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12. ★★ 新考法分类讨论法 若方程组$\begin{cases}x-(c+3)xy=3, \\ x^{a-2} - y^{b+3}=4\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组，则代数式$a+b+c$的值是 ______ 。
答案
-2或-3
【点拨】由二元一次方程组的概念,得$c+3=0,a-2=1,b+3=1$,解得$c=-3,a=3,b=-2$,所以$a+b+c=-2$;或$c+3=0,a-2=0,b+3=1$,解得$c=-3,a=2,b=-2$,所以$a+b+c=-3$.故答案为-2或-3.
【点拨】由二元一次方程组的概念,得$c+3=0,a-2=1,b+3=1$,解得$c=-3,a=3,b=-2$,所以$a+b+c=-2$;或$c+3=0,a-2=0,b+3=1$,解得$c=-3,a=2,b=-2$,所以$a+b+c=-3$.故答案为-2或-3.
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确二元一次方程组的定义：方程组中只含有x、y两个未知数，含未知数的项的次数都为1，且所有方程都是整式方程。解题思路如下：1. 第一个方程中含xy项，该项次数为2，要满足一次的要求，必须让xy项的系数为0，可求出c的值；2. 第二个方程要满足一次的要求，同时保证整个方程组是二元，需要分两种情况讨论：第一种是第二个方程同时含x、y的一次项，第二种是第二个方程仅含y的一次项（x的项为常数项，因为第一个方程已经含有x，仍满足二元的要求），分别求出a、b的值，最后代入计算a+b+c即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义：
1. 第一个方程中，xy是二次项，要使方程为一次方程，需该项系数为0，即：
$c+3=0$，解得$c=-3$。
2. 对第二个方程分两种情况讨论：
情况一：第二个方程同时含有x和y的一次项，则：
$\begin{cases}a-2=1 \\ b+3=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3 \\ b=-2\end{cases}$，
此时$a+b+c=3+(-2)+(-3)=-2$；
情况二：第二个方程仅含y的一次项（x的项为常数项，第一个方程已含x，仍满足二元要求），则：
$\begin{cases}a-2=0 \\ b+3=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2 \\ b=-2\end{cases}$，
此时$a+b+c=2+(-2)+(-3)=-3$。
综上，$a+b+c$的值为-2或-3。
【答案】
-2或-3
【知识点】
二元一次方程组的定义，分类讨论思想，代数式求值
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组概念的准确理解，易错点是容易忽略第二个方程中x的次数为0的情况，导致漏解，做题时要紧扣定义，全面考虑所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先要明确二元一次方程组的定义：方程组中只含有x、y两个未知数，含未知数的项的次数都为1，且所有方程都是整式方程。解题思路如下：1. 第一个方程中含xy项，该项次数为2，要满足一次的要求，必须让xy项的系数为0，可求出c的值；2. 第二个方程要满足一次的要求，同时保证整个方程组是二元，需要分两种情况讨论：第一种是第二个方程同时含x、y的一次项，第二种是第二个方程仅含y的一次项（x的项为常数项，因为第一个方程已经含有x，仍满足二元的要求），分别求出a、b的值，最后代入计算a+b+c即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义：
1. 第一个方程中，xy是二次项，要使方程为一次方程，需该项系数为0，即：
$c+3=0$，解得$c=-3$。
2. 对第二个方程分两种情况讨论：
情况一：第二个方程同时含有x和y的一次项，则：
$\begin{cases}a-2=1 \\ b+3=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3 \\ b=-2\end{cases}$，
此时$a+b+c=3+(-2)+(-3)=-2$；
情况二：第二个方程仅含y的一次项（x的项为常数项，第一个方程已含x，仍满足二元要求），则：
$\begin{cases}a-2=0 \\ b+3=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2 \\ b=-2\end{cases}$，
此时$a+b+c=2+(-2)+(-3)=-3$。
综上，$a+b+c$的值为-2或-3。
【答案】
-2或-3
【知识点】
二元一次方程组的定义，分类讨论思想，代数式求值
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组概念的准确理解，易错点是容易忽略第二个方程中x的次数为0的情况，导致漏解，做题时要紧扣定义，全面考虑所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.6
13. 如图，$△ ABC$ 的面积为 $40\ \mathrm{cm}^2$，$DE=2AE$，$CD=3BD$，连接 $CE$，并延长交 $AB$ 于点 $F$。设 $S_{△ FAE} = x$，$S_{△ FBD} = y$，则根据题意可列方程组为 ______。
答案
$\begin{cases} 3y=2x+20, \\ 3x+y=10 \end{cases}$
【点拨】因为$DE=2AE$,所以$S_{△FDE}=2S_{△FAE},S_{△CDE}=2S_{△CAE}$.因为$CD=3BD$,所以$S_{△CDF}=3S_{△BDF},S_{△ACD}=3S_{△ABD}$.又因为$△ABC$的面积等于$40\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{△ACD}=\frac{3}{4}S_{△ABC}=30\ \mathrm{cm}^2$,$S_{△ABD}=\frac{1}{4}S_{△ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$.所以$S_{△CDE}=\frac{2}{3}S_{△ACD}=20\ \mathrm{cm}^2$.因为$S_{△FAE}=x,S_{△FBD}=y$,所以$\begin{cases} 3y=2x+20, \\ 3x+y=10 \end{cases}$.
【点拨】因为$DE=2AE$,所以$S_{△FDE}=2S_{△FAE},S_{△CDE}=2S_{△CAE}$.因为$CD=3BD$,所以$S_{△CDF}=3S_{△BDF},S_{△ACD}=3S_{△ABD}$.又因为$△ABC$的面积等于$40\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{△ACD}=\frac{3}{4}S_{△ABC}=30\ \mathrm{cm}^2$,$S_{△ABD}=\frac{1}{4}S_{△ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$.所以$S_{△CDE}=\frac{2}{3}S_{△ACD}=20\ \mathrm{cm}^2$.因为$S_{△FAE}=x,S_{△FBD}=y$,所以$\begin{cases} 3y=2x+20, \\ 3x+y=10 \end{cases}$.
解析
【分析】
要列关于x、y的方程组，需要找到两个独立的等量关系。解题的核心依据是：同高的两个三角形，面积比等于对应底边长的比。首先结合CD=3BD和△ABC的总面积，先求出△ABD和△ACD的面积；再结合DE=2AE推导相关三角形的面积关系，最后用x、y表示对应部分的面积，即可列出方程。
【解析】
1. 求△ABD、△ACD的面积：
△ABD和△ACD同高，底的比为$BD:CD=1:3$，因此面积比$S_{△ABD}:S_{△ACD}=1:3$。
已知$S_{△ABC}=40\ \mathrm{cm}^2$，则：
$S_{△ABD}=\frac{1}{1+3}×40=10\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ACD}=\frac{3}{1+3}×40=30\ \mathrm{cm}^2$。
2. 根据$DE=2AE$推导面积关系：
△FAE和△FDE同高，底的比$AE:DE=1:2$，因此$S_{△FDE}=2S_{△FAE}=2x$；
△CAE和△CDE同高，底的比$AE:DE=1:2$，因此$S_{△CDE}=\frac{2}{1+2}×S_{△ACD}=\frac{2}{3}×30=20\ \mathrm{cm}^2$。
3. 列第一个方程：
△BDF和△CDF同高，底的比$BD:CD=1:3$，因此$S_{△CDF}=3S_{△BDF}=3y$；
而$S_{△CDF}=S_{△FDE}+S_{△CDE}=2x+20$，因此得方程：$3y=2x+20$。
4. 列第二个方程：
$S_{△ABD}=S_{△FBD}+S_{△FAD}$，其中$S_{△FAD}=S_{△FAE}+S_{△FDE}=x+2x=3x$，结合$S_{△ABD}=10\ \mathrm{cm}^2$，得方程：$3x+y=10$。
【答案】
$\begin{cases} 3y=2x+20 \\ 3x+y=10 \end{cases}$
【知识点】
同高三角形面积关系、列二元一次方程组
【点评】
本题关键是掌握“同高三角形面积比等于对应底的比”这一性质，结合已知线段比例拆分图形面积，找到两个独立等量关系即可列出方程组，需要注意正确表示图形中各部分的面积关系。
【难度系数】
0.6
要列关于x、y的方程组，需要找到两个独立的等量关系。解题的核心依据是：同高的两个三角形，面积比等于对应底边长的比。首先结合CD=3BD和△ABC的总面积，先求出△ABD和△ACD的面积；再结合DE=2AE推导相关三角形的面积关系，最后用x、y表示对应部分的面积，即可列出方程。
【解析】
1. 求△ABD、△ACD的面积：
△ABD和△ACD同高，底的比为$BD:CD=1:3$，因此面积比$S_{△ABD}:S_{△ACD}=1:3$。
已知$S_{△ABC}=40\ \mathrm{cm}^2$，则：
$S_{△ABD}=\frac{1}{1+3}×40=10\ \mathrm{cm}^2$，
$S_{△ACD}=\frac{3}{1+3}×40=30\ \mathrm{cm}^2$。
2. 根据$DE=2AE$推导面积关系：
△FAE和△FDE同高，底的比$AE:DE=1:2$，因此$S_{△FDE}=2S_{△FAE}=2x$；
△CAE和△CDE同高，底的比$AE:DE=1:2$，因此$S_{△CDE}=\frac{2}{1+2}×S_{△ACD}=\frac{2}{3}×30=20\ \mathrm{cm}^2$。
3. 列第一个方程：
△BDF和△CDF同高，底的比$BD:CD=1:3$，因此$S_{△CDF}=3S_{△BDF}=3y$；
而$S_{△CDF}=S_{△FDE}+S_{△CDE}=2x+20$，因此得方程：$3y=2x+20$。
4. 列第二个方程：
$S_{△ABD}=S_{△FBD}+S_{△FAD}$，其中$S_{△FAD}=S_{△FAE}+S_{△FDE}=x+2x=3x$，结合$S_{△ABD}=10\ \mathrm{cm}^2$，得方程：$3x+y=10$。
【答案】
$\begin{cases} 3y=2x+20 \\ 3x+y=10 \end{cases}$
【知识点】
同高三角形面积关系、列二元一次方程组
【点评】
本题关键是掌握“同高三角形面积比等于对应底的比”这一性质，结合已知线段比例拆分图形面积，找到两个独立等量关系即可列出方程组，需要注意正确表示图形中各部分的面积关系。
【难度系数】
0.6
14. 甲、乙两人共同解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+5y=15,①\\4x-by=-2,②\end{cases}$解完以后有下面一段对话(如图)，请认真阅读对话内容，然后求出$a^{2027}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2026}$的值。
答案
【解】把$\begin{cases} x=-3, \\ y=-1 \end{cases}$代入②,得$-12+b=-2$,解得$b=10$.
把$\begin{cases} x=5, \\ y=4 \end{cases}$代入①,得$5a+20=15$,解得$a=-1$.
所以$a^{2027}+(-\frac{1}{10}b)^{2026}=(-1)^{2027}+(-1)^{2026}=0$.
把$\begin{cases} x=5, \\ y=4 \end{cases}$代入①,得$5a+20=15$,解得$a=-1$.
所以$a^{2027}+(-\frac{1}{10}b)^{2026}=(-1)^{2027}+(-1)^{2026}=0$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先明确，甲仅看错方程①中的a，因此他的解满足未看错的方程②；乙仅看错方程②中的b，因此他的解满足未看错的方程①。其次分别将对应解代入符合的方程，求出a、b的值。最后把a、b代入所求代数式，根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵甲看错了方程①中的a，
∴$\begin{cases} x=-3, \\ y=-1 \end{cases}$是方程②的解，将其代入②得：
$4×(-3) - b×(-1) = -2$，
计算得$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的b，
∴$\begin{cases} x=5, \\ y=4 \end{cases}$是方程①的解，将其代入①得：
$5a + 5×4 = 15$，
计算得$5a + 20 = 15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$、$b=10$代入$a^{2027}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2026}$：
原式$=(-1)^{2027} + (-\dfrac{1}{10}×10)^{2026} = -1 + (-1)^{2026} = -1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值，有理数乘方运算
【点评】
本题的解题关键是理解“看错单个方程时，解仍然满足另一个未看错的方程”，考查对二元一次方程组解的概念的应用，计算时要注意负数乘方的符号规律，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先明确，甲仅看错方程①中的a，因此他的解满足未看错的方程②；乙仅看错方程②中的b，因此他的解满足未看错的方程①。其次分别将对应解代入符合的方程，求出a、b的值。最后把a、b代入所求代数式，根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵甲看错了方程①中的a，
∴$\begin{cases} x=-3, \\ y=-1 \end{cases}$是方程②的解，将其代入②得：
$4×(-3) - b×(-1) = -2$，
计算得$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的b，
∴$\begin{cases} x=5, \\ y=4 \end{cases}$是方程①的解，将其代入①得：
$5a + 5×4 = 15$，
计算得$5a + 20 = 15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$、$b=10$代入$a^{2027}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2026}$：
原式$=(-1)^{2027} + (-\dfrac{1}{10}×10)^{2026} = -1 + (-1)^{2026} = -1 + 1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值，有理数乘方运算
【点评】
本题的解题关键是理解“看错单个方程时，解仍然满足另一个未看错的方程”，考查对二元一次方程组解的概念的应用，计算时要注意负数乘方的符号规律，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
15. ★★★ 新题型新定义题 定义:把$ax+y=b$(其中$a,b$是常数,$x,y$是未知数)这样的方程称为“优美二元一次方程”.当$y=2x$时,“优美二元一次方程”$ax+y=b$中$x$的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”.例如:当$y=2x$时,“优美二元一次方程”$3x-y=4$化为$3x-2x=4$,解得$x=4$,故其“优美值”为4.
(1)求“优美二元一次方程”$5x-y=1$的“优美值”;
(2)若“优美二元一次方程”$\frac{1}{3}x+y=m$的“优美值”是$-3$,求$m$的值;
(3)是否存在$n$,使得“优美二元一次方程”$\frac{5}{2}x+y=n$与“优美二元一次方程”$4x-y=n-2$的“优美值”相同?若存在,请求出$n$的值及此时的“优美值”;若不存在,请说明理由.
第15题微课
(1)求“优美二元一次方程”$5x-y=1$的“优美值”;
(2)若“优美二元一次方程”$\frac{1}{3}x+y=m$的“优美值”是$-3$,求$m$的值;
(3)是否存在$n$,使得“优美二元一次方程”$\frac{5}{2}x+y=n$与“优美二元一次方程”$4x-y=n-2$的“优美值”相同?若存在,请求出$n$的值及此时的“优美值”;若不存在,请说明理由.
第15题微课
答案
【解】(1)令$y=2x$,则“优美二元一次方程”$5x-y=1$可化为$5x-2x=1$,解得$x=\frac{1}{3}$,则其“优美值”为$\frac{1}{3}$.
(2)令$y=2x$,则“优美二元一次方程”$\frac{1}{3}x+y=m$可化为$\frac{1}{3}x+2x=m$,把$x=-3$代入,得$m=-7$.
(3)存在.令$y=2x$,则“优美二元一次方程”$\frac{5}{2}x+y=n$可化为$\frac{5}{2}x+2x=n$,则$x=\frac{2n}{9}$,所以其“优美值”为$\frac{2n}{9}$.
令$y=2x$,则“优美二元一次方程”$4x-y=n-2$可化为$4x-2x=n-2$,则$x=\frac{n}{2}-1$,所以其“优美值”为$\frac{n}{2}-1$.假设“优美值”相同,则有$\frac{2n}{9}=\frac{n}{2}-1$,解得$n=\frac{18}{5}$,所以$x=\frac{4}{5}$,即“优美值”为$\frac{4}{5}$.
(2)令$y=2x$,则“优美二元一次方程”$\frac{1}{3}x+y=m$可化为$\frac{1}{3}x+2x=m$,把$x=-3$代入,得$m=-7$.
(3)存在.令$y=2x$,则“优美二元一次方程”$\frac{5}{2}x+y=n$可化为$\frac{5}{2}x+2x=n$,则$x=\frac{2n}{9}$,所以其“优美值”为$\frac{2n}{9}$.
令$y=2x$,则“优美二元一次方程”$4x-y=n-2$可化为$4x-2x=n-2$,则$x=\frac{n}{2}-1$,所以其“优美值”为$\frac{n}{2}-1$.假设“优美值”相同,则有$\frac{2n}{9}=\frac{n}{2}-1$,解得$n=\frac{18}{5}$,所以$x=\frac{4}{5}$,即“优美值”为$\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“优美值”的定义：即对于“优美二元一次方程”$ax+y=b$，将$y=2x$代入方程后得到的一元一次方程的解就是该方程的“优美值”。解题思路如下：(1)直接将$y=2x$代入给定方程，转化为关于$x$的一元一次方程，求解即可得到“优美值”；(2)先将$y=2x$代入方程得到含$m$和$x$的等式，再把已知的“优美值”$x=-3$代入，即可求出$m$的值；(3)先分别将$y=2x$代入两个“优美二元一次方程”，用含$n$的代数式分别表示出两个方程的“优美值”，再令两个“优美值”相等，建立关于$n$的一元一次方程，求解$n$后再回代求出“优美值”即可判断是否存在。
【解析】
(1) 根据“优美值”的定义，令$y=2x$，代入方程$5x-y=1$得：
$5x-2x=1$
合并同类项得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$。
(2) 令$y=2x$，代入方程$\frac{1}{3}x+y=m$得：
$\frac{1}{3}x+2x=m$，即$\frac{7}{3}x=m$
已知该方程的“优美值”为$-3$，即$x=-3$，代入上式得：
$m=\frac{7}{3}×(-3)=-7$。
(3) 存在，理由如下：
对于方程$\frac{5}{2}x+y=n$，令$y=2x$，代入得：
$\frac{5}{2}x+2x=n$，合并同类项得$\frac{9}{2}x=n$，解得$x=\frac{2n}{9}$，即该方程的“优美值”为$\frac{2n}{9}$；
对于方程$4x-y=n-2$，令$y=2x$，代入得：
$4x-2x=n-2$，合并同类项得$2x=n-2$，解得$x=\frac{n}{2}-1$，即该方程的“优美值”为$\frac{n}{2}-1$；
若两个方程的“优美值”相同，则有：
$\frac{2n}{9}=\frac{n}{2}-1$
去分母得$4n=9n-18$，移项合并得$5n=18$，解得$n=\frac{18}{5}$
将$n=\frac{18}{5}$代入$x=\frac{2n}{9}$，得$x=\frac{2×\frac{18}{5}}{9}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；
(2) $m=-7$；
(3) 存在，$n=\frac{18}{5}$，此时“优美值”为$\frac{4}{5}$。
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的解法，二元一次方程变形
【点评】
本题以新定义为载体，核心是将陌生的新定义问题转化为熟悉的一元一次方程求解问题，重点考查阅读理解能力、转化思想和基础运算能力，解题的关键是抓住定义本质，不要被新名称干扰。
【难度系数】
0.65
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“优美值”的定义：即对于“优美二元一次方程”$ax+y=b$，将$y=2x$代入方程后得到的一元一次方程的解就是该方程的“优美值”。解题思路如下：(1)直接将$y=2x$代入给定方程，转化为关于$x$的一元一次方程，求解即可得到“优美值”；(2)先将$y=2x$代入方程得到含$m$和$x$的等式，再把已知的“优美值”$x=-3$代入，即可求出$m$的值；(3)先分别将$y=2x$代入两个“优美二元一次方程”，用含$n$的代数式分别表示出两个方程的“优美值”，再令两个“优美值”相等，建立关于$n$的一元一次方程，求解$n$后再回代求出“优美值”即可判断是否存在。
【解析】
(1) 根据“优美值”的定义，令$y=2x$，代入方程$5x-y=1$得：
$5x-2x=1$
合并同类项得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$。
(2) 令$y=2x$，代入方程$\frac{1}{3}x+y=m$得：
$\frac{1}{3}x+2x=m$，即$\frac{7}{3}x=m$
已知该方程的“优美值”为$-3$，即$x=-3$，代入上式得：
$m=\frac{7}{3}×(-3)=-7$。
(3) 存在，理由如下：
对于方程$\frac{5}{2}x+y=n$，令$y=2x$，代入得：
$\frac{5}{2}x+2x=n$，合并同类项得$\frac{9}{2}x=n$，解得$x=\frac{2n}{9}$，即该方程的“优美值”为$\frac{2n}{9}$；
对于方程$4x-y=n-2$，令$y=2x$，代入得：
$4x-2x=n-2$，合并同类项得$2x=n-2$，解得$x=\frac{n}{2}-1$，即该方程的“优美值”为$\frac{n}{2}-1$；
若两个方程的“优美值”相同，则有：
$\frac{2n}{9}=\frac{n}{2}-1$
去分母得$4n=9n-18$，移项合并得$5n=18$，解得$n=\frac{18}{5}$
将$n=\frac{18}{5}$代入$x=\frac{2n}{9}$，得$x=\frac{2×\frac{18}{5}}{9}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；
(2) $m=-7$；
(3) 存在，$n=\frac{18}{5}$，此时“优美值”为$\frac{4}{5}$。
【知识点】
新定义问题，一元一次方程的解法，二元一次方程变形
【点评】
本题以新定义为载体，核心是将陌生的新定义问题转化为熟悉的一元一次方程求解问题，重点考查阅读理解能力、转化思想和基础运算能力，解题的关键是抓住定义本质，不要被新名称干扰。
【难度系数】
0.65
