，可先求出慢车速度；再根据x=1h时两车相距800km，算出两车1小时共同行驶的路程，进而求出快车速度；最后明确快车的行驶时间差：快车行驶1h后返回出发点也需要1h，相当于快车在x=2h时才重新从甲地出发，到a h两车相遇时，两车行驶的总路程等于全程1000km，据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
解：设慢车速度为$v_1$ km/h，由图可知慢车12.5h行驶完全程1000km，
则$12.5v_1=1000$，解得$v_1=80$。
设快车速度为$v_2$ km/h，两车同时出发1h后相距800km，说明1h内两车一共行驶了$1000-800=200\mathrm{km}$，
因此$v_1+v_2=200$，代入$v_1=80$得$v_2=200-80=120$。
快车行驶1h后返回出发点，返回同样需要1h，即x=2h时快车才再次从甲地出发，到a h两车相遇时：
慢车行驶的路程为$80a$ km，快车实际行驶的时间为$(a-2)$h，行驶的路程为$120(a-2)$ km，
相遇时两车行驶路程之和等于全程，可列方程：
$80a + 120(a-2) = 1000$
展开得：$80a + 120a - 240 = 1000$
合并同类项得：$200a = 1240$
解得：$a=6.2$
【答案】
6.2
【知识点】
一次函数图像应用，行程相遇问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题，解题的关键是读懂图像中特殊点的含义，理清两车的行驶过程，尤其是快车往返产生的时间差，找到路程的等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6

12. 某游泳馆普通票价为20元/次，暑假为丰富学生的假期生活，特推出两种学生优惠卡：①畅游卡，每张售价500元，每次游泳凭卡不再收费；②学生卡，所需费用y(元)与游泳次数x(次)的关系如图中射线BC所示。暑假普通票正常出售，两种学生优惠卡仅限学生暑假期间使用，不限次数。
(1)填空：a=，b=，点A的坐标为；
(2)设小明计划暑假期间游泳x次，请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式合算？

12.【解】(1)$20$;$30$;$(25,500)$
(2)当$0＜x＜20$时,选择普通票合算;当$x=20$时,普通票和学生卡费用相同,均比畅游卡合算;当$20＜x＜30$时,选择学生卡合算;当$x=30$时,畅游卡和学生卡费用相同,均比普通票合算;当$x＞30$时,选择畅游卡合算.

【分析】
本题考查一次函数的实际应用。
(1) 首先推导普通票的费用函数：普通票单价为20元/次，因此费用与次数的关系为$y=20x$。$a$是普通票费用为400元时对应的游泳次数，代入函数即可求出$a$；再根据射线$BC$经过$(0,200)$和$(a,400)$，用待定系数法求出学生卡的费用函数，$b$是学生卡费用为500元时对应的次数，代入解析式即可求出$b$；点$A$是普通票费用和畅游卡固定费用500元相等时的交点，代入普通票函数求出横坐标即可得到点$A$坐标。
(2) 先写出三种消费方式对应的费用函数，再两两比较求出函数值相等时的临界$x$值，以临界值为分界点分区间讨论，即可确定每个区间内费用最低的消费方式。
【解析】
(1) 普通票的费用与游泳次数的函数关系为：$y=20x$。
① 求$a$：当普通票费用为400元时，代入得$20a=400$，解得$a=20$。
② 求学生卡的费用函数：设射线$BC$对应的解析式为$y=kx+b$，由图可知$BC$过点$(0,200)$、$(20,400)$，代入得：
$\begin{cases}b=200\\20k+b=400\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=10\\b=200\end{cases}$，即学生卡费用函数为$y=10x+200\ (x≥0)$。
求$b$：当学生卡费用为500元时，代入得$10x+200=500$，解得$x=30$，即$b=30$。
③ 求点$A$坐标：点$A$是普通票费用等于500元时的交点，代入普通票函数得$20x=500$，解得$x=25$，因此点$A$坐标为$(25,500)$。
(2) 三种消费方式的费用分别为：普通票$y_1=20x$，学生卡$y_2=10x+200$，畅游卡$y_3=500$，分情况讨论：
当$0＜x＜20$时，$y_1＜y_2＜500$，普通票费用最低；
当$x=20$时，$y_1=y_2=400＜500$，普通票和学生卡费用相同，均低于畅游卡；
当$20＜x＜30$时，$y_2＜y_1$且$y_2＜500$，学生卡费用最低；
当$x=30$时，$y_2=y_3=500＜y_1=600$，学生卡和畅游卡费用相同，均低于普通票；
当$x＞30$时，$y_3=500＜y_2＜y_1$，畅游卡费用最低。
【答案】
(1)$20$；$30$；$(25,500)$
(2)当$0＜x＜20$时，选择普通票合算；当$x=20$时，普通票和学生卡费用相同，均比畅游卡合算；当$20＜x＜30$时，选择学生卡合算；当$x=30$时，畅游卡和学生卡费用相同，均比普通票合算；当$x＞30$时，选择畅游卡合算。
【知识点】
一次函数的应用；一次函数图象与性质；方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景考查一次函数的实际应用，要求学生掌握待定系数法求一次函数解析式，同时结合分类讨论思想比较不同区间的函数值大小确定最优方案，能够锻炼学生的数形结合能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6

13. 如图，直线$y=kx+6$与$x$轴、$y$轴分别交于点$E,F$.点$E$的坐标为$(-8,0)$，点$P(x,y)$是这条直线上的一个动点，点$A$的坐标为$(-6,0)$.
(1)求$k$的值；
(2)若点$P(x,y)$是第二象限内这条直线上的一个动点.在点$P$运动过程中，试写出$△ OPA$的面积$S$与$x$的函数关系式；
(3)若$△ OPA$的面积为$\frac{27}{8}$，求所有符合条件的点$P$的坐标.

13.【解】(1)将点$E$的坐标$(-8,0)$代入$y=kx+6$,得$0=-8k+6$,解得$k=\frac{3}{4}$.
(2)由(1)得该直线的表达式为$y=\frac{3}{4}x+6$.
因为$A(-6,0)$,所以$OA=6$.
又因为$y_P=\frac{3}{4}x_P+6$,且点$P$在第二象限,
所以$S=\frac{1}{2}OA·|y_P|=\frac{1}{2}×6×(\frac{3}{4}x+6)=\frac{9}{4}x+18$.
所以$S=\frac{9}{4}x+18(-8＜x＜0)$.
(3)当$S=\frac{27}{8}$时,$\frac{1}{2}×6×|y_P|=\frac{27}{8}$,解得$y_P=±\frac{9}{8}$.
当$y=\frac{9}{8}$时,$\frac{3}{4}x+6=\frac{9}{8}$,
解得$x=-\frac{13}{2}$,
所以点$P$的坐标为$(-\frac{13}{2},\frac{9}{8})$.
当$y=-\frac{9}{8}$时,$\frac{3}{4}x+6=-\frac{9}{8}$,解得$x=-\frac{19}{2}$,
所以点$P$的坐标为$(-\frac{19}{2},-\frac{9}{8})$.
综上,点$P$的坐标为$(-\frac{13}{2},\frac{9}{8})$或$(-\frac{19}{2},-\frac{9}{8})$.

【分析】
(1) 已知直线$y=kx+6$过点$E(-8,0)$，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点E的坐标代入解析式可得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k值。
(2) 先根据(1)的结果得到直线的完整解析式。求$△ OPA$的面积时，首先确定底边$OA$的长度：点A坐标为$(-6,0)$，因此$OA=6$；三角形的高是动点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，由于P在第二象限的直线上，纵坐标为正，因此高可表示为$y=\frac{3}{4}x+6$，代入三角形面积公式整理即可得到S与x的函数关系式，同时要注意x的取值范围是第二象限内直线对应的x的范围$-8＜x＜0$。
(3) 已知$△ OPA$的面积，先代入面积公式求出P点纵坐标的可能值（本题未限制P在第二象限，因此纵坐标可正可负），再分别将y的两个取值代入直线解析式，求出对应的x值，即可得到点P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将点$E(-8,0)$代入$y=kx+6$，得：
$0=-8k+6$
解得$k=\frac{3}{4}$。
(2) 由(1)得直线的表达式为$y=\frac{3}{4}x+6$。
$\because$点$A$的坐标为$(-6,0)$，$\therefore OA=6$。
$\because$点$P(x,y)$在第二象限内的直线上，$\therefore$P点纵坐标$y=\frac{3}{4}x+6＞0$，
$△ OPA$的面积$S=\frac{1}{2}×OA×y=\frac{1}{2}×6×(\frac{3}{4}x+6)$
整理得$S=\frac{9}{4}x+18$，x的取值范围为$-8＜x＜0$。
(3) 当$S=\frac{27}{8}$时，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×6×|y|=\frac{27}{8}$
解得$|y|=\frac{9}{8}$，即$y=\frac{9}{8}$或$y=-\frac{9}{8}$。
① 当$y=\frac{9}{8}$时，代入$y=\frac{3}{4}x+6$得：
$\frac{3}{4}x+6=\frac{9}{8}$
解得$x=-\frac{13}{2}$，此时点P坐标为$(-\frac{13}{2},\frac{9}{8})$；
② 当$y=-\frac{9}{8}$时，代入$y=\frac{3}{4}x+6$得：
$\frac{3}{4}x+6=-\frac{9}{8}$
解得$x=-\frac{19}{2}$，此时点P坐标为$(-\frac{19}{2},-\frac{9}{8})$。
【答案】
(1) $k=\frac{3}{4}$
(2) $S=\frac{9}{4}x+18(-8＜x＜0)$
(3) $(-\frac{13}{2},\frac{9}{8})$或$(-\frac{19}{2},-\frac{9}{8})$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式的应用，解题时要注意动点的位置范围，未限制动点象限时要考虑坐标的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65