1. 切线的判定方法(3种)：
（1）图形特征：；
（2）数量特征：；
（3）理论依据：。

（1）只有一个公共点 （2）$d=r$ （3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】
本题考查圆的切线的三种判定方法，我们可以从三个不同维度逐一对应思考：①首先从直观图形特征入手，考虑直线和圆的公共点个数；②其次从数量关系的角度，回忆圆心到直线的距离与半径的大小关系对应的直线和圆的位置关系；③最后从判定定理的角度对应理论依据类的要求，就能依次填出三个空。
【解析】
（1）从图形特征来看，若直线与圆只有一个公共点，那么这条直线就是圆的切线，所以此处填只有一个公共点；
（2）从数量特征来看，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d=r时，直线与圆相切，所以此处填$d=r$；
（3）切线判定的定理就是对应理论依据，内容为经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，直接填写该定理内容即可。
【答案】
（1）只有一个公共点 （2）$d=r$ （3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【知识点】
切线的判定方法；直线与圆的位置关系；切线判定定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要针对切线判定的不同分类方法设题，只要准确记忆相关定义、数量关系和判定定理就能快速作答，是巩固基础概念的典型习题。
【难度系数】
0.9

2. 运用“切线的判定定理”解决问题的常用方法：
（1）已知直线与圆有公共点，辅助线的作法是，即，再证明；
（2）直线与圆没有明确有公共点，辅助线的作法是，再证明。

（1）连接圆心与公共点 作半径 垂直 （2）过圆心作直线的垂线 垂线段为半径

【分析】
首先回忆切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，定理包含两个核心条件：①直线经过半径外端（即直线与圆有公共点，该点是半径的端点）；②直线与这条半径垂直。解题时根据已知条件分两种情况处理：
1. 若已知直线与圆有公共点，说明已经满足“经过半径外端”的条件，只需先构造出这条半径，再证明半径与直线垂直即可；
2. 若没有明确直线与圆有公共点，需要先构造出与直线垂直的线段，再证明这条线段是半径，即可符合判定定理的要求。
【解析】
根据切线的判定定理，分两类情况推导辅助线作法和证明方向：
（1）已知直线与圆有公共点时，该公共点在圆上，因此辅助线作法为连接圆心与公共点，也就是作出过该公共点的半径，接下来只需证明这条半径与已知直线垂直，即可判定直线是圆的切线；
（2）直线与圆没有明确有公共点时，无法直接确定公共点的位置构造半径，因此先过圆心作直线的垂线得到垂线段，接下来只需证明这条垂线段的长度等于圆的半径，即可判定直线是圆的切线。
【答案】
（1）连接圆心与公共点 作半径 垂直 （2）过圆心作直线的垂线 垂线段为半径
【知识点】
1. 切线的判定定理
2. 圆的辅助线作法
【点评】
本题考查切线判定的两类基础题型的解题思路，是切线证明类问题的核心基础，需要准确区分两种已知条件的差异，牢记对应辅助线作法和证明方向，为后续复杂的切线证明题目打好基础。
【难度系数】
0.8

1. 下列命题中的真命题有（填序号）.
① 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
② $\odot O$的直径为$a$，点$O$到直线的距离为$d$，若$d=a$，则$l$是$\odot O$的切线；
③ 点$A$在直线$l$上，$\odot O$的半径为$r$，若$OA=r$，则直线$l$是$\odot O$的切线；
④ 以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切；
⑤ 以直角三角形的一条直角边为直径的圆一定与另一条直角边相切.

①④⑤

【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时需先回忆切线的3种判定依据：1. 定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；2. 数量关系：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线；3. 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。接下来逐个对照判定依据分析5个命题是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析每个命题：
1. 命题①：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线，这是切线的定义，符合判定依据，是真命题；
2. 命题②：$\odot O$的直径为$a$，则半径为$\frac{a}{2}$，已知圆心$O$到直线$l$的距离$d=a$，$d＞\frac{a}{2}$，说明直线$l$与$\odot O$相离，不是切线，是假命题；
3. 命题③：仅知道$OA=r$说明点$A$在$\odot O$上，但没有给出$OA$与直线$l$垂直的条件，此时圆心$O$到$l$的距离可能小于$r$，直线$l$与$\odot O$可能相交，不是切线，是假命题；
4. 命题④：等腰三角形底边上的高是顶点到底边的垂线段，长度等于圆的半径，即圆心到底边的距离等于半径，符合切线的数量判定依据，所以底边与圆相切，是真命题；
5. 命题⑤：以直角三角形的一条直角边为直径作圆，圆心为该直角边的中点，因为两条直角边互相垂直，所以圆心到另一条直角边的距离等于该直角边长度的一半，也就是等于圆的半径，符合切线的数量判定依据，所以另一条直角边与圆相切，是真命题。
综上，真命题为①④⑤。
【答案】
①④⑤
【知识点】
1. 切线的定义
2. 切线的判定
3. 直线与圆的位置关系
【点评】
本题重点考查对切线判定条件的掌握，要注意判定切线时不能遗漏核心条件：要么满足切线的定义，要么圆心到直线的距离等于半径，要么直线同时满足“过半径外端”“与半径垂直”两个条件，避免因漏看条件判断错误。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，以$AB$为直径的$\odot O$交$AC$于点$E$，$D$为$BC$的中点. 求证：$DE$为$\odot O$的切线.

证明:连接$OD,OE. \because O$为$AB$的中点,$D$为$BC$的中点,$\therefore OD// AC,\therefore ∠ DOE=∠ AEO,∠ DOB=∠ A$. 又$OA=OE,\therefore ∠ A=∠ AEO,\therefore ∠ BOD=∠ DOE$. 又$OB=OE,OD=OD$,$\therefore △ OBD≌△ OED(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ OED=∠ OBD=90°$,即$DE$为$\odot O$的切线.

【分析】
要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明DE垂直于过切点E的半径，因此首先考虑作辅助线连接OE、OD。已知O是AB中点，D是BC中点，可得OD是$△ ABC$的中位线，利用中位线的平行性质可得到角的等量关系；结合同圆半径相等$OA=OE$，可推出$∠ BOD=∠ DOE$，再通过SAS证明$△ OBD$和$△ OED$全等，即可得到$∠ OED=∠ OBD=90°$，从而完成证明。
【解析】
证明:连接$OD,OE$.
$\because O$为$AB$的中点,$D$为$BC$的中点,
$\therefore OD// AC$,
$\therefore ∠ DOE=∠ AEO,∠ DOB=∠ A$.
又$OA=OE$,
$\therefore ∠ A=∠ AEO$,
$\therefore ∠ BOD=∠ DOE$.
又$OB=OE,OD=OD$,
$\therefore △ OBD≌△ OED(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ OED=∠ OBD=90°$,即$DE$为$\odot O$的切线.
【答案】
证明:连接$OD,OE$.
$\because O$为$AB$的中点,$D$为$BC$的中点,
$\therefore OD// AC$,
$\therefore ∠ DOE=∠ AEO,∠ DOB=∠ A$.
又$OA=OE$,
$\therefore ∠ A=∠ AEO$,
$\therefore ∠ BOD=∠ DOE$.
又$OB=OE,OD=OD$,
$\therefore △ OBD≌△ OED(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ OED=∠ OBD=90°$,即$DE$为$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的切线证明的典型基础题，核心考查“连半径、证垂直”的切线证明思路，需要熟练掌握三角形中位线性质、全等三角形判定等基础知识点，能够快速根据题型特征选择合适的辅助线。
【难度系数】
0.7