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16.在某线上购物平台,商家售卖智能手机需要关注四个方面的评分:外观设计评分,手机性能评分,拍照功能评分和售后服务评分.每个方面的评分满分均为5分,这四个方面的评分对商家的最终综合评分都有影响.只有当商家的综合评分超过4.7分时,才能被授予"优质商家"的称号.现在我们关注两家商家A和B,他们在智能手机销售中的部分评分(单位:分)已经公布.
(1)若平台考虑将外观设计评分,手机性能评分,拍照功能评分和售后服务评分的权重设为4:3:2:1计算综合评分,请为商家A计算出这一得分,并判断它是否达到了"优质商家"的标准；
(2)根据表中数据,能否判断商家B一定达到了"优质商家"的标准,若能,请给予证明;若不能,请举例说明.
(1)若平台考虑将外观设计评分,手机性能评分,拍照功能评分和售后服务评分的权重设为4:3:2:1计算综合评分,请为商家A计算出这一得分,并判断它是否达到了"优质商家"的标准；
(2)根据表中数据,能否判断商家B一定达到了"优质商家"的标准,若能,请给予证明;若不能,请举例说明.
答案
16.解:(1)商家A的综合评分为:
$\frac{4.5×4+4.9×3+5×2+4.5×1}{4+3+2+1}=4.72$(分),
∵当商家的综合评分超过4.7分时,才能被授予
"优质商家"的称号,
∴商家A达到了"优质商家"的标准.
(2)不能判断商家B一定达到了"优质商家"的
标准,
理由:当四项评分同等重要时,商家B的综合评分
为$(4.8+4.6+4.6+4.8)÷4=4.7$,
∵当商家的综合评分超过4.7分时,才能被授予
"优质商家"的称号,
而商家B的综合评分为4.7分,
∴商家B不一定达到了"优质商家"的标准.
$\frac{4.5×4+4.9×3+5×2+4.5×1}{4+3+2+1}=4.72$(分),
∵当商家的综合评分超过4.7分时,才能被授予
"优质商家"的称号,
∴商家A达到了"优质商家"的标准.
(2)不能判断商家B一定达到了"优质商家"的
标准,
理由:当四项评分同等重要时,商家B的综合评分
为$(4.8+4.6+4.6+4.8)÷4=4.7$,
∵当商家的综合评分超过4.7分时,才能被授予
"优质商家"的称号,
而商家B的综合评分为4.7分,
∴商家B不一定达到了"优质商家"的标准.
17. 如图,在$△ ABC$中,$BC=2$,$AC=4$,$AB$的垂直平分线$DE$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,交$BC$的延长线于点$F$,连接$AF$,且$AD=\sqrt{5}$.
(1)求证:$∠ BCA=90°$;
(2)求$AF$的长.
(1)求证:$∠ BCA=90°$;
(2)求$AF$的长.
答案
17.(1)证明:
∵DE垂直平分AB,$AD=\sqrt{5}$,
∴$AB=2\sqrt{5}$.
∵在$△ABC$中,$BC=2$,$AC=4$,$AB=2\sqrt{5}$,
∴$BC^2+AC^2=20=AB^2$,
∴$∠BCA=90°$.
(2)解:
∵直线DF是线段AB的垂直平分线,
∴$BF=AF$,
∴$CF=BF-BC=AF-2$.
∵$∠ACF=90°$,$∴CF^2+AC^2=AF^2$,
∴$(AF-2)^2+4^2=AF^2$,
∴$AF=5$,即AF的长为5.
∵DE垂直平分AB,$AD=\sqrt{5}$,
∴$AB=2\sqrt{5}$.
∵在$△ABC$中,$BC=2$,$AC=4$,$AB=2\sqrt{5}$,
∴$BC^2+AC^2=20=AB^2$,
∴$∠BCA=90°$.
(2)解:
∵直线DF是线段AB的垂直平分线,
∴$BF=AF$,
∴$CF=BF-BC=AF-2$.
∵$∠ACF=90°$,$∴CF^2+AC^2=AF^2$,
∴$(AF-2)^2+4^2=AF^2$,
∴$AF=5$,即AF的长为5.
