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20. 已知$\odot O$的直径为10，点$A,B,C$在$\odot O$上，$∠ CAB$的平分线交$\odot O$于点$D$.
（1）如图①，若$BC$为$\odot O$的直径，$AB=6$，求$AC,BD,CD$的长；
（2）如图②，若$∠ CAB=60°$，求$BD$的长.
（1）如图①，若$BC$为$\odot O$的直径，$AB=6$，求$AC,BD,CD$的长；
（2）如图②，若$∠ CAB=60°$，求$BD$的长.
答案
20. （1）如图①,$\because BC$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ CAB=∠ BDC=90°. \because$在$\mathrm{Rt}△ CAB$中,$BC=10,AB=6, \therefore$由勾股定理,得 $AC = \sqrt{BC^2-AB^2} = \sqrt{10^2-6^2} = 8. \because AD$ 平分$∠ CAB, \therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}, \therefore CD=BD.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDC$ 中,$BC=10,CD^2+BD^2=BC^2, \therefore BD=CD=5\sqrt{2}.$ （2）如图②,连接 $OB, OD. \because AD$ 平分 $∠ CAB$, 且 $∠ CAB = 60°$,$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°, \therefore ∠ DOB=2∠ DAB=60°.$ 又 $OB=OD, \therefore △ OBD$ 是等边三角形, $\therefore BD=OB=OD. \because \odot O$ 的直径为 10, $\therefore OB=5, \therefore BD=5.$
解析
【分析】
（1）第一小问先利用“直径所对的圆周角为直角”确定△CAB、△BDC为直角三角形，先在Rt△CAB中用勾股定理计算AC的长度；再根据角平分线的性质得到相等的圆周角，进而推出对应弧相等，由等弧对等弦得CD=BD，最后在Rt△BDC中结合勾股定理计算BD、CD的长度即可。
（2）第二小问先由角平分线求出∠DAB的度数，再根据圆周角定理得到对应圆心角∠DOB的度数，结合OB、OD都是半径可判定△OBD为等边三角形，BD等于圆的半径，结合直径长度求出半径即可得到BD的长。
【解析】
（1）$\because$ BC是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ CAB=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CAB$中，$BC=10$，$AB=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore CD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=10$，$CD^2+BD^2=BC^2$，将$CD=BD$代入得$2BD^2=100$，解得$BD=CD=5\sqrt{2}$。
（2）连接$OB$、$OD$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，$∠ CAB=60°$，$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$。
根据圆周角定理，圆心角$∠ DOB=2∠ DAB=60°$。
又$\because OB=OD$（均为$\odot O$的半径），$\therefore △ OBD$是等边三角形，即$BD=OB$。
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore$半径$OB=5$，$\therefore BD=5$。
【答案】
（1）$AC=8$，$BD=5\sqrt{2}$，$CD=5\sqrt{2}$；（2）$BD=5$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；等弧对等弦
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，结合三角形的定理进行计算，是圆章节的典型常考题型，解题时注意合理构造辅助线简化求解过程。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问先利用“直径所对的圆周角为直角”确定△CAB、△BDC为直角三角形，先在Rt△CAB中用勾股定理计算AC的长度；再根据角平分线的性质得到相等的圆周角，进而推出对应弧相等，由等弧对等弦得CD=BD，最后在Rt△BDC中结合勾股定理计算BD、CD的长度即可。
（2）第二小问先由角平分线求出∠DAB的度数，再根据圆周角定理得到对应圆心角∠DOB的度数，结合OB、OD都是半径可判定△OBD为等边三角形，BD等于圆的半径，结合直径长度求出半径即可得到BD的长。
【解析】
（1）$\because$ BC是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ CAB=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CAB$中，$BC=10$，$AB=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，$\therefore CD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BC=10$，$CD^2+BD^2=BC^2$，将$CD=BD$代入得$2BD^2=100$，解得$BD=CD=5\sqrt{2}$。
（2）连接$OB$、$OD$。
$\because AD$平分$∠ CAB$，$∠ CAB=60°$，$\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ CAB=30°$。
根据圆周角定理，圆心角$∠ DOB=2∠ DAB=60°$。
又$\because OB=OD$（均为$\odot O$的半径），$\therefore △ OBD$是等边三角形，即$BD=OB$。
$\because \odot O$的直径为10，$\therefore$半径$OB=5$，$\therefore BD=5$。
【答案】
（1）$AC=8$，$BD=5\sqrt{2}$，$CD=5\sqrt{2}$；（2）$BD=5$
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；等弧对等弦
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，结合三角形的定理进行计算，是圆章节的典型常考题型，解题时注意合理构造辅助线简化求解过程。
【难度系数】
0.7
21. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以$BC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$,切线$DE$交$AC$于点$E$.
(1) 求证:$∠ A=∠ ADE$;
(2) 若$AD=8$,$DE=5$,求$BC$的长.
(1) 求证:$∠ A=∠ ADE$;
(2) 若$AD=8$,$DE=5$,求$BC$的长.
答案
21. （1）证明:连接 $OD. \because DE$ 是切线, $\therefore ∠ ODE=90°, \therefore ∠ ADE+∠ BDO=90°. \because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ A+∠ B=90°. \because OD=OB, \therefore ∠ B=∠ BDO, \therefore ∠ A=∠ ADE.$ （2）连接 $CD. \because ∠ ADE=∠ A, \therefore AE=DE. \because BC$ 是 $\odot O$ 的直径, $∠ ACB=90°, \therefore EC$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore ED=EC, \therefore AE=EC. \because DE=5, \therefore AC=2DE=10.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=6, \therefore BD^2+6^2=(BD+8)^2-10^2,$ 解得 $BD=\frac{9}{2}, \therefore BC=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}.$
解析
【分析】
(1) 要证$∠ A=∠ ADE$，已知DE是圆的切线，根据切线性质需先连接过切点的半径OD，得到$∠ ODE=90°$，可得$∠ ADE$与$∠ BDO$互余；再结合$Rt△ ABC$中$∠ A$与$∠ B$互余，以及$OD=OB$推出$∠ B=∠ BDO$，通过等量代换即可完成证明。
(2) 求BC的长时，先由(1)的角相等结论推出$AE=DE$，再根据BC是直径、$∠ C=90°$可得EC也是圆的切线，由切线长定理得$ED=EC$，即可求出AC的长度；接下来连接CD，利用直径所对圆周角为直角得$CD⊥ AB$，先在$Rt△ ADC$中用勾股定理求出CD的长，再以BC为等量关系，分别在$Rt△ BDC$和$Rt△ ABC$中列方程求出BD的长，最后用勾股定理计算BC即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$。
$\because DE$是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ ODE=90°$，$\therefore ∠ ADE+∠ BDO=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$。
$\because OD=OB$，$\therefore ∠ B=∠ BDO$，$\therefore ∠ A=∠ ADE$。
(2) 解：连接$CD$。
$\because ∠ ADE=∠ A$，$\therefore AE=DE$。
$\because BC$是$\odot O$的直径，$∠ ACB=90°$，$\therefore EC$是$\odot O$的切线，$\therefore ED=EC$，
$\therefore AE=EC$，$\because DE=5$，$\therefore AC=2DE=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$BD=x$，在$\mathrm{Rt}△ BDC$中$BC^2=x^2+6^2$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$BC^2=(x+8)^2-10^2$，
则$x^2+6^2=(x+8)^2-10^2$，
解得$x=\frac{9}{2}$，即$BD=\frac{9}{2}$，
$\therefore BC=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $∠ A=∠ ADE$，证明成立；
(2) $BC$的长为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，解题核心是掌握圆的常见辅助线作法，熟练运用切线性质、直径所对圆周角为直角等结论，能灵活借助勾股定理建立方程求解未知线段，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$∠ A=∠ ADE$，已知DE是圆的切线，根据切线性质需先连接过切点的半径OD，得到$∠ ODE=90°$，可得$∠ ADE$与$∠ BDO$互余；再结合$Rt△ ABC$中$∠ A$与$∠ B$互余，以及$OD=OB$推出$∠ B=∠ BDO$，通过等量代换即可完成证明。
(2) 求BC的长时，先由(1)的角相等结论推出$AE=DE$，再根据BC是直径、$∠ C=90°$可得EC也是圆的切线，由切线长定理得$ED=EC$，即可求出AC的长度；接下来连接CD，利用直径所对圆周角为直角得$CD⊥ AB$，先在$Rt△ ADC$中用勾股定理求出CD的长，再以BC为等量关系，分别在$Rt△ BDC$和$Rt△ ABC$中列方程求出BD的长，最后用勾股定理计算BC即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$。
$\because DE$是$\odot O$的切线，$\therefore ∠ ODE=90°$，$\therefore ∠ ADE+∠ BDO=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$。
$\because OD=OB$，$\therefore ∠ B=∠ BDO$，$\therefore ∠ A=∠ ADE$。
(2) 解：连接$CD$。
$\because ∠ ADE=∠ A$，$\therefore AE=DE$。
$\because BC$是$\odot O$的直径，$∠ ACB=90°$，$\therefore EC$是$\odot O$的切线，$\therefore ED=EC$，
$\therefore AE=EC$，$\because DE=5$，$\therefore AC=2DE=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设$BD=x$，在$\mathrm{Rt}△ BDC$中$BC^2=x^2+6^2$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$BC^2=(x+8)^2-10^2$，
则$x^2+6^2=(x+8)^2-10^2$，
解得$x=\frac{9}{2}$，即$BD=\frac{9}{2}$，
$\therefore BC=\sqrt{6^2+(\frac{9}{2})^2}=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $∠ A=∠ ADE$，证明成立；
(2) $BC$的长为$\frac{15}{2}$。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形的综合题，解题核心是掌握圆的常见辅助线作法，熟练运用切线性质、直径所对圆周角为直角等结论，能灵活借助勾股定理建立方程求解未知线段，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
