5. 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为D，且AC平分$∠ BAD$.
（1）求证：直线MN是$\odot O$的切线；
（2）若$AD=4$，$AC=5$，求$\odot O$的直径.

（1）证明:连接$OC$. $\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$. $\because AC$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ OAC=∠ CAD$,$\therefore ∠ CAD=∠ OCA$,$\therefore OC// AD$. $\because AD⊥ MN$,$\therefore OC⊥ MN$,$\therefore$直线$MN$是$\odot O$的切线.
（2）过点$O$作$OE⊥ AD$于点$E$,则四边形$OCDE$是矩形. $\therefore DE=CO$. $\because OA=OC$,$\therefore AE=4-CO=4-AO$. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\because AD=4$,$AC=5$,$\therefore DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$\therefore EO=3$. 在$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$AO^2=AE^2+OE^2$,$\therefore AO=\frac{25}{8}$.$\therefore AB=\frac{25}{4}$,即$\odot O$的直径为$\frac{25}{4}$.

【分析】
（1）要证明直线MN是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明MN垂直于过切点C的半径即可，因此先连接OC。已知OA=OC可得$∠ OAC=∠ OCA$，结合AC平分$∠ BAD$可推出$∠ OCA=∠ CAD$，进而得到$OC// AD$，再由$AD⊥ MN$即可推出$OC⊥ MN$，完成切线证明。
（2）要求$\odot O$的直径，先在$\mathrm{Rt}△ ADC$中用勾股定理求出DC的长度；再作$OE⊥ AD$于E，可证四边形OCDE是矩形，得到$OE=DC$，$AE=AD-OC=AD-AO$，最后在$\mathrm{Rt}△ AEO$中利用勾股定理列方程求出AO的长度，乘2即为直径长度。
【解析】
（1）证明：连接$OC$.
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$.
$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ OAC=∠ CAD$，
$\therefore ∠ CAD=∠ OCA$，$\therefore OC// AD$.
$\because AD⊥ MN$，$\therefore OC⊥ MN$，
$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore$直线$MN$是$\odot O$的切线.
（2）解：过点$O$作$OE⊥ AD$于点$E$，则$∠ OED=90°$.
$\because OC⊥ MN$，$AD⊥ MN$，$\therefore ∠ OCD=∠ ADC=90°$，
$\therefore$四边形$OCDE$是矩形，$\therefore DE=CO$，$EO=DC$.
$\because OA=OC$，$\therefore AE=AD-DE=4-CO=4-AO$.
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=4$，$AC=5$，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，$\therefore EO=3$.
在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，由勾股定理得$AO^2=AE^2+OE^2$，
代入得$AO^2=(4-AO)^2+3^2$，
展开得$AO^2=16-8AO+AO^2+9$，
化简得$8AO=25$，解得$AO=\frac{25}{8}$.
$\therefore AB=2AO=\frac{25}{4}$，即$\odot O$的直径为$\frac{25}{4}$.
【答案】
（1）直线MN是$\odot O$的切线，证明成立；
（2）$\odot O$的直径为$\boxed{\dfrac{25}{4}}$
【知识点】
切线的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问考查切线的常用判定方法“连半径，证垂直”，第二问通过作辅助线构造矩形和直角三角形，结合勾股定理列方程求解线段长度，解题的关键是掌握切线判定定理和常用辅助线的添加方法。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1) 求证:AC是$\odot O$的切线;
(2) 若$OB=10$,$CD=8$,求BE的长.

（1）证明:如图,连接$OD$,$\because BD$为$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ 1=∠ 2$. 又$OB$,$OD$均为$\odot O$的半径,$\therefore OB=OD$,$\therefore ∠ 1=∠ 3$,$\therefore ∠ 2=∠ 3$,$\therefore OD// BC$,$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$,$\therefore OD⊥ AC$,$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
（2）,过圆心$O$作$OF⊥ BE$于点$F$,在$\mathrm{Rt}△ BOF$中,$OB=10$,$OF=CD=8$,根据勾股定理,得$OB^2=BF^2+OF^2$,即$10^2=BF^2+8^2$,解得$BF=6$. 由垂径定理可知,$F$为$BE$的中点,$\therefore BE=2BF=12$.

【分析】
(1) 要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，已知$\odot O$经过点D，因此只需证明半径OD与AC垂直即可。首先连接OD，结合BD是角平分线可得$∠ 1=∠ 2$，再由$OB=OD$推出$∠ 1=∠ 3$，等量代换得$∠ 2=∠ 3$，进而推出$OD// BC$，结合$∠ C=90°$即可得到$OD⊥ AC$，完成切线的证明。
(2) 要求BE的长度，BE是$\odot O$的弦，可通过垂径定理求解：过O作$OF⊥ BE$于F，由垂径定理可知F是BE的中点，只需求出BF的长度即可。结合$OD// BC$、$∠ C=90°$、$OF⊥ BE$，可得四边形OFCD是矩形，因此$OF=CD=8$，在$Rt△ BOF$中利用勾股定理求出BF的长，再乘2即可得到BE的长。
【解析】
(1) 证明：连接OD，
∵BD是$∠ ABC$的角平分线，
∴$∠ 1=∠ 2$，
∵OB、OD都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OD$，
∴$∠ 1=∠ 3$，
∴$∠ 2=∠ 3$，
∴$OD// BC$，
∴$∠ ODA=∠ C=90°$，即$OD⊥ AC$，
又
∵OD是$\odot O$的半径，
∴AC是$\odot O$的切线。
(2) 过点O作$OF⊥ BE$于点F，
∵$OD// BC$，$∠ C=90°$，$OF⊥ BC$，
∴四边形OFCD为矩形，
∴$OF=CD=8$，
在$Rt△ BOF$中，$OB=10$，$OF=8$，由勾股定理得：
$OB^2=BF^2+OF^2$，代入数据得$10^2=BF^2+8^2$，
解得$BF=6$，
由垂径定理得，F是BE的中点，
∴$BE=2BF=2×6=12$。
【答案】
（1）证明:如图,连接$OD$,$\because BD$为$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ 1=∠ 2$. 又$OB$,$OD$均为$\odot O$的半径,$\therefore OB=OD$,$\therefore ∠ 1=∠ 3$,$\therefore ∠ 2=∠ 3$,$\therefore OD// BC$,$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$,$\therefore OD⊥ AC$,$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
（2）,过圆心$O$作$OF⊥ BE$于点$F$,在$\mathrm{Rt}△ BOF$中,$OB=10$,$OF=CD=8$,根据勾股定理,得$OB^2=BF^2+OF^2$,即$10^2=BF^2+8^2$,解得$BF=6$. 由垂径定理可知,$F$为$BE$的中点,$\therefore BE=2BF=12$.
【知识点】
切线的判定；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握两类常用辅助线的添加方法：证明切线时，若已知点在圆上，优先连接半径证垂直；求圆内弦长时，优先过圆心作弦的垂线，结合垂径定理和勾股定理求解。
【难度系数】
0.7