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13. 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$外一点，过点C作$\odot O$的切线，切点为B，连接AC交$\odot O$于点D，$∠ C=38°$.点E在AB右侧的半圆周上运动（不与点A，B重合），则$∠ AED$的度数是（
A.$19°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$76°$
（第13题）
B
）A.$19°$
B.$38°$
C.$52°$
D.$76°$
（第13题）答案
13. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先CB是圆的切线，根据切线性质可得AB与CB垂直，得到直角三角形ABC，结合已知∠C的度数可算出∠BAC的度数；再连接辅助线BD，利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形ABD，算出∠ABD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，可知∠AED与∠ABD相等，即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵CB是$\odot O$的切线，AB为$\odot O$的直径，
∴$AB⊥CB$，即$∠ABC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠C=38°$，
∴$∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°$。
连接BD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ADB=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ABD=90°-∠BAC=90°-52°=38°$。
∵$∠AED$和$∠ABD$都是弧AD所对的圆周角，
∴$∠AED=∠ABD=38°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，通过添加辅助线将未知角转化为已知相关的角，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先CB是圆的切线，根据切线性质可得AB与CB垂直，得到直角三角形ABC，结合已知∠C的度数可算出∠BAC的度数；再连接辅助线BD，利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形ABD，算出∠ABD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，可知∠AED与∠ABD相等，即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵CB是$\odot O$的切线，AB为$\odot O$的直径，
∴$AB⊥CB$，即$∠ABC=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$∠C=38°$，
∴$∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°$。
连接BD，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ADB=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ABD=90°-∠BAC=90°-52°=38°$。
∵$∠AED$和$∠ABD$都是弧AD所对的圆周角，
∴$∠AED=∠ABD=38°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，通过添加辅助线将未知角转化为已知相关的角，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
14. 如图，AB是$\odot O$的弦，AO的延长线交过点B的$\odot O$的切线于点C，若$∠ ABO=20°$，则$∠ C$的度数是（
A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$20°$
B
）A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$20°$
答案
14. B
解析
【分析】
解题时首先抓住“过点B的切线”这一关键条件，根据切线的性质可得到OB与BC垂直，得到直角∠OBC。再结合OA、OB都是圆的半径，二者相等，可知△OAB是等腰三角形，从而得到∠OAB的度数，再利用三角形外角的性质求出∠BOC的度数，最后在Rt△OBC中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°。
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠ABO=20°。
∵∠BOC是△AOB的外角，
∴∠BOC=∠OAB+∠ABO=20°+20°=40°。
在Rt△OBC中，∠C+∠BOC=90°，
∴∠C=90°-40°=50°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，再结合三角形的相关性质逐步推导角度即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“过点B的切线”这一关键条件，根据切线的性质可得到OB与BC垂直，得到直角∠OBC。再结合OA、OB都是圆的半径，二者相等，可知△OAB是等腰三角形，从而得到∠OAB的度数，再利用三角形外角的性质求出∠BOC的度数，最后在Rt△OBC中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°。
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠ABO=20°。
∵∠BOC是△AOB的外角，
∴∠BOC=∠OAB+∠ABO=20°+20°=40°。
在Rt△OBC中，∠C+∠BOC=90°，
∴∠C=90°-40°=50°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质，再结合三角形的相关性质逐步推导角度即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
15. 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与$\odot O$的直径相等，$\odot O$与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为 （
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1.5 cm
B
）A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1.5 cm
答案
15. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，第一步先求出等边△ABC的高，也就得到了⊙O的直径，进而得到⊙O的半径；第二步利用切线的性质得到OC与BC垂直，结合等边三角形内角为60°求出∠OCE的度数；第三步过圆心O作CE的垂线，结合垂径定理可知垂足平分CE，最后在直角三角形中利用三角函数求出CE一半的长度，乘2即可得到CE的长。
【解析】
1. 计算⊙O的半径：
等边三角形ABC的边长为4cm，其高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$cm，由题意可知⊙O的直径等于该高，因此⊙O的半径$OC=\sqrt{3}$cm。
2. 求∠OCE的度数：
∵⊙O与BC相切于点C，根据切线的性质可得$OC⊥ BC$，即$∠ OCB=90°$，
又
∵△ABC是等边三角形，$∠ ACB=60°$，
∴$∠ OCE=∠ OCB-∠ ACB=90°-60°=30°$。
3. 计算CE的长度：
过点O作$OD⊥ CE$于点D，根据垂径定理可得$CD=DE$，即$CE=2CD$。
在$Rt△ OCD$中，$∠ OCD=30°$，$OC=\sqrt{3}$cm，
由$\cos∠ OCD=\frac{CD}{OC}$可得：
$CD=OC·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$cm，
因此$CE=2CD=2×\frac{3}{2}=3$cm。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，解题关键是结合切线性质得到垂直关系，再利用垂径定理将所求线段转化到直角三角形中求解，能够很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，第一步先求出等边△ABC的高，也就得到了⊙O的直径，进而得到⊙O的半径；第二步利用切线的性质得到OC与BC垂直，结合等边三角形内角为60°求出∠OCE的度数；第三步过圆心O作CE的垂线，结合垂径定理可知垂足平分CE，最后在直角三角形中利用三角函数求出CE一半的长度，乘2即可得到CE的长。
【解析】
1. 计算⊙O的半径：
等边三角形ABC的边长为4cm，其高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$cm，由题意可知⊙O的直径等于该高，因此⊙O的半径$OC=\sqrt{3}$cm。
2. 求∠OCE的度数：
∵⊙O与BC相切于点C，根据切线的性质可得$OC⊥ BC$，即$∠ OCB=90°$，
又
∵△ABC是等边三角形，$∠ ACB=60°$，
∴$∠ OCE=∠ OCB-∠ ACB=90°-60°=30°$。
3. 计算CE的长度：
过点O作$OD⊥ CE$于点D，根据垂径定理可得$CD=DE$，即$CE=2CD$。
在$Rt△ OCD$中，$∠ OCD=30°$，$OC=\sqrt{3}$cm，
由$\cos∠ OCD=\frac{CD}{OC}$可得：
$CD=OC·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$cm，
因此$CE=2CD=2×\frac{3}{2}=3$cm。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，解题关键是结合切线性质得到垂直关系，再利用垂径定理将所求线段转化到直角三角形中求解，能够很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
16. 如图，在$\odot O$中，半径$OD ⊥$弦$AB$于点$C$，连接$AO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$EC$，若$AB=8$，$CD=2$，则$EC$的长度为（
A.$2\sqrt{5}$
B.$8$
C.$2\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{13}$
（第16题）
D
）A.$2\sqrt{5}$
B.$8$
C.$2\sqrt{10}$
D.$2\sqrt{13}$
（第16题）答案
16. D
解析
【分析】
解题时先从已知条件OD⊥AB入手，根据垂径定理可得AC=BC=4；接下来设⊙O的半径为r，可得OC=r-2，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程即可求出半径r的值；再连接BE，由AE是直径可得∠ABE=90°，同时OC是△ABE的中位线，可求出BE的长度；最后在Rt△EBC中利用勾股定理就能求出EC的长度。
【解析】
1. 由垂径定理求线段AC的长度：
∵ 半径OD⊥弦AB，AB=8
∴ AC=BC=½AB=4
2. 设半径，利用勾股定理列方程求半径：
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=OD-CD=r-2
在Rt△OAC中，根据勾股定理得：
OA² = AC² + OC²，即 $r^2 = 4^2 + (r-2)^2$
展开化简：$r^2 = 16 + r^2 -4r +4$，解得 $r=5$
∴ OC=5-2=3，直径AE=2r=10
3. 连接BE，利用直径性质和中位线定理求BE：
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°
∵O是AE中点，C是AB中点，
∴OC是△ABE的中位线
∴ BE=2OC=2×3=6
4. 在Rt△EBC中求EC的长度：
在Rt△EBC中，BC=4，BE=6，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{BE^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 + 4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题的核心是先通过垂径定理和勾股定理求出圆的半径，再结合直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形求解，是圆章节的典型中档题。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件OD⊥AB入手，根据垂径定理可得AC=BC=4；接下来设⊙O的半径为r，可得OC=r-2，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程即可求出半径r的值；再连接BE，由AE是直径可得∠ABE=90°，同时OC是△ABE的中位线，可求出BE的长度；最后在Rt△EBC中利用勾股定理就能求出EC的长度。
【解析】
1. 由垂径定理求线段AC的长度：
∵ 半径OD⊥弦AB，AB=8
∴ AC=BC=½AB=4
2. 设半径，利用勾股定理列方程求半径：
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，OC=OD-CD=r-2
在Rt△OAC中，根据勾股定理得：
OA² = AC² + OC²，即 $r^2 = 4^2 + (r-2)^2$
展开化简：$r^2 = 16 + r^2 -4r +4$，解得 $r=5$
∴ OC=5-2=3，直径AE=2r=10
3. 连接BE，利用直径性质和中位线定理求BE：
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°
∵O是AE中点，C是AB中点，
∴OC是△ABE的中位线
∴ BE=2OC=2×3=6
4. 在Rt△EBC中求EC的长度：
在Rt△EBC中，BC=4，BE=6，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{BE^2 + BC^2}=\sqrt{6^2 + 4^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题的核心是先通过垂径定理和勾股定理求出圆的半径，再结合直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形求解，是圆章节的典型中档题。
【难度系数】
0.6
17. 如图，已知在$\odot O$中，$∠ CBO=50°$，$∠ CAO=20°$，则$∠ AOB$的度数是（
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
B
）A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
17. B
解析
【分析】
要计算圆心角∠AOB的度数，可借助圆周角定理求解，首先观察已知条件给出的是两个和半径相关的底角，因此先作辅助线连接OC，利用圆的半径相等，可得△OAC、△OBC均为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可求出∠OCB、∠OCA的度数，进而得到圆周角∠ACB的度数，最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍即可求出∠AOB的度数。
【解析】
连接OC，
∵OA、OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，$OB=OC$，
∴$△ OAC$为等腰三角形，$∠ OCA=∠ CAO=20°$，
$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ CBO=50°$，
∴$∠ ACB=∠ OCB-∠ OCA=50°-20°=30°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AOB$和$∠ ACB$都对应弧AB，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×30°=60°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的常规题型，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，再结合圆周角定理转化角度，考查对圆和等腰三角形基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算圆心角∠AOB的度数，可借助圆周角定理求解，首先观察已知条件给出的是两个和半径相关的底角，因此先作辅助线连接OC，利用圆的半径相等，可得△OAC、△OBC均为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可求出∠OCB、∠OCA的度数，进而得到圆周角∠ACB的度数，最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍即可求出∠AOB的度数。
【解析】
连接OC，
∵OA、OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC$，$OB=OC$，
∴$△ OAC$为等腰三角形，$∠ OCA=∠ CAO=20°$，
$△ OBC$为等腰三角形，$∠ OCB=∠ CBO=50°$，
∴$∠ ACB=∠ OCB-∠ OCA=50°-20°=30°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AOB$和$∠ ACB$都对应弧AB，
∴$∠ AOB=2∠ ACB=2×30°=60°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆中角度计算的常规题型，解题核心是通过连接半径构造等腰三角形，再结合圆周角定理转化角度，考查对圆和等腰三角形基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
18. 如图，P 是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是 （
A.当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形
B.当△APC 是等腰三角形时，PO⊥AC
C.当 PO⊥AC 时，∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时，△BPC 是直角三角形
C
）A.当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形
B.当△APC 是等腰三角形时，PO⊥AC
C.当 PO⊥AC 时，∠ACP=30°
D.当∠ACP=30°时，△BPC 是直角三角形
答案
18. C
解析
【分析】
本题考查等边三角形与外接圆的综合性质，解题时需结合圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质，逐个分析每个选项，注意点P在圆上的位置具有两种可能性，避免因漏考虑情况导致判断错误。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：圆中最长的弦是直径，因此当弦PB最长时，PB为⊙O的直径。
∵△ABC是等边三角形，
∴弧AB=弧BC=弧AC=120°，PB为直径时，PB垂直平分AC，因此弧AP=弧PC，可得AP=PC，△APC是等腰三角形，故A判断正确，不符合题意。
2. 分析选项B：当△APC是等腰三角形时，点P为弧AC的中点（优弧或劣弧中点）。
根据垂径定理的推论，过弧中点和圆心的直线垂直平分弧所对的弦，因此PO⊥AC，故B判断正确，不符合题意。
3. 分析选项C：当PO⊥AC时，根据垂径定理，直线PO是AC的垂直平分线，与圆交于两点：一点为劣弧AC的中点，另一点为优弧AC的中点（即点B）。
若P为劣弧AC中点，弧AP=60°，则$∠ ACP=\frac{1}{2}$弧AP=30°；若P为优弧AC中点（与B重合时），$∠ ACP=∠ ACB=60°$。因此$∠ ACP$不一定为30°，故C判断错误，符合题意。
4. 分析选项D：当$∠ ACP=30°$时，根据圆周角定理，弧AP=$2∠ ACP=60°$。
若P在劣弧AC上，则弧BC+弧AP=$120°+60°=180°$，即BP为直径，$∠ BCP=90°$；若P在优弧AB上，则弧PC=弧AC+弧AP=$120°+60°=180°$，即PC为直径，$∠ PBC=90°$。两种情况$△ BPC$都是直角三角形，故D判断正确，不符合题意。
综上，不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆与等边三角形的综合题，解题关键是明确圆上点的位置的多样性，结合相关性质分类讨论，避免因考虑不全面误判。
【难度系数】
0.6
本题考查等边三角形与外接圆的综合性质，解题时需结合圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质，逐个分析每个选项，注意点P在圆上的位置具有两种可能性，避免因漏考虑情况导致判断错误。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：圆中最长的弦是直径，因此当弦PB最长时，PB为⊙O的直径。
∵△ABC是等边三角形，
∴弧AB=弧BC=弧AC=120°，PB为直径时，PB垂直平分AC，因此弧AP=弧PC，可得AP=PC，△APC是等腰三角形，故A判断正确，不符合题意。
2. 分析选项B：当△APC是等腰三角形时，点P为弧AC的中点（优弧或劣弧中点）。
根据垂径定理的推论，过弧中点和圆心的直线垂直平分弧所对的弦，因此PO⊥AC，故B判断正确，不符合题意。
3. 分析选项C：当PO⊥AC时，根据垂径定理，直线PO是AC的垂直平分线，与圆交于两点：一点为劣弧AC的中点，另一点为优弧AC的中点（即点B）。
若P为劣弧AC中点，弧AP=60°，则$∠ ACP=\frac{1}{2}$弧AP=30°；若P为优弧AC中点（与B重合时），$∠ ACP=∠ ACB=60°$。因此$∠ ACP$不一定为30°，故C判断错误，符合题意。
4. 分析选项D：当$∠ ACP=30°$时，根据圆周角定理，弧AP=$2∠ ACP=60°$。
若P在劣弧AC上，则弧BC+弧AP=$120°+60°=180°$，即BP为直径，$∠ BCP=90°$；若P在优弧AB上，则弧PC=弧AC+弧AP=$120°+60°=180°$，即PC为直径，$∠ PBC=90°$。两种情况$△ BPC$都是直角三角形，故D判断正确，不符合题意。
综上，不正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质
【点评】
本题是圆与等边三角形的综合题，解题关键是明确圆上点的位置的多样性，结合相关性质分类讨论，避免因考虑不全面误判。
【难度系数】
0.6
19. 如图，已知半圆O的直径$AB=10$，弦$AC=6$，$AD$平分$∠ BAC$，则$AD$的长为 （
A.$4\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$4$
A
）A.$4\sqrt{5}$
B.$3\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{5}$
D.$4$
答案
19. A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 看到直径AB，优先利用“直径所对的圆周角是直角”的性质，连接BC、BD，可得∠ACB=∠ADB=90°，先用勾股定理求出BC的长度。2. 已知AD平分∠BAC，结合角平分线的性质构造全等三角形，同时根据圆周角定理，相等的圆周角对应相等的弧，可得弧CD=弧BD，即CD=BD，再利用全等三角形转化线段关系。3. 最后结合勾股定理求出AD的长度。
【解析】
解：连接BD、BC，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F。
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AF，
∴ DE=DF，且∠FAD=∠EAD。
又
∵ ∠F=∠AED=90°，AD=AD，
∴ △AFD≌△AED（AAS），
∴ AF=AE。
∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ 弧CD=弧BD，
∴ CD=BD。
在Rt△CFD和Rt△BED中，$\{\begin{array}{l}DF=DE\\CD=BD\end{array} $，
∴ Rt△CFD≌Rt△BED（HL），
∴ CF=BE。
设BE=x，则CF=x，$AF=AC+CF=6+x$，$AE=AB-BE=10-x$，
∴ $6+x=10-x$，解得$x=2$，
∴ $AE=10-2=8$。
在Rt△ABD中，DE⊥AB，由射影定理得$BD^2=BE·AB=2×10=20$，
∴ $BD=2\sqrt{5}$。
在Rt△BDE中，$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{20-2^2}=4$。
在Rt△ADE中，$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，核心是利用直径的性质、角平分线的性质构造全等三角形转化线段关系，解题时需要明确辅助线的构造逻辑，熟练运用全等判定和勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 看到直径AB，优先利用“直径所对的圆周角是直角”的性质，连接BC、BD，可得∠ACB=∠ADB=90°，先用勾股定理求出BC的长度。2. 已知AD平分∠BAC，结合角平分线的性质构造全等三角形，同时根据圆周角定理，相等的圆周角对应相等的弧，可得弧CD=弧BD，即CD=BD，再利用全等三角形转化线段关系。3. 最后结合勾股定理求出AD的长度。
【解析】
解：连接BD、BC，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F。
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AF，
∴ DE=DF，且∠FAD=∠EAD。
又
∵ ∠F=∠AED=90°，AD=AD，
∴ △AFD≌△AED（AAS），
∴ AF=AE。
∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ 弧CD=弧BD，
∴ CD=BD。
在Rt△CFD和Rt△BED中，$\{\begin{array}{l}DF=DE\\CD=BD\end{array} $，
∴ Rt△CFD≌Rt△BED（HL），
∴ CF=BE。
设BE=x，则CF=x，$AF=AC+CF=6+x$，$AE=AB-BE=10-x$，
∴ $6+x=10-x$，解得$x=2$，
∴ $AE=10-2=8$。
在Rt△ABD中，DE⊥AB，由射影定理得$BD^2=BE·AB=2×10=20$，
∴ $BD=2\sqrt{5}$。
在Rt△BDE中，$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{20-2^2}=4$。
在Rt△ADE中，$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，核心是利用直径的性质、角平分线的性质构造全等三角形转化线段关系，解题时需要明确辅助线的构造逻辑，熟练运用全等判定和勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.6
