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3. 已知$△ ABC$内接于$\odot O$，且$∠ CAD=∠ B$.
（1）如图①，若$AB$为$\odot O$的直径，试说明$AD$与$\odot O$相切；
（2）如图②，若$AB$为$\odot O$的非直径的弦，$AD$与$\odot O$还相切吗？请说明理由.
（1）如图①，若$AB$为$\odot O$的直径，试说明$AD$与$\odot O$相切；
（2）如图②，若$AB$为$\odot O$的非直径的弦，$AD$与$\odot O$还相切吗？请说明理由.
答案
（1）$\because ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=∠ BAC+∠ B$,$\because AB$为直径,$\therefore ∠ C=90°$,$\therefore ∠ B+∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ BAD=90°$,故$AD$与$\odot O$相切.
（2）相切 提示:过$A$作直径$AE$,根据(1)的方法可证明.
（2）相切 提示:过$A$作直径$AE$,根据(1)的方法可证明.
解析
【分析】
（1）要证明AD与$\odot O$相切，依据切线的判定定理，只需证明AD垂直于过点A的半径AB即可。已知$∠ CAD=∠ B$，结合直径所对的圆周角为直角，可得$△ ABC$中$∠ BAC+∠ B=90°$，通过角度代换即可推出$∠ BAD=90°$，完成证明。
（2）AD仍与$\odot O$相切，可通过构造辅助线转化为（1）的模型求解：过A作$\odot O$的直径AE，连接CE，利用同弧所对圆周角相等得到$∠ B=∠ E$，再结合直径所对圆周角为直角，通过角度代换证明$AE⊥ AD$，即可判定AD是$\odot O$的切线。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠ CAD=∠ B$，
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=∠ BAC+∠ B$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BAD=90°$，即$AB⊥ AD$，
又$\because$点A在$\odot O$上，
$\therefore AD$与$\odot O$相切。
（2）AD与$\odot O$还相切，理由如下：
过点A作$\odot O$的直径AE，连接CE，
$\because AE$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACE=90°$，
$\therefore ∠ E+∠ EAC=90°$，
$\because$同弧AC所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ E=∠ B$，
又$\because ∠ CAD=∠ B$，
$\therefore ∠ E=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CAD+∠ EAC=∠ E+∠ EAC=90°$，即$∠ EAD=90°$，
$\therefore AE⊥ AD$，
又$\because$点A在$\odot O$上，
$\therefore AD$与$\odot O$相切。
【答案】
（1）AD与$\odot O$相切，证明见上述解析；
（2）AD与$\odot O$还相切，理由见上述解析。
【知识点】
1. 切线的判定定理
2. 圆周角定理
3. 直径所对圆周角的性质
【点评】
本题主要考查切线的判定方法，核心解题思路是证明直线与过交点的半径垂直；第二问通过构造直径将未知问题转化为已解决的模型，是圆中证明切线的常用技巧，需熟练掌握这种转化思想。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AD与$\odot O$相切，依据切线的判定定理，只需证明AD垂直于过点A的半径AB即可。已知$∠ CAD=∠ B$，结合直径所对的圆周角为直角，可得$△ ABC$中$∠ BAC+∠ B=90°$，通过角度代换即可推出$∠ BAD=90°$，完成证明。
（2）AD仍与$\odot O$相切，可通过构造辅助线转化为（1）的模型求解：过A作$\odot O$的直径AE，连接CE，利用同弧所对圆周角相等得到$∠ B=∠ E$，再结合直径所对圆周角为直角，通过角度代换证明$AE⊥ AD$，即可判定AD是$\odot O$的切线。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠ CAD=∠ B$，
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=∠ BAC+∠ B$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ BAD=90°$，即$AB⊥ AD$，
又$\because$点A在$\odot O$上，
$\therefore AD$与$\odot O$相切。
（2）AD与$\odot O$还相切，理由如下：
过点A作$\odot O$的直径AE，连接CE，
$\because AE$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACE=90°$，
$\therefore ∠ E+∠ EAC=90°$，
$\because$同弧AC所对的圆周角相等，
$\therefore ∠ E=∠ B$，
又$\because ∠ CAD=∠ B$，
$\therefore ∠ E=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CAD+∠ EAC=∠ E+∠ EAC=90°$，即$∠ EAD=90°$，
$\therefore AE⊥ AD$，
又$\because$点A在$\odot O$上，
$\therefore AD$与$\odot O$相切。
【答案】
（1）AD与$\odot O$相切，证明见上述解析；
（2）AD与$\odot O$还相切，理由见上述解析。
【知识点】
1. 切线的判定定理
2. 圆周角定理
3. 直径所对圆周角的性质
【点评】
本题主要考查切线的判定方法，核心解题思路是证明直线与过交点的半径垂直；第二问通过构造直径将未知问题转化为已解决的模型，是圆中证明切线的常用技巧，需熟练掌握这种转化思想。
【难度系数】
0.7
1. $\odot O$的半径为4，弦AB长为$4\sqrt{3}$，AB与以点O为圆心、2为半径的圆的位置关系是（
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
B
）A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
要判断弦AB与以O为圆心半径为2的圆的位置关系，核心是比较圆心O到AB的距离和小圆半径的大小。解题思路如下：①先明确直线与圆位置关系的判定规则：若圆心到直线距离d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交；②过O作AB的垂线段，该线段长度就是O到AB的距离；③利用垂径定理求出AB一半的长度，再结合勾股定理计算出垂线段的长度；④将计算结果与小圆半径2比较，即可得出位置关系。
【解析】
解：过点O作$OC ⊥ AB$于点C，
根据垂径定理可得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，
在$Rt△ OAC$中，$OA=4$（$\odot O$的半径），由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$，
∵ 以O为圆心的小圆半径为2，即圆心O到AB的距离$d=2=r$，
∴ AB与该小圆的位置关系是相切。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础题型，解题关键是掌握“通过比较圆心到直线的距离与半径大小判断位置关系”的方法，结合圆的基本性质和勾股定理即可快速求解，需熟练掌握该类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
要判断弦AB与以O为圆心半径为2的圆的位置关系，核心是比较圆心O到AB的距离和小圆半径的大小。解题思路如下：①先明确直线与圆位置关系的判定规则：若圆心到直线距离d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交；②过O作AB的垂线段，该线段长度就是O到AB的距离；③利用垂径定理求出AB一半的长度，再结合勾股定理计算出垂线段的长度；④将计算结果与小圆半径2比较，即可得出位置关系。
【解析】
解：过点O作$OC ⊥ AB$于点C，
根据垂径定理可得：$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，
在$Rt△ OAC$中，$OA=4$（$\odot O$的半径），由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$，
∵ 以O为圆心的小圆半径为2，即圆心O到AB的距离$d=2=r$，
∴ AB与该小圆的位置关系是相切。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础题型，解题关键是掌握“通过比较圆心到直线的距离与半径大小判断位置关系”的方法，结合圆的基本性质和勾股定理即可快速求解，需熟练掌握该类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，则直线$AC$与$△ BDC$的外接圆的位置关系是（
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
B
）A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
答案
B
解析
【分析】
要判断直线AC与△BDC外接圆的位置关系，可依据切线的判定定理分析：首先，△BDC是直角三角形（CD⊥AB，∠CDB=90°），直角三角形的外接圆直径为斜边，因此△BDC的外接圆直径是BC，圆心为BC的中点，半径为BC长度的一半。接下来只需证明AC垂直于该圆过交点C的半径即可：已知∠ACB=90°，即AC垂直于BC，而BC上从圆心到C的线段就是半径，因此AC垂直于半径且过半径外端，即可判定位置关系为相切。
【解析】
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ △BDC为直角三角形，直角三角形的外接圆以斜边为直径，
因此△BDC的外接圆直径为BC，设BC中点为O，则O为该外接圆的圆心，OC为外接圆的半径。
又
∵ ∠ACB=90°，
∴ AC⊥BC，即AC⊥OC，
∵ OC是△BDC外接圆的半径，且点C在圆上，
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
可知直线AC与△BDC的外接圆相切。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；直角三角形外接圆性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题核心考查切线的判定方法，解题的关键是先明确直角三角形外接圆的直径与圆心，再结合已知的垂直关系完成切线判定，是直线与圆位置关系部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要判断直线AC与△BDC外接圆的位置关系，可依据切线的判定定理分析：首先，△BDC是直角三角形（CD⊥AB，∠CDB=90°），直角三角形的外接圆直径为斜边，因此△BDC的外接圆直径是BC，圆心为BC的中点，半径为BC长度的一半。接下来只需证明AC垂直于该圆过交点C的半径即可：已知∠ACB=90°，即AC垂直于BC，而BC上从圆心到C的线段就是半径，因此AC垂直于半径且过半径外端，即可判定位置关系为相切。
【解析】
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ △BDC为直角三角形，直角三角形的外接圆以斜边为直径，
因此△BDC的外接圆直径为BC，设BC中点为O，则O为该外接圆的圆心，OC为外接圆的半径。
又
∵ ∠ACB=90°，
∴ AC⊥BC，即AC⊥OC，
∵ OC是△BDC外接圆的半径，且点C在圆上，
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
可知直线AC与△BDC的外接圆相切。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；直角三角形外接圆性质；直线与圆的位置关系
【点评】
本题核心考查切线的判定方法，解题的关键是先明确直角三角形外接圆的直径与圆心，再结合已知的垂直关系完成切线判定，是直线与圆位置关系部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，直线AB与半径为2的$\odot O$相切于点C，D是$\odot O$上一点，且$∠ EDC=30°$，弦$EF// AB$，则EF的长度为（
A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
B
）A.2
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：首先，看到切线与切点，优先考虑切线性质，连接过切点的半径OC，可得OC垂直AB；其次，结合EF平行AB的条件，可推出OC垂直EF，满足垂径定理的适用条件，可知OC平分EF；然后，已知圆周角∠EDC=30°，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可求出对应圆心角∠EOC=60°；最后连接半径OE，构造直角三角形，结合半径长度即可求出EF的长度。
【解析】
连接OE、OC，设OC与EF交于点M。
1. 由切线的性质可知：直线AB与$\odot O$相切于C，故$OC⊥ AB$。
2. 已知$EF// AB$，因此$OC⊥ EF$，根据垂径定理可得：$EM=MF=\frac{1}{2}EF$。
3.
∵圆周角$∠ EDC=30°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{EC}$，
∴同弧所对的圆心角$∠ EOC=2∠ EDC=2×30°=60°$。
4. 在$Rt△ OEM$中，$OE$为$\odot O$的半径，即$OE=2$，$∠ EOM=60°$，可得$OM=\frac{1}{2}OE=1$，由勾股定理计算得$EM=\sqrt{OE^2-OM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
5. 因此$EF=2EM=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查学生对圆的常见性质的综合运用能力，解题关键是正确作出辅助线，将已知条件转化为直角三角形内的边长计算，解题思路具有典型性，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推进：首先，看到切线与切点，优先考虑切线性质，连接过切点的半径OC，可得OC垂直AB；其次，结合EF平行AB的条件，可推出OC垂直EF，满足垂径定理的适用条件，可知OC平分EF；然后，已知圆周角∠EDC=30°，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可求出对应圆心角∠EOC=60°；最后连接半径OE，构造直角三角形，结合半径长度即可求出EF的长度。
【解析】
连接OE、OC，设OC与EF交于点M。
1. 由切线的性质可知：直线AB与$\odot O$相切于C，故$OC⊥ AB$。
2. 已知$EF// AB$，因此$OC⊥ EF$，根据垂径定理可得：$EM=MF=\frac{1}{2}EF$。
3.
∵圆周角$∠ EDC=30°$，其所对的弧为$\overset{\frown}{EC}$，
∴同弧所对的圆心角$∠ EOC=2∠ EDC=2×30°=60°$。
4. 在$Rt△ OEM$中，$OE$为$\odot O$的半径，即$OE=2$，$∠ EOM=60°$，可得$OM=\frac{1}{2}OE=1$，由勾股定理计算得$EM=\sqrt{OE^2-OM^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
5. 因此$EF=2EM=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查学生对圆的常见性质的综合运用能力，解题关键是正确作出辅助线，将已知条件转化为直角三角形内的边长计算，解题思路具有典型性，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°$.
(1) 先作$∠ ACB$的平分线交边AB于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作$\odot P$;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2) 请你判断(1)中BC与$\odot P$的位置关系,并证明你的结论.
(1) 先作$∠ ACB$的平分线交边AB于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作$\odot P$;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2) 请你判断(1)中BC与$\odot P$的位置关系,并证明你的结论.
答案
(1)
,$CP$平分$∠ ACB$,$\odot P$即为所求.(2) (1)中$BC$与$\odot P$相切.
证明:如图②,作$PD⊥ BC$于点$D$,$\because CP$平分$∠ ACB$,$PA⊥ AC$,$PD⊥ CD$,$\therefore PA=PD$. $\because PA$为$\odot P$的半径,$\therefore BC$与$\odot P$相切.
解析
【分析】
(1) 作图部分：首先回忆角平分线的尺规作图方法，先作出∠ACB的平分线，交AB边得到点P，再根据圆的作图要求，以P为圆心、PA的长度为半径画圆即可完成要求的作图，注意保留作图痕迹。
(2) 位置关系判断部分：要判断直线和圆的位置关系，根据切线的判定思路，只需证明圆心P到BC的距离等于⊙P的半径即可。结合CP是角平分线的已知条件，过P作BC的垂线段，利用角平分线的性质即可证明该垂线段长度等于PA（即⊙P的半径），进而得出位置关系。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的步骤作出∠ACB的平分线CP，与AB交于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作圆，保留作图痕迹即可；
(2) BC与⊙P相切，证明如下：
过点P作$PD⊥BC$于点D，
∵ CP平分$∠ACB$，$∠BAC=90°$即$PA⊥AC$，且$PD⊥BC$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PA=PD$，
∵ PA是$\odot P$的半径，
∴ PD也是$\odot P$的半径，且$PD⊥BC$，满足切线的判定条件，因此BC与$\odot P$相切。
【答案】
(1)，$CP$平分$∠ ACB$，$\odot P$即为所求。
(2) (1)中$BC$与$\odot P$相切。
证明:如图②,作$PD⊥ BC$于点$D$,$\because CP$平分$∠ ACB$,$PA⊥ AC$,$PD⊥ CD$,$\therefore PA=PD$. $\because PA$为$\odot P$的半径,$\therefore BC$与$\odot P$相切。
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线的性质；切线的判定
【点评】
本题结合了尺规作图和几何证明两部分内容，既考查了基本的作图操作能力，又考查了对几何性质的理解和应用能力，解题的核心是利用角平分线的性质搭建起圆心到直线距离和半径的等量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 作图部分：首先回忆角平分线的尺规作图方法，先作出∠ACB的平分线，交AB边得到点P，再根据圆的作图要求，以P为圆心、PA的长度为半径画圆即可完成要求的作图，注意保留作图痕迹。
(2) 位置关系判断部分：要判断直线和圆的位置关系，根据切线的判定思路，只需证明圆心P到BC的距离等于⊙P的半径即可。结合CP是角平分线的已知条件，过P作BC的垂线段，利用角平分线的性质即可证明该垂线段长度等于PA（即⊙P的半径），进而得出位置关系。
【解析】
(1) 按照尺规作角平分线的步骤作出∠ACB的平分线CP，与AB交于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作圆，保留作图痕迹即可；
(2) BC与⊙P相切，证明如下：
过点P作$PD⊥BC$于点D，
∵ CP平分$∠ACB$，$∠BAC=90°$即$PA⊥AC$，且$PD⊥BC$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PA=PD$，
∵ PA是$\odot P$的半径，
∴ PD也是$\odot P$的半径，且$PD⊥BC$，满足切线的判定条件，因此BC与$\odot P$相切。
【答案】
(1)
，$CP$平分$∠ ACB$，$\odot P$即为所求。(2) (1)中$BC$与$\odot P$相切。
证明:如图②,作$PD⊥ BC$于点$D$,$\because CP$平分$∠ ACB$,$PA⊥ AC$,$PD⊥ CD$,$\therefore PA=PD$. $\because PA$为$\odot P$的半径,$\therefore BC$与$\odot P$相切。
【知识点】
角平分线尺规作图；角平分线的性质；切线的判定
【点评】
本题结合了尺规作图和几何证明两部分内容，既考查了基本的作图操作能力，又考查了对几何性质的理解和应用能力，解题的核心是利用角平分线的性质搭建起圆心到直线距离和半径的等量关系。
【难度系数】
0.7
