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10. 用完全平方公式计算$(a^n - a)^2$，计算结果正确的是(
A.$a^{n^2} - 2a^n + a^2$
B.$a^{n^2} - 2a^{n + 1} + a^2$
C.$a^{2n} - 2a^{n + 1} + a^2$
D.$a^{2n} + 2a^{n + 1} + a^2$
C
)A.$a^{n^2} - 2a^n + a^2$
B.$a^{n^2} - 2a^{n + 1} + a^2$
C.$a^{2n} - 2a^{n + 1} + a^2$
D.$a^{2n} + 2a^{n + 1} + a^2$
答案
10. C 解析：$(a^n - a)^2 = (a^n)^2 - 2 · a^n · a + a^2 = a^{2n} - 2a^{n + 1} + a^2$。
11. 若$M = (x - 3)^2$，$N = (x + 1)(x - 7)$，则$M$与$N$的大小关系为(
A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.由$x$的取值而定
A
)A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.由$x$的取值而定
答案
11. A 解析：$\because M = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$，$N = (x + 1)(x - 7) = x^2 - 6x - 7$，$\therefore M - N = (x^2 - 6x + 9) - (x^2 - 6x - 7) = 9 + 7 = 16 ＞ 0$，$\therefore M ＞ N$。
12. 如图，小明利用四张长为$a$、宽为$b$的长方形卡片拼成下边的图形，根据图中的面积关系能验证的恒等式为(
A.$(a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$
B.$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$
C.$(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
D.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
B
)A.$(a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$
B.$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$
C.$(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
D.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
答案
12. B 解析：$\because$用整体和各部分求和两种方法表示题图的面积分别为$(a + b)^2$和$(a - b)^2 + 4ab$，$\therefore$可得恒等式$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$。
13. (1)已知$x + y = 8$，$xy = 6$，则$(x - y)^2 =$
(2)若$a + b = 6$，$ab = -1$，则$(a - b)^2 =$
(3)已知$(m + n)^2 = 49$，$(m - n)^2 = 9$，则$mn =$
$40$
.(2)若$a + b = 6$，$ab = -1$，则$(a - b)^2 =$
$40$
.(3)已知$(m + n)^2 = 49$，$(m - n)^2 = 9$，则$mn =$
$10$
.答案
13. (1)$40$ 解析：$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$，当$x + y = 8$，$xy = 6$时，原式$= 8^2 - 4 × 6 = 40$。 (2)$40$ 解析：$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 6^2 - 4 × (-1) = 40$。 (3)$10$ 解析：$4mn = (m + n)^2 - (m - n)^2 = 49 - 9 = 40$，$\therefore mn = 10$。
解析
(1)$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$，当$x + y = 8$，$xy = 6$时，原式$= 8^2 - 4×6 = 64 - 24 = 40$。
(2)$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，当$a + b = 6$，$ab = -1$时，原式$= 6^2 - 4×(-1) = 36 + 4 = 40$。
(3)$(m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn$，当$(m + n)^2 = 49$，$(m - n)^2 = 9$时，$4mn = 49 - 9 = 40$，$\therefore mn = 10$。
(2)$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，当$a + b = 6$，$ab = -1$时，原式$= 6^2 - 4×(-1) = 36 + 4 = 40$。
(3)$(m + n)^2 - (m - n)^2 = 4mn$，当$(m + n)^2 = 49$，$(m - n)^2 = 9$时，$4mn = 49 - 9 = 40$，$\therefore mn = 10$。
14. 已知$2a^2 - 3a - 4 = 0$，求$(a - 1)^2 + \dfrac{1}{2}(a - 3)$的值.
答案
14. $\because 2a^2 - 3a - 4 = 0$，$\therefore 2a^2 - 3a = 4$，$\therefore (a - 1)^2 + \dfrac{1}{2}(a - 3) = a^2 - 2a + 1 + \dfrac{1}{2}a - \dfrac{3}{2} = a^2 - \dfrac{3}{2}a - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}(2a^2 - 3a - 1) = \dfrac{1}{2} × (4 - 1) = \dfrac{3}{2}$。
15. 若$x$、$y$满足$x^2 + y^2 = \dfrac{5}{4}$，$xy = -\dfrac{1}{2}$，求下列各式的值：
（1）$(x + y)^2$；
（2）$x^4 + y^4$.
（1）$(x + y)^2$；
（2）$x^4 + y^4$.
答案
15. (1)$\because x^2 + y^2 = \dfrac{5}{4}$，$xy = -\dfrac{1}{2}$，$\therefore$原式$= x^2 + y^2 + 2xy = \dfrac{5}{4} - 1 = \dfrac{1}{4}$。 (2)$\because x^2 + y^2 = \dfrac{5}{4}$，$xy = -\dfrac{1}{2}$，$\therefore$原式$= (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (\dfrac{5}{4})^2 - 2 × (-\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{25}{16} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{16}$。
16. 如图，正方形$ABCD$的边长为$a$，点$E$在边$AB$上，四边形$EFGB$也是正方形，它的边长为$b(a ＞ b)$，连接$AF$、$CF$、$AC$.
(1)用含$a$、$b$的代数式表示$GC =$
(2)若两个正方形的面积之和为$60$，即$a^2 + b^2 = 60$，且$ab = 20$，求图中线段$GC$的长.
(3)若$a = 8$，$△ AFC$的面积为$S$，则$S =$
]
(1)用含$a$、$b$的代数式表示$GC =$
$a + b$
.(2)若两个正方形的面积之和为$60$，即$a^2 + b^2 = 60$，且$ab = 20$，求图中线段$GC$的长.
(3)若$a = 8$，$△ AFC$的面积为$S$，则$S =$
$32$
.]答案
16. (1)$a + b$ (2)$\because (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 60 + 2 × 20 = 100$，$\therefore a + b = 10$，即$GC = 10$。 (3)$32$ 解析：$S = S_{△ AFE} + S_{正方形EFGB} + S_{△ ABC} - S_{△ FGC} = \dfrac{1}{2}b(a - b) + b^2 + \dfrac{1}{2}a^2 - \dfrac{1}{2}b(b + a) = \dfrac{1}{2}ab - \dfrac{1}{2}b^2 + b^2 + \dfrac{1}{2}a^2 - \dfrac{1}{2}b^2 - \dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}a^2 = \dfrac{1}{2} × 8^2 = 32$。
解析
(1) $a + b$
(2) $\because (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$，$a^2 + b^2 = 60$，$ab = 20$，$\therefore (a + b)^2 = 60 + 2×20 = 100$，$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore a + b = 10$，即$GC = 10$。
(3) $32$
(2) $\because (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$，$a^2 + b^2 = 60$，$ab = 20$，$\therefore (a + b)^2 = 60 + 2×20 = 100$，$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore a + b = 10$，即$GC = 10$。
(3) $32$
