2. 将一副三角尺按如图位置叠放,则$∠ 1$的度数为()。

A.$45°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$75°$

2.D

【分析】
首先明确一副三角尺的角度：一个三角尺的内角为30°、60°、90°，另一个为45°、45°、90°。观察图形可知，∠1是三角形的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，我们只需找到这两个不相邻的内角，将它们相加就能求出∠1的度数。通过图形可确定这两个内角分别为45°和30°。
【解析】
已知一副三角尺的角度，其中一个三角尺的锐角为30°，另一个三角尺的锐角为45°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ 1 = 45° + 30° = 75°$
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，三角尺角度
【点评】
本题考查三角形外角性质的实际应用，解题关键是熟悉三角尺的角度，准确识别∠1作为外角对应的两个内角，属于基础题型，有助于巩固三角形外角的相关知识。
【难度系数】
0.7

3. 如果将一副三角板按如图位置叠放,那么$∠ 1$等于()。

A.$45°$
B.$60°$
C.$105°$
D.$120°$

3.C

【分析】
首先观察图形，明确两个三角板的内角分别为90°、60°、30°和90°、45°、45°。我们需要先找到与∠1相关的角，通过三角形内角和定理求出中间小三角形的一个内角，再利用邻补角的互补关系计算∠1的度数。具体思路为：先确定小三角形的两个内角，根据三角形内角和算出第三个角，再由邻补角和为180°，求出∠1的度数。
【解析】
1. 根据三角板的角度特征，可知图中存在两个内角分别为60°和45°的小三角形。
2. 根据三角形内角和定理，该小三角形的第三个内角为：$180° - 60° - 45° = 75°$。
3. 因为∠1与这个75°的角互为邻补角（两角和为180°），所以：
$∠1 = 180° - 75° = 105°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质
【点评】
本题结合三角板的角度特征，考查三角形内角和定理与邻补角性质的综合应用，需要学生具备一定的图形观察能力和角度计算能力，解题关键是找到与∠1相关的角的关系。
【难度系数】
0.6

4. 如图,已知$P$是射线$ON$上一动点,$∠ O=30°$,若$△ OAP$为钝角三角形,则$∠ APN$的度数可以是()。

A.$20°$
B.$30°$
C.$90°$
D.$150°$

4.D

【分析】
要解决这个问题，我们需要分情况讨论△OAP为钝角三角形的两种可能，结合三角形内角和定理与邻补角的性质，计算出∠APN的取值范围，再逐一验证选项：
1. 情况一：∠APO为钝角，此时∠APO＞90°，根据邻补角关系∠APN=180°-∠APO，可得∠APN＜90°；同时结合三角形内角和，∠OAP必须为正数，可进一步确定∠APN＞30°，此范围是30°＜∠APN＜90°；
2. 情况二：∠OAP为钝角，此时∠OAP＞90°，根据三角形内角和算出∠APO＜60°，再由邻补角关系可得∠APN＞120°；
最后结合选项判断，只有选项D的度数符合第二种情况的范围。
【解析】
分两种情况分析△OAP为钝角三角形时∠APN的取值：
1. 当∠APO为钝角时：

∵ ∠APO＞90°，且∠APN+∠APO=180°（邻补角定义），

∴ ∠APN=180°-∠APO＜90°；
又
∵ 在△OAP中，∠O+∠APO+∠OAP=180°，∠O=30°，∠OAP＞0°，

∴ ∠APO=180°-30°-∠OAP＜150°，则∠APN=180°-∠APO＞30°，
即此时30°＜∠APN＜90°；
2. 当∠OAP为钝角时：

∵ ∠OAP＞90°，在△OAP中，∠O+∠APO+∠OAP=180°，∠O=30°，

∴ ∠APO=180°-30°-∠OAP＜180°-30°-90°=60°，

∵ ∠APN+∠APO=180°，

∴ ∠APN=180°-∠APO＞180°-60°=120°；
逐一分析选项：
A. 20°：不在上述范围内，且此时∠APO=160°，∠OAP=180°-30°-160°=-10°，不符合三角形内角为正数的要求，排除；
B. 30°：此时∠APO=150°，∠OAP=0°，无法构成三角形，排除；
C. 90°：此时∠APO=90°，△OAP是直角三角形，不是钝角三角形，排除；
D. 150°：此时∠APO=30°，∠OAP=180°-30°-30°=120°，是钝角，符合△OAP为钝角三角形的条件，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；邻补角的性质；钝角三角形的定义
【点评】
本题考查钝角三角形的判定与角度计算，关键在于分情况讨论钝角的位置，结合三角形内角和与邻补角性质确定角度范围，需要注意三角形内角必须为正数，避免出现不符合实际的角度情况。
【难度系数】
0.6

5. 某平板电脑支架如图所示,其中$AB=CD$,$EA=ED$,为了使用的舒适性,可调整$∠ AEC$的大小。若$∠ AEC$增大$8°$,则$∠ BDE$的变化情况是()。


A.减小$4°$
B.增大$4°$
C.减小$8°$
D.增大$8°$

5.A

【分析】
首先，根据$EA=ED$可知$△ EAD$为等腰三角形，$∠ A=∠ ADE$；其次，$∠ AEC$与$∠ AED$互补，当$∠ AEC$增大$8°$时，$∠ AED$会减小$8°$；接着利用等腰三角形内角和公式，可推出$∠ ADE$的变化量；最后结合$∠ BDE$与$∠ ADE$互为邻补角，即可得出$∠ BDE$的变化情况。
【解析】
1. 由$EA=ED$，可得$△ EAD$是等腰三角形，故$∠ A=∠ ADE$。
2. 因为$∠ AEC + ∠ AED = 180°$，当$∠ AEC$增大$8°$时，$∠ AED$减小$8°$。
3. 在$△ EAD$中，$∠ ADE = \frac{180° - ∠ AED}{2}$，当$∠ AED$减小$8°$，则$∠ ADE$增大$\frac{8°}{2}=4°$。
4. 由于$∠ ADE + ∠ BDE = 180°$，即$∠ BDE = 180° - ∠ ADE$，因此当$∠ ADE$增大$4°$时，$∠ BDE$减小$4°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，邻补角性质
【点评】
本题考查等腰三角形的内角关系与邻补角的性质，解题关键是理清各角之间的数量关系，通过角的互补关系和等腰三角形角度计算推导角的变化量，需要具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

6. 如图,$D$是$△ ABC$的边$BC$上一点,若$∠ DAC=∠ B$,$∠ ADC=97.5°$,则$∠ BAC$的度数为()。


A.$73.5°$
B.$83.5°$
C.$97.5°$
D.$107.5°$

6.C

【分析】
要解决本题，我们可以通过角的等量代换结合三角形外角性质来推导：首先，∠BAC可拆分为∠BAD与∠DAC的和，已知∠DAC=∠B，因此∠BAC=∠BAD+∠B；其次，∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠ADC=∠BAD+∠B；由此可建立∠BAC与∠ADC的等量关系，进而求出∠BAC的度数。
【解析】
在△ABD中，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B。
又
∵∠DAC=∠B，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠B，
∴∠BAC=∠ADC=97.5°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，角的和差关系
【点评】
本题重点考查三角形外角性质的灵活运用，解题的核心是通过已知的角相等关系，将所求角转化为已知的外角，整体难度较低，需要学生熟练掌握三角形外角的基本性质并能进行简单的角的等量代换。
【难度系数】
0.8

7. 下列说法正确的有()。
①三角形的外角大于它的内角;②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;③三角形的外角每个顶点处只取一个外角中至少有两个钝角;④三角形的外角都是钝角

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

7.B

【分析】
要解决这道题，需逐个分析每个关于三角形外角的说法是否正确，解题思路如下：首先回忆三角形外角的定义、性质以及三角形内角的特点；然后针对每个说法，结合具体例子或定理进行判断；最后统计正确说法的个数，匹配对应的选项。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 对于①“三角形的外角大于它的内角”：
钝角三角形中，钝角的外角是锐角，该锐角小于对应的钝角，因此此说法错误。
2. 对于②“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”：
这是三角形外角的基本性质定理，此说法正确。
3. 对于③“三角形的外角每个顶点处只取一个外角中至少有两个钝角”：
因为三角形的内角中至少有两个锐角，每个锐角对应的外角是钝角，所以每个顶点取一个外角时，至少有两个钝角，此说法正确。
4. 对于④“三角形的外角都是钝角”：
直角三角形有一个外角是直角，钝角三角形有一个外角是锐角，并非所有外角都是钝角，因此此说法错误。
综上，正确的说法是②和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质、三角形内角特征
【点评】
本题考查三角形外角的性质及三角形内角的相关特点，需要准确理解外角的定义与性质，通过举反例或依据定理判断每个说法的正误，注重对基础知识的理解与运用。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$CD⊥ AB$于点$D$,$BE⊥ AC$于点$E$,且$CD$和$BE$交于一点$P$,若$∠ A=50°$,则$∠ BPC$的度数是()。


A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$130°$

8.D

【分析】
要解决这个问题，可通过两种思路推导：
1. 利用四边形内角和：已知$CD⊥AB$、$BE⊥AC$，可得$∠ ADC=∠ AEB=90°$，结合四边形内角和为$360°$，先算出$∠ DPE$的度数，再根据对顶角相等得到$∠ BPC$的度数。
2. 利用三角形外角性质：先在$Rt△ ABE$中求出$∠ ABE$的度数，再结合$CD⊥AB$得到$∠ BDP=90°$，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，计算$∠ BPC$的度数。
【解析】
方法一：
因为$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，所以$∠ ADC = ∠ AEB = 90°$。
在四边形$ADPE$中，根据四边形内角和为$360°$，可得：
$∠ DPE = 360° - ∠ A - ∠ ADC - ∠ AEB$
$= 360° - 50° - 90° - 90° = 130°$。
又因为$∠ BPC$与$∠ DPE$是对顶角，根据对顶角相等，所以$∠ BPC = ∠ DPE = 130°$。
方法二：
在$Rt△ ABE$中，$∠ ABE = 90° - ∠ A = 90° - 50° = 40°$。
因为$CD⊥AB$，所以$∠ BDP = 90°$。
在$△ BDP$中，$∠ BPC$是外角，根据三角形外角性质（外角等于不相邻两个内角和），可得：
$∠ BPC = ∠ BDP + ∠ ABE = 90° + 40° = 130°$。
【答案】
D
【知识点】
四边形内角和、对顶角相等
【点评】
本题综合考查了四边形内角和定理、对顶角性质的应用，解题关键是通过已知的直角条件，建立已知角与所求角之间的数量关系，进行角度转化计算。
【难度系数】
0.6

9. 直接根据图示填空:
(1)$∠ α=$°; (2)$∠ α=$°;
(3)$∠ α=$°; (4)$∠ α=$°;
(5)$∠ α=$°; (6)$∠ α=$°。

9.100 35 60 70 30 70

【分析】
本题主要考查三角形内角和定理及外角性质的应用，解题思路如下：
1. 对于(1)，可利用三角形外角等于不相邻两个内角之和直接计算，也可先求出三角形第三个内角，再结合平角的定义计算∠α；
2. 对于(2)，利用对顶角相等的性质，结合两个三角形内角和相等建立等式，进而求解∠α；
3. 对于(3)，先通过平角求出150°角的邻补角，再结合直角三角形两锐角互余的性质计算∠α；
4. 对于(4)，先根据直角三角形锐角互余求出相关角的度数，再利用同角的余角相等得出∠α的度数；
5. 对于(5)，利用三角形内角和定理，将大三角形的所有内角相加等于180°，建立方程求解∠α；
6. 对于(6)，可先求出135°角的邻补角，再结合三角形内角和定理计算∠α，也可直接利用三角形外角性质建立等式求解。
【解析】
(1) 根据三角形外角性质，∠α = 38° + 62° = 100°；
(2) 由对顶角相等，可得两个三角形中：20° + ∠α = 30° + 25°，解得∠α = 30° + 25° - 20° = 35°；
(3) 150°的邻补角为180° - 150° = 30°，因为该三角形是直角三角形，所以∠α = 90° - 30° = 60°；
(4) 右边直角三角形中，另一个锐角为90° - 70° = 20°，根据同角的余角相等，可得∠α = 70°；
(5) 根据三角形内角和定理，70° + 60° + 20° + ∠α = 180°，解得∠α = 180° - 150° = 30°；
(6) 135°的邻补角为180° - 135° = 45°，根据三角形内角和定理，∠α = 180° - 20° - 45° - 45° = 70°。
【答案】
(1)$100$；(2)$35$；(3)$60$；(4)$70$；(5)$30$；(6)$70$
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角性质、直角三角形性质
【点评】
本题通过多种几何图形，综合考查三角形相关性质的应用，需要学生熟练识别图形中角的关系，灵活选择合适的定理进行角度计算，有助于强化学生对三角形基本性质的理解与运用。
【难度系数】
0.6

10. 电脑支架是我们工作学习的帮手,也隐藏着数学问题,如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图,如图②是图①的简易示图,若笔记本电脑的屏幕$AB$垂直于支架底座$CD$的位置。
(1)$∠ ABC$与$∠ BCD$的数量关系是,并写出证明过程;
(2)若图②中的撑杆$FE⊥ BC$于点$E$,试探索$∠ ABC$与$∠ DFE$的数量关系?并说明理由。

10.解:(1)∠ABC与∠BCD的数量关系是:∠ABC-
∠BCD=90°,证明如下:
延长AB交CD于点H,如图所示:
所以AB⊥CD,
所以∠BHC=90°,
因为∠ABC是△BCH的外角,
所以∠ABC=∠BHC+∠BCD,
所以∠ABC-∠BCD=∠BHC=
90°;
(2)∠ABC与∠DFE的数量关系
是:∠ABC=∠DFE,理由如下:
因为FE⊥BC于点E,
所以∠FEC=90°,
因为∠DFE是△FEC的外角,
所以∠DFE=∠FEC+∠DCB,
所以∠DFE-∠DCB=∠FEC=90°,
由(1)的结论可知:∠ABC-∠BCD=90°,
所以∠ABC-∠BCD=∠DFE-∠DCB,
所以∠ABC=∠DFE。

【分析】
(1) 要探究$∠ABC$与$∠BCD$的数量关系，已知$AB⊥CD$，可通过延长$AB$交$CD$于点$H$构造直角三角形，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）推导。$∠ABC$是$△ BCH$的外角，结合$∠BHC=90°$，就能建立$∠ABC$与$∠BCD$的数量关系。
(2) 探究$∠ABC$与$∠DFE$的数量关系，已知$FE⊥BC$，先利用三角形外角性质得出$∠DFE$与$∠BCD$的关系，再结合(1)的结论，通过等量代换即可得到两者的关系。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ABC - ∠BCD = 90°}$，证明如下：
延长$AB$交$CD$于点$H$，如图所示：
因为$AB⊥CD$，所以$∠BHC = 90°$。
因为$∠ABC$是$△ BCH$的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$∠ABC = ∠BHC + ∠BCD$。
移项可得$∠ABC - ∠BCD = ∠BHC = 90°$。
(2) $\boldsymbol{∠ABC = ∠DFE}$，理由如下：
因为$FE⊥BC$于点$E$，所以$∠FEC = 90°$。
因为$∠DFE$是$△ FEC$的外角，根据三角形外角的性质，可得$∠DFE = ∠FEC + ∠DCB$。
移项得$∠DFE - ∠DCB = ∠FEC = 90°$。
由(1)的结论可知：$∠ABC - ∠BCD = 90°$，
所以$∠ABC - ∠BCD = ∠DFE - ∠DCB$，
两边同时加上$∠BCD$，可得$∠ABC = ∠DFE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ABC - ∠BCD = 90°}$；证明见解析；
(2) $\boldsymbol{∠ABC = ∠DFE}$；理由见解析。
【知识点】
三角形外角的性质、垂直的定义
【点评】
本题主要考查三角形外角性质和垂直定义的综合应用，解题关键是通过构造辅助线或利用外角关系建立角度之间的联系，培养几何逻辑推理能力，属于基础几何题，需要熟练掌握三角形外角的相关性质。
【难度系数】
0.7