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7. 如图，AB为$\odot O$的切线，B为切点，AO与$\odot O$交于点C，若$∠ BAO=40°$，则$∠ OCB$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
C
）A.$40°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质得到OB与AB垂直，确定△OBA是直角三角形，结合已知的∠BAO的度数求出圆心角∠O的度数；再根据同圆半径相等得到OB=OC，即△OBC为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OCB的度数。
【解析】
∵AB为$\odot O$的切线，B为切点
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$
在$Rt△ OBA$中，$∠ BAO=40°$
∴$∠ O=90°-∠ BAO=90°-40°=50°$
∵OB、OC都是$\odot O$的半径
∴$OB=OC$，$△ OBC$是等腰三角形
∴$∠ OCB=∠ OBC$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OCB=(180°-∠ O)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，核心考查切线与半径的位置关系以及等腰三角形角度计算的特点，解题思路清晰，属于圆章节的常规考点题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用切线的性质得到OB与AB垂直，确定△OBA是直角三角形，结合已知的∠BAO的度数求出圆心角∠O的度数；再根据同圆半径相等得到OB=OC，即△OBC为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求出∠OCB的度数。
【解析】
∵AB为$\odot O$的切线，B为切点
∴$OB⊥ AB$，即$∠ OBA=90°$
在$Rt△ OBA$中，$∠ BAO=40°$
∴$∠ O=90°-∠ BAO=90°-40°=50°$
∵OB、OC都是$\odot O$的半径
∴$OB=OC$，$△ OBC$是等腰三角形
∴$∠ OCB=∠ OBC$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ OCB=(180°-∠ O)÷2=(180°-50°)÷2=65°$
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，核心考查切线与半径的位置关系以及等腰三角形角度计算的特点，解题思路清晰，属于圆章节的常规考点题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图，CD是$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$于点G，直线EF与$\odot O$相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（
A.$AG=BG$
B.$AB// EF$
C.$AD// BC$
D.$∠ ABC=∠ ADC$
（第8题）（第9题）（第10题）
C
）A.$AG=BG$
B.$AB// EF$
C.$AD// BC$
D.$∠ ABC=∠ ADC$
（第8题）（第9题）（第10题）
答案
8. C
解析
【分析】
本题需结合圆的相关性质，逐一分析每个选项是否一定成立：首先利用垂径定理判断A选项；再结合切线的性质和平行线的判定判断B选项；根据平行线的判定条件和圆周角的关系判断C选项；最后利用圆周角定理判断D选项，最终选出不一定正确的结论。
【解析】
A.
∵CD是$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$于G，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，$\therefore AG=BG$，该结论一定正确，不符合题意；
B.
∵直线EF与$\odot O$相切于点D，根据切线的性质，切线垂直于过切点的直径，$\therefore CD⊥ EF$，又$\because AB⊥ CD$，$\therefore AB$、$EF$均垂直于$CD$，$\therefore AB// EF$，该结论一定正确，不符合题意；
C. 只有当弧$AC=$弧$BD$时，才有$∠ BAD=∠ ABC$，进而推出$AD// BC$，题干未给出对应条件，因此$AD$与$BC$不一定平行，该结论不一定正确，符合题意；
D. $∠ ABC$与$∠ ADC$都是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$，该结论一定正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础性质综合题，需熟练掌握各定理的适用条件，做题时注意题干要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题需结合圆的相关性质，逐一分析每个选项是否一定成立：首先利用垂径定理判断A选项；再结合切线的性质和平行线的判定判断B选项；根据平行线的判定条件和圆周角的关系判断C选项；最后利用圆周角定理判断D选项，最终选出不一定正确的结论。
【解析】
A.
∵CD是$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$于G，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，$\therefore AG=BG$，该结论一定正确，不符合题意；
B.
∵直线EF与$\odot O$相切于点D，根据切线的性质，切线垂直于过切点的直径，$\therefore CD⊥ EF$，又$\because AB⊥ CD$，$\therefore AB$、$EF$均垂直于$CD$，$\therefore AB// EF$，该结论一定正确，不符合题意；
C. 只有当弧$AC=$弧$BD$时，才有$∠ BAD=∠ ABC$，进而推出$AD// BC$，题干未给出对应条件，因此$AD$与$BC$不一定平行，该结论不一定正确，符合题意；
D. $∠ ABC$与$∠ ADC$都是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ ABC=∠ ADC$，该结论一定正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础性质综合题，需熟练掌握各定理的适用条件，做题时注意题干要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
9. 如图，线段AB是$\odot O$的直径，$∠ CDB=25°$，过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点E，则$∠ E$的度数为（
A.$50°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$70°$
B
）A.$50°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
9. B
解析
【分析】
解题首先连接辅助线OC：第一步利用切线的性质，得到OC垂直于CE，即∠OCE为直角；第二步根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠CDB的度数求出圆心角∠COB的度数；第三步在直角三角形OCE中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CE，即$∠ OCE=90°$。
∵$∠ CDB$是弧BC所对的圆周角，$∠ COB$是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ COB=2∠ CDB=2×25°=50°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$∠ E+∠ COB=90°$，
∴$∠ E=90°-50°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的常规基础考题，将圆的性质和三角形角度计算结合考查，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，正确连接圆心与切点的辅助线建立角度关系。
【难度系数】
0.7
解题首先连接辅助线OC：第一步利用切线的性质，得到OC垂直于CE，即∠OCE为直角；第二步根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知∠CDB的度数求出圆心角∠COB的度数；第三步在直角三角形OCE中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥CE，即$∠ OCE=90°$。
∵$∠ CDB$是弧BC所对的圆周角，$∠ COB$是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ COB=2∠ CDB=2×25°=50°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$∠ E+∠ COB=90°$，
∴$∠ E=90°-50°=40°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的常规基础考题，将圆的性质和三角形角度计算结合考查，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，正确连接圆心与切点的辅助线建立角度关系。
【难度系数】
0.7
10. 如图,等腰直角三角形两腰CA,CB与半圆O分别切于D,E两点,直径FG在直线AB上,若$BG=\sqrt{2}-1$,则$△ ABC$的周长为 (
A.$4+2\sqrt{2}$
B.$6$
C.$2+2\sqrt{2}$
D.$4$
A
)A.$4+2\sqrt{2}$
B.$6$
C.$2+2\sqrt{2}$
D.$4$
答案
10. A
解析
【分析】
解题时先利用切线的性质得到半径与对应切线垂直，再结合等腰直角三角形锐角为45°的特征，得到含半径的等腰直角三角形；设半径为r，通过线段OB的两种表达形式列方程求出半径，再依次求出△ABC各边长，最后计算周长即可。
【解析】
连接OD、OE，
∵AB、AC分别切半圆O于D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴AB=AC，∠B=∠C=45°，
设半圆O的半径为r，则OD=OE=OG=r，
在Rt△ODB中，∠B=45°，
∴OB=√2 OD=√2 r，
又
∵OB=BG+OG，已知BG=√2 -1，
∴√2 r = (√2 -1) + r，
解得r=1，
同理在Rt△OEC中，∠C=45°，OC=√2 OE=√2，
∴BC=OB + OC=√2 +√2=2√2，
在等腰Rt△ABC中，AB=AC=BC/√2=2√2 ÷√2=2，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2+2+2√2=4+2√2，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类常规题型，解题核心是通过设半径、利用线段等量关系列方程求出半径，再结合等腰直角三角形的性质计算边长，很好地考查了几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用切线的性质得到半径与对应切线垂直，再结合等腰直角三角形锐角为45°的特征，得到含半径的等腰直角三角形；设半径为r，通过线段OB的两种表达形式列方程求出半径，再依次求出△ABC各边长，最后计算周长即可。
【解析】
连接OD、OE，
∵AB、AC分别切半圆O于D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴AB=AC，∠B=∠C=45°，
设半圆O的半径为r，则OD=OE=OG=r，
在Rt△ODB中，∠B=45°，
∴OB=√2 OD=√2 r，
又
∵OB=BG+OG，已知BG=√2 -1，
∴√2 r = (√2 -1) + r，
解得r=1，
同理在Rt△OEC中，∠C=45°，OC=√2 OE=√2，
∴BC=OB + OC=√2 +√2=2√2，
在等腰Rt△ABC中，AB=AC=BC/√2=2√2 ÷√2=2，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2+2+2√2=4+2√2，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合类常规题型，解题核心是通过设半径、利用线段等量关系列方程求出半径，再结合等腰直角三角形的性质计算边长，很好地考查了几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图,以等边三角形ABC的边BC为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为（
A.4
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.$2\sqrt{3}$
B
）A.4
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.$2\sqrt{3}$
答案
11. B
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：① 连接辅助线OD，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥DF；② 结合等边三角形ABC内角为60°、半径OC=OD的条件，可证△OCD是等边三角形，进而推出OD//AB，由此可得DF⊥AB；③ 在Rt△AFD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD，再结合OD是△ABC的中位线，可知D是AC中点，即可求出AC、AB的长度，进一步得到FB的长；④ 最后在Rt△FBG中，利用直角三角形的边角关系即可求出FG的长度。
【解析】
解：连接OD，
∵ DF是⊙O的切线，
∴ OD⊥DF（圆的切线垂直于过切点的半径）。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC。
又
∵ OC=OD，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°=∠B，
∴ OD//AB（同位角相等，两直线平行），
∴ DF⊥AB，即∠AFD=90°。
在Rt△AFD中，∠A=60°，则∠ADF=30°，
∵ AF=2，
∴ AD=2AF=4（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
∵ OD//AB，O为BC中点，
∴ D是AC的中点，
∴ AC=2AD=8，
∴ AB=AC=8，
∴ FB=AB-AF=8-2=6。
∵ FG⊥BC，
∴ ∠FGB=90°，
在Rt△FBG中，∠B=60°，
∴ FG=FB·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过作辅助线OD，结合切线性质和平行线的判定，将已知条件AF转化为求AB的长度，再利用直角三角形的边角关系求解目标线段，解题的关键是找准辅助线的作法，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题可按以下步骤思考：① 连接辅助线OD，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OD⊥DF；② 结合等边三角形ABC内角为60°、半径OC=OD的条件，可证△OCD是等边三角形，进而推出OD//AB，由此可得DF⊥AB；③ 在Rt△AFD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AD，再结合OD是△ABC的中位线，可知D是AC中点，即可求出AC、AB的长度，进一步得到FB的长；④ 最后在Rt△FBG中，利用直角三角形的边角关系即可求出FG的长度。
【解析】
解：连接OD，
∵ DF是⊙O的切线，
∴ OD⊥DF（圆的切线垂直于过切点的半径）。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC。
又
∵ OC=OD，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ ∠COD=60°=∠B，
∴ OD//AB（同位角相等，两直线平行），
∴ DF⊥AB，即∠AFD=90°。
在Rt△AFD中，∠A=60°，则∠ADF=30°，
∵ AF=2，
∴ AD=2AF=4（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
∵ OD//AB，O为BC中点，
∴ D是AC的中点，
∴ AC=2AD=8，
∴ AB=AC=8，
∴ FB=AB-AF=8-2=6。
∵ FG⊥BC，
∴ ∠FGB=90°，
在Rt△FBG中，∠B=60°，
∴ FG=FB·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合题，核心是通过作辅助线OD，结合切线性质和平行线的判定，将已知条件AF转化为求AB的长度，再利用直角三角形的边角关系求解目标线段，解题的关键是找准辅助线的作法，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=8$,$BC=10$,$D$,$E$分别是$AC$,$AB$的中点,则以$DE$为直径的圆与$BC$的位置关系是 （
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
A
）A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
12. A
解析
【分析】
解题时首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形；再结合D、E是中点的条件，用三角形中位线定理得到DE的长度和DE与BC平行的关系，算出以DE为直径的圆的半径；接着用面积法求出△ABC中BC边上的高，根据中位线的性质得到DE与BC之间的距离；最后比较这个距离和圆半径的大小，即可判断圆与BC的位置关系：距离小于半径则相交，等于则相切，大于则相离。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知AB=6，AC=8，BC=10，
∵$AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，
∴△ABC是直角三角形，$∠ A=90°$。
2. 求中位线DE的相关性质：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC=5$，
∴以DE为直径的圆的半径$r=\frac{5}{2}=2.5$。
3. 求BC边上的高：
设△ABC中BC边上的高为h，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$，
解得$h=4.8$。
4. 求DE与BC的距离：
∵DE是△ABC的中位线，$DE// BC$，
∴DE到BC的距离$d=\frac{1}{2}h=2.4$。
5. 判断位置关系：
∵$d=2.4＜r=2.5$，即圆心到BC的距离小于圆的半径，
∴以DE为直径的圆与BC相交。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形中位线定理，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是几何综合类基础题，将三角形性质和直线与圆位置关系的判定结合考查，解题的核心是掌握直线与圆位置关系的判定方法，准确求出圆心到直线BC的距离再和半径做比较即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据三角形三边长度，利用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形；再结合D、E是中点的条件，用三角形中位线定理得到DE的长度和DE与BC平行的关系，算出以DE为直径的圆的半径；接着用面积法求出△ABC中BC边上的高，根据中位线的性质得到DE与BC之间的距离；最后比较这个距离和圆半径的大小，即可判断圆与BC的位置关系：距离小于半径则相交，等于则相切，大于则相离。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知AB=6，AC=8，BC=10，
∵$AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，
∴△ABC是直角三角形，$∠ A=90°$。
2. 求中位线DE的相关性质：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC=5$，
∴以DE为直径的圆的半径$r=\frac{5}{2}=2.5$。
3. 求BC边上的高：
设△ABC中BC边上的高为h，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$，
解得$h=4.8$。
4. 求DE与BC的距离：
∵DE是△ABC的中位线，$DE// BC$，
∴DE到BC的距离$d=\frac{1}{2}h=2.4$。
5. 判断位置关系：
∵$d=2.4＜r=2.5$，即圆心到BC的距离小于圆的半径，
∴以DE为直径的圆与BC相交。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，三角形中位线定理，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是几何综合类基础题，将三角形性质和直线与圆位置关系的判定结合考查，解题的核心是掌握直线与圆位置关系的判定方法，准确求出圆心到直线BC的距离再和半径做比较即可。
【难度系数】
0.6
