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1. 下列式子中，属于二元一次方程的有 （
①$xy=1$；②$2x=3y$；③$x-\frac{1}{y}=2$；④$x^2 + y=3$；⑤$\frac{x}{4}=3y-1$；⑥$x+y+z=1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$xy=1$；②$2x=3y$；③$x-\frac{1}{y}=2$；④$x^2 + y=3$；⑤$\frac{x}{4}=3y-1$；⑥$x+y+z=1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程的三个核心判定条件：1. 方程中只含有2个未知数；2. 含有未知数的项的次数都为1；3. 方程是整式方程（分母中不含未知数）。接下来将每个式子逐一对照这三个条件，全部满足的就是二元一次方程，最后统计符合要求的个数即可选出正确答案。
【解析】
二元一次方程需同时满足三个条件：①含2个未知数；②含未知数的项的次数为1；③是整式方程。
逐个判断各式子：
①$xy=1$：项$xy$的次数是$1+1=2$，不满足次数为1的要求，不是二元一次方程；
②$2x=3y$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，且是整式方程，符合要求；
③$x-\frac{1}{y}=2$：分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
④$x^2 + y=3$：项$x^2$的次数是2，不满足次数为1的要求，不符合；
⑤$\frac{x}{4}=3y-1$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，且是整式方程，符合要求；
⑥$x+y+z=1$：含有$x、y、z$三个未知数，不满足只含2个未知数的要求，不符合。
综上，符合要求的有②和⑤，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的判定；整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握二元一次方程的三个判定条件，易错点是容易忽略整式方程的要求，或者误将两个未知数乘积的项的次数当成1，判断时需逐项核对所有条件，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程的三个核心判定条件：1. 方程中只含有2个未知数；2. 含有未知数的项的次数都为1；3. 方程是整式方程（分母中不含未知数）。接下来将每个式子逐一对照这三个条件，全部满足的就是二元一次方程，最后统计符合要求的个数即可选出正确答案。
【解析】
二元一次方程需同时满足三个条件：①含2个未知数；②含未知数的项的次数为1；③是整式方程。
逐个判断各式子：
①$xy=1$：项$xy$的次数是$1+1=2$，不满足次数为1的要求，不是二元一次方程；
②$2x=3y$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，且是整式方程，符合要求；
③$x-\frac{1}{y}=2$：分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
④$x^2 + y=3$：项$x^2$的次数是2，不满足次数为1的要求，不符合；
⑤$\frac{x}{4}=3y-1$：含有$x、y$两个未知数，含未知数的项次数都是1，且是整式方程，符合要求；
⑥$x+y+z=1$：含有$x、y、z$三个未知数，不满足只含2个未知数的要求，不符合。
综上，符合要求的有②和⑤，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的判定；整式方程的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握二元一次方程的三个判定条件，易错点是容易忽略整式方程的要求，或者误将两个未知数乘积的项的次数当成1，判断时需逐项核对所有条件，避免遗漏。
【难度系数】
0.7
2. 若方程组$\begin{cases}x+y=2, \\ \dots\end{cases}$是二元一次方程组，则“…”可以是（ ）
A.$4x=y$
B.$xy=1$
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$
D.$x^2 -1=0$
A.$4x=y$
B.$xy=1$
C.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$
D.$x^2 -1=0$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程组的判定标准：①方程组中一共只含有2个未知数；②所有含未知数的项的次数都为1；③每个方程都必须是整式方程。已知题干给出的第一个方程$x+y=2$已经满足含x、y两个未知数、未知数项次数为1、是整式方程的要求，因此我们只需逐一判断各选项的方程是否符合二元一次方程的要求，就能选出正确答案。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，依次分析各选项：
A. $4x=y$是整式方程，仅含x、y两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程的要求，可与已知方程组成二元一次方程组；
B. $xy=1$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，属于二元二次方程，不符合要求；
C. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$的分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. $x^2-1=0$仅含x一个未知数，且x的最高次数为2，属于一元二次方程，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的定义；整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握二元一次方程组的三个判定要点，尤其要注意：含未知数的项的次数是指该项所有未知数的次数和，不是单个未知数的次数；同时要区分整式方程和分式方程，避免误选B、C选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程组的判定标准：①方程组中一共只含有2个未知数；②所有含未知数的项的次数都为1；③每个方程都必须是整式方程。已知题干给出的第一个方程$x+y=2$已经满足含x、y两个未知数、未知数项次数为1、是整式方程的要求，因此我们只需逐一判断各选项的方程是否符合二元一次方程的要求，就能选出正确答案。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，依次分析各选项：
A. $4x=y$是整式方程，仅含x、y两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程的要求，可与已知方程组成二元一次方程组；
B. $xy=1$中，$xy$项的次数为$1+1=2$，属于二元二次方程，不符合要求；
C. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$的分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. $x^2-1=0$仅含x一个未知数，且x的最高次数为2，属于一元二次方程，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的定义；整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握二元一次方程组的三个判定要点，尤其要注意：含未知数的项的次数是指该项所有未知数的次数和，不是单个未知数的次数；同时要区分整式方程和分式方程，避免误选B、C选项。
【难度系数】
0.8
3. 易错题 如果$(a-2)x^{|a|-1}+3y=100$是关于$x,y$的二元一次方程，则$a$的值为
-2
。答案
-2
【解题支架】
关于x,y的二元一次方程满足$\begin{cases}|a|-1=1 \\ a-2≠0\end{cases}$，最终得$a=-2$解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程。我们需要根据定义列出两个约束条件：一是x的次数等于1，保证方程的次数符合要求；二是x的系数不能为0，否则x项消失，方程只含y一个未知数，不符合“二元”的要求。分别求解两个条件后取公共解，即可得到a的取值。
【解析】
解：已知$(a-2)x^{|a|-1}+3y=100$是关于x、y的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|a|-1=1 \quad \mathrm{（含x的项的次数为1）} \\a-2≠0 \quad \mathrm{（含x的项的系数不为0，保证方程有两个未知数）}\end{cases}$
解$|a|-1=1$：
移项得$|a|=2$，因此$a=2$或$a=-2$；
解$a-2≠0$，得$a≠2$；
综上，同时满足两个条件的a的值为$-2$。
【答案】
-2
关于x,y的二元一次方程满足$\begin{cases}|a|-1=1 \\ a-2≠0\end{cases}$，最终得$a=-2$
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质，不等式的求解
【点评】
本题是二元一次方程定义相关的易错题，很多同学解题时容易忽略未知项系数不为0的限制条件，错误得出a=±2的结果。解决这类问题需牢记二元一次方程的两个核心判定条件：未知数的次数为1、含未知数的项的系数不为0，两个条件要同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程。我们需要根据定义列出两个约束条件：一是x的次数等于1，保证方程的次数符合要求；二是x的系数不能为0，否则x项消失，方程只含y一个未知数，不符合“二元”的要求。分别求解两个条件后取公共解，即可得到a的取值。
【解析】
解：已知$(a-2)x^{|a|-1}+3y=100$是关于x、y的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：
$\begin{cases}|a|-1=1 \quad \mathrm{（含x的项的次数为1）} \\a-2≠0 \quad \mathrm{（含x的项的系数不为0，保证方程有两个未知数）}\end{cases}$
解$|a|-1=1$：
移项得$|a|=2$，因此$a=2$或$a=-2$；
解$a-2≠0$，得$a≠2$；
综上，同时满足两个条件的a的值为$-2$。
【答案】
-2
关于x,y的二元一次方程满足$\begin{cases}|a|-1=1 \\ a-2≠0\end{cases}$，最终得$a=-2$【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质，不等式的求解
【点评】
本题是二元一次方程定义相关的易错题，很多同学解题时容易忽略未知项系数不为0的限制条件，错误得出a=±2的结果。解决这类问题需牢记二元一次方程的两个核心判定条件：未知数的次数为1、含未知数的项的系数不为0，两个条件要同时满足，缺一不可。
【难度系数】
0.6
4. [2026太原模拟] 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是关于$x,y$的方程$3x - ky = 1$的一个解，则$k$的值为（ ）
A.$-2$
B.$1$
C.$2$
D.$7$
A.$-2$
B.$1$
C.$2$
D.$7$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确二元一次方程的解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值叫做二元一次方程的解。因此我们可以将已知的$x=1$、$y=2$代入原方程，此时方程仍成立，代入后会得到一个只含未知数$k$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求出$k$的值，最后对应选项选择即可。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$是方程$3x - ky = 1$的一个解
∴ 将$x=1$，$y=2$代入方程$3x - ky = 1$，可得：
$3×1 - k×2 = 1$
化简得：$3 - 2k = 1$
移项得：$-2k = 1 - 3$
合并同类项得：$-2k = -2$
系数化为1得：$k = 1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程解的概念的应用，解题的关键是掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一性质，代入后转化为熟悉的一元一次方程求解即可，得分率较高。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先明确二元一次方程的解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的一组未知数的值叫做二元一次方程的解。因此我们可以将已知的$x=1$、$y=2$代入原方程，此时方程仍成立，代入后会得到一个只含未知数$k$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求出$k$的值，最后对应选项选择即可。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$是方程$3x - ky = 1$的一个解
∴ 将$x=1$，$y=2$代入方程$3x - ky = 1$，可得：
$3×1 - k×2 = 1$
化简得：$3 - 2k = 1$
移项得：$-2k = 1 - 3$
合并同类项得：$-2k = -2$
系数化为1得：$k = 1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查二元一次方程解的概念的应用，解题的关键是掌握“方程的解代入原方程等式成立”这一性质，代入后转化为熟悉的一元一次方程求解即可，得分率较高。
【难度系数】
0.9
5. 新题型 结论开放题 写出二元一次方程$2x+3y=8$的一组整数解：。
答案
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$（答案不唯一）
解析
【分析】
二元一次方程的解有无数组，本题要求整数解，可采用赋值法求解：先给其中一个未知数取任意整数值，代入方程后计算另一个未知数的值，若计算结果也为整数，即可得到一组符合要求的整数解。通常选取较小的整数赋值，计算更简便，比如先给x取整数值1，再代入求y的值即可。
【解析】
我们使用赋值法求解：
1. 先给x赋值一个简单的整数，令$x=1$；
2. 将$x=1$代入二元一次方程$2x+3y=8$，可得：$2×1 + 3y = 8$；
3. 解关于y的一元一次方程：移项得$3y=8-2=6$，解得$y=2$。
此时x、y均为整数，满足题目要求，且该方程还有其他整数解，答案不唯一。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的解；代入求值
【点评】
本题属于结论开放型基础题，核心考查对二元一次方程解的概念的理解，解题方式灵活，只要满足代入后等式成立、x和y均为整数即可，做题时选择较小的整数赋值能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
二元一次方程的解有无数组，本题要求整数解，可采用赋值法求解：先给其中一个未知数取任意整数值，代入方程后计算另一个未知数的值，若计算结果也为整数，即可得到一组符合要求的整数解。通常选取较小的整数赋值，计算更简便，比如先给x取整数值1，再代入求y的值即可。
【解析】
我们使用赋值法求解：
1. 先给x赋值一个简单的整数，令$x=1$；
2. 将$x=1$代入二元一次方程$2x+3y=8$，可得：$2×1 + 3y = 8$；
3. 解关于y的一元一次方程：移项得$3y=8-2=6$，解得$y=2$。
此时x、y均为整数，满足题目要求，且该方程还有其他整数解，答案不唯一。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的解；代入求值
【点评】
本题属于结论开放型基础题，核心考查对二元一次方程解的概念的理解，解题方式灵活，只要满足代入后等式成立、x和y均为整数即可，做题时选择较小的整数赋值能提高解题效率。
【难度系数】
0.9
6. 如果方程组$\begin{cases}x+y=\bigstar, \\ 2x+y=16\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=6, \\ y=\blacksquare\end{cases}$，那么被“$\bigstar$”“$\blacksquare$”遮住的两个数分别为 ______ 。
答案
10,4
【点拨】将$\begin{cases} x=6, \\ y=
\end{cases}$代入$2x+y=16$,得$2×6+
=16$,解得$
=4$,即$y=4$.将$\begin{cases} x=6, \\ y=4 \end{cases}$代入$x+y=\bigstar$,得$6+4=\bigstar$,所以$\bigstar=10$. 所以被“$\bigstar$”“$\blacksquare$”遮住的两个数分别为10,4.解析
【分析】
解题的核心是利用二元一次方程组的解的性质：方程组的解满足方程组中的每一个方程。首先已知解中x=6，第二个方程没有被遮挡，可先将x=6代入第二个方程求出y的值，也就是被遮住的$\blacksquare$，再将x和求出的y代入第一个方程，就能算出被遮住的$\bigstar$。
【解析】
1. 求$\blacksquare$的值：
把$x=6$代入$2x+y=16$，得：
$2×6 + y = 16$
计算得$12+y=16$，解得$y=4$，即$\blacksquare=4$。
2. 求$\bigstar$的值：
把$\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}$代入$x+y=\bigstar$，得：
$\bigstar=6+4=10$。
【答案】
10,4
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程组解的概念的掌握，只要明确方程组的解可使每个方程成立，按步骤代入计算即可得出结果，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用二元一次方程组的解的性质：方程组的解满足方程组中的每一个方程。首先已知解中x=6，第二个方程没有被遮挡，可先将x=6代入第二个方程求出y的值，也就是被遮住的$\blacksquare$，再将x和求出的y代入第一个方程，就能算出被遮住的$\bigstar$。
【解析】
1. 求$\blacksquare$的值：
把$x=6$代入$2x+y=16$，得：
$2×6 + y = 16$
计算得$12+y=16$，解得$y=4$，即$\blacksquare=4$。
2. 求$\bigstar$的值：
把$\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}$代入$x+y=\bigstar$，得：
$\bigstar=6+4=10$。
【答案】
10,4
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二元一次方程组解的概念的掌握，只要明确方程组的解可使每个方程成立，按步骤代入计算即可得出结果，运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.9
7. 母题 教材P114习题T4 已知方程组$\begin{cases}3x+y=-1, \\2x-3y=-8.\end{cases}$
(1)$x$分别取$-3,-1,0,2$,填写下表:
方程 $2x-3y=-8$
$x$ $-3$ $-1$ $0$ $2$
$y$
(2)根据(1)中的数据写出方程组的解.
(1)$x$分别取$-3,-1,0,2$,填写下表:
方程 $2x-3y=-8$
$x$ $-3$ $-1$ $0$ $2$
$y$
8
2
-1
-7
(2)根据(1)中的数据写出方程组的解.
答案
(1)$8;2;-1;-7;\frac{2}{3};2;\frac{8}{3};4$
(2)方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$
(2)方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=2 \end{cases}$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确解题思路：1. 对于第一问，已知x的取值求对应y的值，可先将两个二元一次方程分别变形为用x表示y的形式，再将x的四个取值逐个代入，通过解一元一次方程计算得到对应的y值即可。2. 对于第二问，二元一次方程组的解是同时满足两个方程的未知数的取值，因此对比两个方程计算出的y值，找到同一x下y值相等的那组x、y，就是方程组的解。
【解析】
(1) 先处理方程$3x+y=-1$，变形得$y=-1-3x$：
当$x=-3$时，$y=-1-3×(-3)=8$；
当$x=-1$时，$y=-1-3×(-1)=2$；
当$x=0$时，$y=-1-3×0=-1$；
当$x=2$时，$y=-1-3×2=-7$；
再处理方程$2x-3y=-8$，变形得$y=\frac{2x+8}{3}$：
当$x=-3$时，$y=\frac{2×(-3)+8}{3}=\frac{2}{3}$；
当$x=-1$时，$y=\frac{2×(-1)+8}{3}=2$；
当$x=0$时，$y=\frac{0+8}{3}=\frac{8}{3}$；
当$x=2$时，$y=\frac{2×2+8}{3}=4$；
因此表格中y的取值依次为$8、2、-1、-7、\frac{2}{3}、2、\frac{8}{3}、4$。
(2) 观察计算结果，当$x=-1$时，两个方程对应的y值都为2，即这组值同时满足两个方程，因此是方程组的解。
【答案】
(1)$8;2;-1;-7;\frac{2}{3};2;\frac{8}{3};4$
(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
代入求二元一次方程的解；二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念理解，只要掌握代入计算的方法和相关概念，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确解题思路：1. 对于第一问，已知x的取值求对应y的值，可先将两个二元一次方程分别变形为用x表示y的形式，再将x的四个取值逐个代入，通过解一元一次方程计算得到对应的y值即可。2. 对于第二问，二元一次方程组的解是同时满足两个方程的未知数的取值，因此对比两个方程计算出的y值，找到同一x下y值相等的那组x、y，就是方程组的解。
【解析】
(1) 先处理方程$3x+y=-1$，变形得$y=-1-3x$：
当$x=-3$时，$y=-1-3×(-3)=8$；
当$x=-1$时，$y=-1-3×(-1)=2$；
当$x=0$时，$y=-1-3×0=-1$；
当$x=2$时，$y=-1-3×2=-7$；
再处理方程$2x-3y=-8$，变形得$y=\frac{2x+8}{3}$：
当$x=-3$时，$y=\frac{2×(-3)+8}{3}=\frac{2}{3}$；
当$x=-1$时，$y=\frac{2×(-1)+8}{3}=2$；
当$x=0$时，$y=\frac{0+8}{3}=\frac{8}{3}$；
当$x=2$时，$y=\frac{2×2+8}{3}=4$；
因此表格中y的取值依次为$8、2、-1、-7、\frac{2}{3}、2、\frac{8}{3}、4$。
(2) 观察计算结果，当$x=-1$时，两个方程对应的y值都为2，即这组值同时满足两个方程，因此是方程组的解。
【答案】
(1)$8;2;-1;-7;\frac{2}{3};2;\frac{8}{3};4$
(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
代入求二元一次方程的解；二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念理解，只要掌握代入计算的方法和相关概念，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
8. 当代科技探月 嫦娥六号成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务. 嫦娥六号采用了钻取和表取两种方式共采集样品1935克，表取比钻取的4倍还多310克. 若设钻取样品$x$克，表取样品$y$克，则可列方程组为 （
A.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4y+310=x \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4x+310=y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4x-y=310 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4y-x=310 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4y+310=x \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4x+310=y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4x-y=310 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=1935, \\ 4y-x=310 \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这类列二元一次方程组的问题，核心是从题干中提取两个独立的等量关系。本题有两个明确的数量条件：一是钻取和表取的样品总质量为1935克；二是表取样品质量比钻取的4倍还多310克，我们将两个条件分别转化为方程，再组合成方程组即可。
【解析】
1. 根据“钻取和表取两种方式共采集样品1935克”，已知钻取样品x克，表取样品y克，可列第一个方程：$x + y = 1935$。
2. 根据“表取比钻取的4倍还多310克”，即钻取质量的4倍加上310克等于表取的质量，可列第二个方程：$4x + 310 = y$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x+y=1935 \\ 4x+310=y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系识别
【点评】
本题结合航天热点情境命题，侧重考查从文字信息中提取数量关系的能力，解题的关键是准确理解“甲比乙的几倍多几”类表述对应的数量关系。
【难度系数】
0.8
要解决这类列二元一次方程组的问题，核心是从题干中提取两个独立的等量关系。本题有两个明确的数量条件：一是钻取和表取的样品总质量为1935克；二是表取样品质量比钻取的4倍还多310克，我们将两个条件分别转化为方程，再组合成方程组即可。
【解析】
1. 根据“钻取和表取两种方式共采集样品1935克”，已知钻取样品x克，表取样品y克，可列第一个方程：$x + y = 1935$。
2. 根据“表取比钻取的4倍还多310克”，即钻取质量的4倍加上310克等于表取的质量，可列第二个方程：$4x + 310 = y$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x+y=1935 \\ 4x+310=y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系识别
【点评】
本题结合航天热点情境命题，侧重考查从文字信息中提取数量关系的能力，解题的关键是准确理解“甲比乙的几倍多几”类表述对应的数量关系。
【难度系数】
0.8
9. 数学文化 四元玉鉴 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果$x$个，买苦果$y$个，可列出符合题意的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 1000, \\ \dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999,\end{cases}$根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
答案
D
解析
【分析】
要确定缺失的条件，需先明确二元一次方程组中每个方程及对应项的实际含义：①第一个方程$x+y=1000$对应“甜果苦果共一千个”，是数量关系；②第二个方程是总花费的等量关系，其中$x$是甜果数量，$y$是苦果数量，因此$\frac{11}{9}x$是买甜果的总花费，$\frac{4}{7}y$是买苦果的总花费。根据“单价=总花费÷数量”可算出甜果、苦果的单价，再将单价换算为“几个果对应多少文钱”的表述，即可匹配正确选项。
【解析】
已知$x$表示甜果个数，$y$表示苦果个数：
1. 第二个方程$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999$对应总花费999文的等量关系，因此甜果的单价为$\frac{\frac{11}{9}x}{x}=\frac{11}{9}$文/个，即买9个甜果需要11文钱；
2. 同理，苦果的单价为$\frac{\frac{4}{7}y}{y}=\frac{4}{7}$文/个，即买7个苦果需要4文钱。
因此缺失的条件为“甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的实际意义
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题结合古代数学典籍中的问题创设情境，考查学生将方程中的代数项与实际数量关系对应转化的能力，解题核心是理清总价、单价、数量三者的对应关系，难度不高。
【难度系数】
0.7
要确定缺失的条件，需先明确二元一次方程组中每个方程及对应项的实际含义：①第一个方程$x+y=1000$对应“甜果苦果共一千个”，是数量关系；②第二个方程是总花费的等量关系，其中$x$是甜果数量，$y$是苦果数量，因此$\frac{11}{9}x$是买甜果的总花费，$\frac{4}{7}y$是买苦果的总花费。根据“单价=总花费÷数量”可算出甜果、苦果的单价，再将单价换算为“几个果对应多少文钱”的表述，即可匹配正确选项。
【解析】
已知$x$表示甜果个数，$y$表示苦果个数：
1. 第二个方程$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999$对应总花费999文的等量关系，因此甜果的单价为$\frac{\frac{11}{9}x}{x}=\frac{11}{9}$文/个，即买9个甜果需要11文钱；
2. 同理，苦果的单价为$\frac{\frac{4}{7}y}{y}=\frac{4}{7}$文/个，即买7个苦果需要4文钱。
因此缺失的条件为“甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的实际意义
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题结合古代数学典籍中的问题创设情境，考查学生将方程中的代数项与实际数量关系对应转化的能力，解题核心是理清总价、单价、数量三者的对应关系，难度不高。
【难度系数】
0.7
10. 情境题 教育政策 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）.其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有购买方案（
A.5种
B.4种
C.3种
D.2种
B
）A.5种
B.4种
C.3种
D.2种
答案
B
【点拨】设购买笔记本$x$本,碳素笔$y$支,根据题意,得$3x+2y=28$,所以$y=14-\frac{3}{2}x$.又因为$x,y$均为正整数,所以$\begin{cases} x=2, \\ y=11 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4, \\ y=8 \end{cases}$或$\begin{cases} x=6, \\ y=5 \end{cases}$或$\begin{cases} x=8, \\ y=2 \end{cases}$,所以共有4种购买方案.
【点拨】设购买笔记本$x$本,碳素笔$y$支,根据题意,得$3x+2y=28$,所以$y=14-\frac{3}{2}x$.又因为$x,y$均为正整数,所以$\begin{cases} x=2, \\ y=11 \end{cases}$或$\begin{cases} x=4, \\ y=8 \end{cases}$或$\begin{cases} x=6, \\ y=5 \end{cases}$或$\begin{cases} x=8, \\ y=2 \end{cases}$,所以共有4种购买方案.
解析
【分析】
遇到这类购买方案类实际问题，首先要根据题意设出对应未知数，再结合总花费的等量关系列出二元一次方程；由于购买的笔记本和碳素笔的数量都是正整数，且题目明确两种奖品都买，因此需要求出该二元一次方程的所有正整数解，有多少组正整数解就对应多少种购买方案。求解时先将方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据正整数的限制条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
设购买笔记本$x$本，碳素笔$y$支，根据总花费为28元可列方程：
$3x + 2y = 28$
整理得：$y = 14 - \frac{3}{2}x$
$\because$ $x$、$y$均为正整数（两种奖品都购买，数量不能为0），
$\therefore$ $\frac{3}{2}x$必须为整数，即$x$是偶数，且$y=14-\frac{3}{2}x＞0$，
解得$x＜\frac{28}{3}\approx9.33$。
则$x$可取的正偶数为2、4、6、8，对应$y$的值分别为：
当$x=2$时，$y=11$；
当$x=4$时，$y=8$；
当$x=6$时，$y=5$；
当$x=8$时，$y=2$。
共4组正整数解，即共有4种购买方案。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程应用，二元一次方程正整数解，方案设计
【点评】
本题结合生活实际情境命题，解题的关键是找准等量关系列出方程，同时注意挖掘题目隐含的“两种奖品均购买”的条件，明确未知数的取值为正整数，避免漏解或多算不符合要求的方案，考查了学生用方程知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类购买方案类实际问题，首先要根据题意设出对应未知数，再结合总花费的等量关系列出二元一次方程；由于购买的笔记本和碳素笔的数量都是正整数，且题目明确两种奖品都买，因此需要求出该二元一次方程的所有正整数解，有多少组正整数解就对应多少种购买方案。求解时先将方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据正整数的限制条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
设购买笔记本$x$本，碳素笔$y$支，根据总花费为28元可列方程：
$3x + 2y = 28$
整理得：$y = 14 - \frac{3}{2}x$
$\because$ $x$、$y$均为正整数（两种奖品都购买，数量不能为0），
$\therefore$ $\frac{3}{2}x$必须为整数，即$x$是偶数，且$y=14-\frac{3}{2}x＞0$，
解得$x＜\frac{28}{3}\approx9.33$。
则$x$可取的正偶数为2、4、6、8，对应$y$的值分别为：
当$x=2$时，$y=11$；
当$x=4$时，$y=8$；
当$x=6$时，$y=5$；
当$x=8$时，$y=2$。
共4组正整数解，即共有4种购买方案。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程应用，二元一次方程正整数解，方案设计
【点评】
本题结合生活实际情境命题，解题的关键是找准等量关系列出方程，同时注意挖掘题目隐含的“两种奖品均购买”的条件，明确未知数的取值为正整数，避免漏解或多算不符合要求的方案，考查了学生用方程知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
11. 新考法 整体思想 已知方程组$\begin{cases}2a - 3b = 13, \\3a + 5b = 30.9\end{cases}$的解为$\begin{cases}a = 8.3, \\b = 1.2,\end{cases}$则方程组$\begin{cases}2(x + 2) - 3(y - 1) = 13, \\3(x + 2) + 5(y - 1) = 30.9\end{cases}$的解是________
答案
$\begin{cases} x=6.3, \\ y=2.2 \end{cases}$
解析
【分析】
观察两个方程组的结构，发现它们的左边形式完全一致，仅未知数的表示不同：第一个方程组的未知数是a、b，第二个方程组中对应位置是(x+2)和(y-1)。根据整体代换的思想，可将x+2看作a，y-1看作b，结合已知的第一个方程组的解，直接列出关于x、y的一元一次方程，求解即可得到第二个方程组的解，无需重新解复杂的二元一次方程组。
【解析】
对比两个方程组的结构，设$x+2=a$，$y-1=b$，则第二个方程组可转化为：
$\begin{cases}2a - 3b = 13 \\3a + 5b = 30.9\end{cases}$
已知该方程组的解为$\begin{cases}a = 8.3 \\b = 1.2\end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases}x+2 = 8.3 \\y-1 = 1.2\end{cases}$
分别解这两个一元一次方程：
由$x+2=8.3$，得$x=8.3 - 2 = 6.3$；
由$y-1=1.2$，得$y=1.2 + 1 = 2.2$。
【答案】
$\begin{cases} x=6.3 \\ y=2.2 \end{cases}$
【知识点】
整体代换思想，二元一次方程组的解，解一元一次方程
【点评】
本题考查整体思想在解二元一次方程组中的应用，引导学生观察方程组的结构特征，避免重复计算，简化解题过程，提升解题的灵活性和效率。
【难度系数】
0.7
观察两个方程组的结构，发现它们的左边形式完全一致，仅未知数的表示不同：第一个方程组的未知数是a、b，第二个方程组中对应位置是(x+2)和(y-1)。根据整体代换的思想，可将x+2看作a，y-1看作b，结合已知的第一个方程组的解，直接列出关于x、y的一元一次方程，求解即可得到第二个方程组的解，无需重新解复杂的二元一次方程组。
【解析】
对比两个方程组的结构，设$x+2=a$，$y-1=b$，则第二个方程组可转化为：
$\begin{cases}2a - 3b = 13 \\3a + 5b = 30.9\end{cases}$
已知该方程组的解为$\begin{cases}a = 8.3 \\b = 1.2\end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases}x+2 = 8.3 \\y-1 = 1.2\end{cases}$
分别解这两个一元一次方程：
由$x+2=8.3$，得$x=8.3 - 2 = 6.3$；
由$y-1=1.2$，得$y=1.2 + 1 = 2.2$。
【答案】
$\begin{cases} x=6.3 \\ y=2.2 \end{cases}$
【知识点】
整体代换思想，二元一次方程组的解，解一元一次方程
【点评】
本题考查整体思想在解二元一次方程组中的应用，引导学生观察方程组的结构特征，避免重复计算，简化解题过程，提升解题的灵活性和效率。
【难度系数】
0.7
