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1. 如图，O为$\mathrm{Rt}△ ABC$直角边AC上一点，斜边AB与以OC为半径的$\odot O$相切于点D，交OA于点E，已知$BC=\sqrt{3}$，$AC=3$，则图中阴影部分的面积是
（第1题）
$\frac{π}{6}$
.(结果保留π)（第1题）答案
1. $\frac{π}{6}$
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，优先连接圆心与切点得到垂直关系。本题先在Rt△ABC中利用已知边长求出∠A的度数，结合切线性质得OD⊥AB，设⊙O半径为r，根据含30°角的直角三角形的边的关系列方程求出r，再求出扇形的圆心角∠DOE的度数，最后代入扇形面积公式即可求出阴影部分面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{3}$，$AC=3$，
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得$∠ A=30°$。
$\because AB$是$\odot O$的切线，切点为$D$，$\therefore OD⊥ AB$，即$∠ ODA=90°$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OC=r$，$OA=AC-OC=3-r$。
在$\mathrm{Rt}△ODA$中，$∠ A=30°$，$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$，即$r=\frac{1}{2}(3-r)$，解得$r=1$。
在$\mathrm{Rt}△ODA$中，$∠ DOE=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
阴影部分为圆心角$60°$、半径为1的扇形，其面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60°×π×1^2}{360°}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质，解直角三角形，扇形面积计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和扇形面积公式，通过边角关系求出半径和圆心角即可求解。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，优先连接圆心与切点得到垂直关系。本题先在Rt△ABC中利用已知边长求出∠A的度数，结合切线性质得OD⊥AB，设⊙O半径为r，根据含30°角的直角三角形的边的关系列方程求出r，再求出扇形的圆心角∠DOE的度数，最后代入扇形面积公式即可求出阴影部分面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=\sqrt{3}$，$AC=3$，
$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得$∠ A=30°$。
$\because AB$是$\odot O$的切线，切点为$D$，$\therefore OD⊥ AB$，即$∠ ODA=90°$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=OC=r$，$OA=AC-OC=3-r$。
在$\mathrm{Rt}△ODA$中，$∠ A=30°$，$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$，即$r=\frac{1}{2}(3-r)$，解得$r=1$。
在$\mathrm{Rt}△ODA$中，$∠ DOE=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
阴影部分为圆心角$60°$、半径为1的扇形，其面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60°×π×1^2}{360°}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
切线的性质，解直角三角形，扇形面积计算
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和扇形面积公式，通过边角关系求出半径和圆心角即可求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$Rt△ AOB$中,$OA=OB=4\sqrt{2}$,$\odot O$的半径为2,P是边AB上的动点,过点P作$\odot O$的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ长的最小值为
$2\sqrt{3}$
.答案
2. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先根据切线的性质可知切线PQ垂直于半径OQ，因此△OPQ为直角三角形，OQ是固定等于⊙O半径的定值，由勾股定理可推导得PQ=√(OP²-OQ²)，所以要让PQ最短，只需让OP最短即可；根据点到直线垂线段最短的性质，当OP垂直AB时OP长度最小，接下来先求出OP的最小值，再代入勾股定理即可计算出PQ的最小值。
【解析】
解：连接OQ，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，即△PQO为直角三角形，
由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$，
∵OQ是⊙O的半径，$OQ=2$为定值，
∴当OP取最小值时，PQ最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知：当$OP⊥AB$时，OP长度最小。
在$Rt△AOB$中，$OA=OB=4\sqrt{2}$，
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+32}=\sqrt{64}=8$，
由三角形面积公式可得：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}· AB· OP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}=\frac{1}{2}×8× OP$，
计算得：$16=4OP$，解得$OP=4$，
∴此时$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题综合考查了切线性质、勾股定理及垂线段最短的应用，解题的关键是将求PQ最小值的问题转化为求OP的最小值，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.65
首先根据切线的性质可知切线PQ垂直于半径OQ，因此△OPQ为直角三角形，OQ是固定等于⊙O半径的定值，由勾股定理可推导得PQ=√(OP²-OQ²)，所以要让PQ最短，只需让OP最短即可；根据点到直线垂线段最短的性质，当OP垂直AB时OP长度最小，接下来先求出OP的最小值，再代入勾股定理即可计算出PQ的最小值。
【解析】
解：连接OQ，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，即△PQO为直角三角形，
由勾股定理得：$PQ^2 = OP^2 - OQ^2$，
∵OQ是⊙O的半径，$OQ=2$为定值，
∴当OP取最小值时，PQ最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知：当$OP⊥AB$时，OP长度最小。
在$Rt△AOB$中，$OA=OB=4\sqrt{2}$，
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{32+32}=\sqrt{64}=8$，
由三角形面积公式可得：$S_{△AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}· AB· OP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}=\frac{1}{2}×8× OP$，
计算得：$16=4OP$，解得$OP=4$，
∴此时$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题综合考查了切线性质、勾股定理及垂线段最短的应用，解题的关键是将求PQ最小值的问题转化为求OP的最小值，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.65
3. 如图,在平面直角坐标系中,已知$C(3,4)$,以点$C$为圆心的圆与$y$轴相切.点$A$,$B$在$x$轴上,且$OA=OB$.$P$为$\odot C$上的动点,$∠ APB=90°$,则线段$AB$长的最大值为________.
答案
3. 16
解析
【分析】
要解决本题，首先从已知条件∠APB=90°、OA=OB入手，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出AB=2OP，因此求AB的最大值可转化为求线段OP的最大值。其次，结合⊙C与y轴相切的条件，先确定⊙C的半径，再根据圆外一点到圆上点的最大距离等于该点到圆心的距离加半径，求出OP的最大值，最后代入即可得到AB的最大值。
【解析】
1. 推导AB与OP的关系：
∵ ∠APB=90°，OA=OB，
∴ O是Rt△APB斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得$OP=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2OP$，因此AB的最大值由OP的最大值决定。
2. 求⊙C的半径：
∵ ⊙C与y轴相切，圆心C的坐标为(3,4)，圆心到y轴的距离等于横坐标的绝对值，
∴ ⊙C的半径$r=3$。
3. 计算OC的长度：
点O为坐标原点(0,0)，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
4. 求OP的最大值：
∵ P是⊙C上的动点，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，
∴ OP的最大值为$OC + r = 5+3=8$。
5. 计算AB的最大值：
$AB_{max}=2× OP_{max}=2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的最值关系，勾股定理
【点评】
本题将直角三角形性质与圆的相关知识结合考查，解题关键是通过转化思想把求AB的最大值转化为求OP的最大值，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先从已知条件∠APB=90°、OA=OB入手，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出AB=2OP，因此求AB的最大值可转化为求线段OP的最大值。其次，结合⊙C与y轴相切的条件，先确定⊙C的半径，再根据圆外一点到圆上点的最大距离等于该点到圆心的距离加半径，求出OP的最大值，最后代入即可得到AB的最大值。
【解析】
1. 推导AB与OP的关系：
∵ ∠APB=90°，OA=OB，
∴ O是Rt△APB斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得$OP=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2OP$，因此AB的最大值由OP的最大值决定。
2. 求⊙C的半径：
∵ ⊙C与y轴相切，圆心C的坐标为(3,4)，圆心到y轴的距离等于横坐标的绝对值，
∴ ⊙C的半径$r=3$。
3. 计算OC的长度：
点O为坐标原点(0,0)，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
4. 求OP的最大值：
∵ P是⊙C上的动点，圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径，
∴ OP的最大值为$OC + r = 5+3=8$。
5. 计算AB的最大值：
$AB_{max}=2× OP_{max}=2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，点与圆的最值关系，勾股定理
【点评】
本题将直角三角形性质与圆的相关知识结合考查，解题关键是通过转化思想把求AB的最大值转化为求OP的最大值，能有效考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=10$，$AC=8$，$BC=6$，以边$AB$的中点$O$为圆心，作半圆，$AC$与半圆相切，$P$，$Q$分别是边$BC$和半圆上的动点，连接$PQ$，则$PQ$长的最大值与最小值的和是（
A.6
B.$2\sqrt{13}+1$
C.9
D.$\frac{32}{3}$
（第4题）
C
）A.6
B.$2\sqrt{13}+1$
C.9
D.$\frac{32}{3}$
（第4题）答案
4. C
解析
【分析】
首先根据三角形三边长利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，∠C=90°；再结合切线性质和三角形中位线定理求出半圆的半径；最后分别推导PQ的最小值和最大值：最小值根据“点到直线的距离最短”，当OP垂直BC时PQ最小，为OP减半径；最大值当P在B点且Q在PO延长线与半圆交点时PQ最大，为OB加半径，最后求和即可。
【解析】
1. 判定△ABC形状：
已知$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，则$AC^2+BC^2=8^2+6^2=100=AB^2$，由勾股定理逆定理得$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
2. 求半圆半径：
O是AB中点，故$AO=OB=\frac{1}{2}AB=5$。过O作$OE⊥ AC$于E，因AC是半圆切线，OE为半圆半径。
由$∠ C=90°$得$BC⊥ AC$，故$OE// BC$，OE是$△ ABC$的中位线，因此$OE=\frac{1}{2}BC=3$，即半圆半径$r=3$。
3. 求PQ最小值：
过O作$OF⊥ BC$于F，同理$OF// AC$，OF是$△ ABC$的中位线，得$OF=\frac{1}{2}AC=4$。
根据线段关系$PQ≥ OP-OQ$，当O、Q、P共线且$OP⊥ BC$时，OP最短为4，此时$PQ_{最小}=4-3=1$。
4. 求PQ最大值：
当P在B点，连接BO延长交半圆于Q时，PQ最大，此时$PQ_{最大}=OB+OQ=5+3=8$。
5. 求和：最大值与最小值的和为$8+1=9$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题结合直角三角形、切线、最值等考点，解题核心是明确PQ取最值时P、Q的位置，灵活运用几何性质计算对应线段长度，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形三边长利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，∠C=90°；再结合切线性质和三角形中位线定理求出半圆的半径；最后分别推导PQ的最小值和最大值：最小值根据“点到直线的距离最短”，当OP垂直BC时PQ最小，为OP减半径；最大值当P在B点且Q在PO延长线与半圆交点时PQ最大，为OB加半径，最后求和即可。
【解析】
1. 判定△ABC形状：
已知$AC=8$，$BC=6$，$AB=10$，则$AC^2+BC^2=8^2+6^2=100=AB^2$，由勾股定理逆定理得$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
2. 求半圆半径：
O是AB中点，故$AO=OB=\frac{1}{2}AB=5$。过O作$OE⊥ AC$于E，因AC是半圆切线，OE为半圆半径。
由$∠ C=90°$得$BC⊥ AC$，故$OE// BC$，OE是$△ ABC$的中位线，因此$OE=\frac{1}{2}BC=3$，即半圆半径$r=3$。
3. 求PQ最小值：
过O作$OF⊥ BC$于F，同理$OF// AC$，OF是$△ ABC$的中位线，得$OF=\frac{1}{2}AC=4$。
根据线段关系$PQ≥ OP-OQ$，当O、Q、P共线且$OP⊥ BC$时，OP最短为4，此时$PQ_{最小}=4-3=1$。
4. 求PQ最大值：
当P在B点，连接BO延长交半圆于Q时，PQ最大，此时$PQ_{最大}=OB+OQ=5+3=8$。
5. 求和：最大值与最小值的和为$8+1=9$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题结合直角三角形、切线、最值等考点，解题核心是明确PQ取最值时P、Q的位置，灵活运用几何性质计算对应线段长度，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.6
5. 如图，已知AB是$\odot O$的直径，AD切$\odot O$于点A，C是$\overset{\frown}{EB}$的中点，则下列结论不成立的是（
A.$OC// AE$
B.$EC=BC$
C.$∠ DAE=∠ ABE$
D.$AC⊥ OE$
D
）A.$OC// AE$
B.$EC=BC$
C.$∠ DAE=∠ ABE$
D.$AC⊥ OE$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时结合已知条件，先明确圆的相关性质，再逐个验证选项：首先根据切线性质可得AD⊥AB，根据直径所对圆周角为直角可得∠AEB=90°；再利用弧中点的性质，即相等的弧对应弦相等、对应圆心角相等，结合平行线判定、余角的性质等逐一排查四个选项，最终选出不成立的结论。
【解析】
解：对各选项逐一分析：
1. 验证选项A：
∵C是$\overset{\frown}{EB}$的中点，根据垂径定理的推论，可得$OC⊥ BE$。
∵AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴$∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BE$。
∵OC和AE都垂直于BE，
∴$OC// AE$，A结论成立。
2. 验证选项B：
∵C是$\overset{\frown}{EB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{EC}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴$EC=BC$，B结论成立。
3. 验证选项C：
∵AD切$\odot O$于点A，根据切线的性质可得$AD⊥ AB$，即$∠ DAE+∠ EAB=90°$。
∵AB是直径，
∴$∠ AEB=90°$，即$∠ ABE+∠ EAB=90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ DAE=∠ ABE$，C结论成立。
4. 验证选项D：
只有当$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{EA}$时，AC才垂直OE，题干没有给出该条件，因此$AC⊥ OE$不一定成立，D结论不成立。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，需要熟练掌握切线、弧弦圆心角的关系、圆周角定理等知识点，逐一排查选项即可得出结论，属于圆相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时结合已知条件，先明确圆的相关性质，再逐个验证选项：首先根据切线性质可得AD⊥AB，根据直径所对圆周角为直角可得∠AEB=90°；再利用弧中点的性质，即相等的弧对应弦相等、对应圆心角相等，结合平行线判定、余角的性质等逐一排查四个选项，最终选出不成立的结论。
【解析】
解：对各选项逐一分析：
1. 验证选项A：
∵C是$\overset{\frown}{EB}$的中点，根据垂径定理的推论，可得$OC⊥ BE$。
∵AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴$∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BE$。
∵OC和AE都垂直于BE，
∴$OC// AE$，A结论成立。
2. 验证选项B：
∵C是$\overset{\frown}{EB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{EC}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴$EC=BC$，B结论成立。
3. 验证选项C：
∵AD切$\odot O$于点A，根据切线的性质可得$AD⊥ AB$，即$∠ DAE+∠ EAB=90°$。
∵AB是直径，
∴$∠ AEB=90°$，即$∠ ABE+∠ EAB=90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ DAE=∠ ABE$，C结论成立。
4. 验证选项D：
只有当$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{EA}$时，AC才垂直OE，题干没有给出该条件，因此$AC⊥ OE$不一定成立，D结论不成立。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；垂径定理
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，需要熟练掌握切线、弧弦圆心角的关系、圆周角定理等知识点，逐一排查选项即可得出结论，属于圆相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，已知线段OA交$\odot O$于点B，且$OB=AB$，P是$\odot O$上的一个动点，则$∠ OAP$度数的最大值是（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
A
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
6. A
解析
【分析】
要解决∠OAP的最大值问题，首先思考动点P的位置对该角度的影响：当AP与⊙O相切时，∠OAP取得最大值，若AP与⊙O相交，对应的∠OAP会更小。接下来结合已知线段关系：OB=AB，且OB、OP都是⊙O的半径，可得到OA与OP的长度关系，再在直角三角形中利用边角关系求解即可。
【解析】
当AP与⊙O相切于点P时，∠OAP的度数最大，根据切线的性质可得：OP⊥AP，即∠OPA=90°。
∵OP和OB都是⊙O的半径，
∴OP=OB，
又
∵OB=AB，
∴OA=OB+AB=2OB=2OP，
在Rt△OPA中，直角边OP的长度等于斜边OA的一半，
∴∠OAP=30°，即∠OAP的最大值为30°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，直角三角形边角性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中角度最值的典型题型，解题的核心是明确过圆外一点作圆的切线时，切线与该点和圆心连线的夹角为最大角，再结合直角三角形的性质求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决∠OAP的最大值问题，首先思考动点P的位置对该角度的影响：当AP与⊙O相切时，∠OAP取得最大值，若AP与⊙O相交，对应的∠OAP会更小。接下来结合已知线段关系：OB=AB，且OB、OP都是⊙O的半径，可得到OA与OP的长度关系，再在直角三角形中利用边角关系求解即可。
【解析】
当AP与⊙O相切于点P时，∠OAP的度数最大，根据切线的性质可得：OP⊥AP，即∠OPA=90°。
∵OP和OB都是⊙O的半径，
∴OP=OB，
又
∵OB=AB，
∴OA=OB+AB=2OB=2OP，
在Rt△OPA中，直角边OP的长度等于斜边OA的一半，
∴∠OAP=30°，即∠OAP的最大值为30°。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，直角三角形边角性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中角度最值的典型题型，解题的核心是明确过圆外一点作圆的切线时，切线与该点和圆心连线的夹角为最大角，再结合直角三角形的性质求解即可。
【难度系数】
0.7
