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7. 下面两个变形：
① $-4x - 1 = -5$ 变形成 $-4x = -5 + 1$；
② $x + 6 + 7x = x + 7x + 6$。
下列说法正确的是(
A.①变形的依据是加法交换律，②变形是移项
B.两个变形均为移项
C.①变形是移项，②变形的依据是加法交换律
D.两个变形的依据均为加法交换律
① $-4x - 1 = -5$ 变形成 $-4x = -5 + 1$；
② $x + 6 + 7x = x + 7x + 6$。
下列说法正确的是(
C
)。A.①变形的依据是加法交换律，②变形是移项
B.两个变形均为移项
C.①变形是移项，②变形的依据是加法交换律
D.两个变形的依据均为加法交换律
答案
7. C
解析
【分析】
我们首先明确移项和加法交换律的核心差异：移项的本质是将方程中的某一项从等号的一侧移动到另一侧，必须跨过等号且同步改变该项的符号，依据是等式的性质1；加法交换律是在等号的同一侧调整多个加数的先后顺序，所有项都不跨过等号，也不需要改变符号。接下来我们逐一判断两个变形：第一步先判断变形①：原方程中-1从等号左侧移动到了等号右侧，同时符号从负变正，属于移项操作，不符合加法交换律的特征。第二步判断变形②：所有项都始终在等号的同一侧，仅交换了6和7x两个加数的顺序，完全符合加法交换律的形式，不属于移项。最后对照选项即可选出正确答案。
【解析】
我们分别对两个变形的本质进行判定：
1. 判定变形①：
对等式$-4x - 1 = -5$，根据等式的性质1，在等式两边同时加1，可得$-4x -1 +1 = -5 +1$，化简后得到$-4x = -5 +1$，该操作是将左侧的$-1$变号后移动到等号右侧，属于移项。
2. 判定变形②：
等式$x + 6 + 7x = x + 7x + 6$中，所有项都位于等号的左侧，仅交换了加数6和7x的位置，没有项跨过等号，变形的依据是加法交换律，不属于移项。
因此①变形是移项，②变形的依据是加法交换律，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
移项定义，加法交换律，等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程章节的基础概念辨析题，易错点是混淆移项和加法交换律的区别，很多同学会误以为交换项的位置就是移项，解题时要牢牢记住移项的核心特征是项必须跨等号移动，同一侧调整项的顺序不属于移项。
【难度系数】
0.7
我们首先明确移项和加法交换律的核心差异：移项的本质是将方程中的某一项从等号的一侧移动到另一侧，必须跨过等号且同步改变该项的符号，依据是等式的性质1；加法交换律是在等号的同一侧调整多个加数的先后顺序，所有项都不跨过等号，也不需要改变符号。接下来我们逐一判断两个变形：第一步先判断变形①：原方程中-1从等号左侧移动到了等号右侧，同时符号从负变正，属于移项操作，不符合加法交换律的特征。第二步判断变形②：所有项都始终在等号的同一侧，仅交换了6和7x两个加数的顺序，完全符合加法交换律的形式，不属于移项。最后对照选项即可选出正确答案。
【解析】
我们分别对两个变形的本质进行判定：
1. 判定变形①：
对等式$-4x - 1 = -5$，根据等式的性质1，在等式两边同时加1，可得$-4x -1 +1 = -5 +1$，化简后得到$-4x = -5 +1$，该操作是将左侧的$-1$变号后移动到等号右侧，属于移项。
2. 判定变形②：
等式$x + 6 + 7x = x + 7x + 6$中，所有项都位于等号的左侧，仅交换了加数6和7x的位置，没有项跨过等号，变形的依据是加法交换律，不属于移项。
因此①变形是移项，②变形的依据是加法交换律，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
移项定义，加法交换律，等式的性质
【点评】
本题属于一元一次方程章节的基础概念辨析题，易错点是混淆移项和加法交换律的区别，很多同学会误以为交换项的位置就是移项，解题时要牢牢记住移项的核心特征是项必须跨等号移动，同一侧调整项的顺序不属于移项。
【难度系数】
0.7
8. 若代数式 $x - 5$ 与 $1 - 2x$ 互为相反数，则 $x =$
$-4$
。答案
8. $ -4 $
解析
因为代数式$x - 5$与$1 - 2x$互为相反数，所以$(x - 5) + (1 - 2x) = 0$，
去括号得：$x - 5 + 1 - 2x = 0$，
合并同类项得：$-x - 4 = 0$，
移项得：$-x = 4$，
解得：$x = -4$。
$-4$
去括号得：$x - 5 + 1 - 2x = 0$，
合并同类项得：$-x - 4 = 0$，
移项得：$-x = 4$，
解得：$x = -4$。
$-4$
9. 解下列方程：
（1）$8m + 11 - 2m = 16 - 4m$；
（2）$1 = 30 + 4x - 5$；
（3）$\frac{5}{6} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}$；
（4）$\frac{x}{2} = x + 6$。
（1）$8m + 11 - 2m = 16 - 4m$；
（2）$1 = 30 + 4x - 5$；
（3）$\frac{5}{6} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}$；
（4）$\frac{x}{2} = x + 6$。
答案
9. (1) $ m = 0.5 $。 (2) $ x = -6 $。 (3) $ x = 2 $。(4) $ x = -12 $。
解析
（1）解：$8m + 11 - 2m = 16 - 4m$
$6m + 11 = 16 - 4m$
$6m + 4m = 16 - 11$
$10m = 5$
$m = \frac{5}{10} = 0.5$
（2）解：$1 = 30 + 4x - 5$
$1 = 25 + 4x$
$4x = 1 - 25$
$4x = -24$
$x = -6$
（3）解：$\frac{5}{6} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}x = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}$
$\frac{1}{4}x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2} × 4 = 2$
（4）解：$\frac{x}{2} = x + 6$
$x = 2x + 12$
$x - 2x = 12$
$-x = 12$
$x = -12$
$6m + 11 = 16 - 4m$
$6m + 4m = 16 - 11$
$10m = 5$
$m = \frac{5}{10} = 0.5$
（2）解：$1 = 30 + 4x - 5$
$1 = 25 + 4x$
$4x = 1 - 25$
$4x = -24$
$x = -6$
（3）解：$\frac{5}{6} = \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}x = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}x = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}$
$\frac{1}{4}x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2} × 4 = 2$
（4）解：$\frac{x}{2} = x + 6$
$x = 2x + 12$
$x - 2x = 12$
$-x = 12$
$x = -12$
10. 下面是某同学的作业，请你判断他的解法对不对。若不对，错在哪里，应怎样改正。
$3x + 2 = 5x + 12$。
$3x + 2 = 5x + 12$。
答案
10. 解：不对。错在第一步移项。改正如下：
移项，得 $ 3x - 5x = 12 - 2 $。
合并同类项，得 $ -2x = 10 $。
方程的两边都除以 $ -2 $，得 $ x = -5 $。
移项，得 $ 3x - 5x = 12 - 2 $。
合并同类项，得 $ -2x = 10 $。
方程的两边都除以 $ -2 $，得 $ x = -5 $。
解析
【分析】
我们首先回忆解一元一次方程的移项核心规则：将方程中的项从等号的一侧移动到另一侧时，必须改变该项的符号，等号同侧的项交换位置不需要变号。首先先判断该同学的解法正误，很明显他出错在移项步骤，移动项时没有同步改变符号，接下来我们按照正确的规则，把含未知数x的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意所有跨等号移动的项都要变号，之后依次完成合并同类项、系数化为1的步骤，就能得到正确的方程解。
【解析】
该同学的解法不对，错误出在移项步骤：移项时跨等号移动的项没有改变符号，违反了移项的基本规则。
正确解题过程如下：
1. 移项：将等号右侧的5x移到左侧变为-5x，将等号左侧的+2移到右侧变为-2，得到：
$3x - 5x = 12 - 2$
2. 合并同类项：左侧计算得$-2x$，右侧计算得$10$，即：
$-2x = 10$
3. 系数化为1：方程两边同时除以$-2$，得：
$x = -5$
【答案】
该同学解法不对，错在第一步移项，移项时移动的项未变号。改正如下：移项，得 $ 3x - 5x = 12 - 2 $。合并同类项，得 $ -2x = 10 $。方程的两边都除以 $ -2 $，得 $ x = -5 $。
【知识点】
移项法则，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程求解的典型易错题，重点考察对移项规则的掌握，要注意区分跨等号移项和等号同侧调换项位置的差异：只有跨等号移动的项才需要变号，原本在等号同侧不移动的项符号保持不变，避免出现移项忘变号的低级错误。
【难度系数】
0.7
我们首先回忆解一元一次方程的移项核心规则：将方程中的项从等号的一侧移动到另一侧时，必须改变该项的符号，等号同侧的项交换位置不需要变号。首先先判断该同学的解法正误，很明显他出错在移项步骤，移动项时没有同步改变符号，接下来我们按照正确的规则，把含未知数x的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意所有跨等号移动的项都要变号，之后依次完成合并同类项、系数化为1的步骤，就能得到正确的方程解。
【解析】
该同学的解法不对，错误出在移项步骤：移项时跨等号移动的项没有改变符号，违反了移项的基本规则。
正确解题过程如下：
1. 移项：将等号右侧的5x移到左侧变为-5x，将等号左侧的+2移到右侧变为-2，得到：
$3x - 5x = 12 - 2$
2. 合并同类项：左侧计算得$-2x$，右侧计算得$10$，即：
$-2x = 10$
3. 系数化为1：方程两边同时除以$-2$，得：
$x = -5$
【答案】
该同学解法不对，错在第一步移项，移项时移动的项未变号。改正如下：移项，得 $ 3x - 5x = 12 - 2 $。合并同类项，得 $ -2x = 10 $。方程的两边都除以 $ -2 $，得 $ x = -5 $。
【知识点】
移项法则，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程求解的典型易错题，重点考察对移项规则的掌握，要注意区分跨等号移项和等号同侧调换项位置的差异：只有跨等号移动的项才需要变号，原本在等号同侧不移动的项符号保持不变，避免出现移项忘变号的低级错误。
【难度系数】
0.7
11. 若关于 $x$ 的方程 $kx - 3x = 24$ 与 $2x - 1 = 5$ 的解相同，求 $k$ 的值。
答案
11. 解：解方程 $ 2x - 1 = 5 $，
得 $ x = 3 $。
将 $ x = 3 $ 代入 $ kx - 3x = 24 $，
得 $ 3k - 3×3 = 24 $，
即 $ 3k - 9 = 24 $，
移项，得 $ 3k = 24 + 9 $。
合并同类项，得 $ 3k = 33 $。
方程的两边都除以 3，得 $ k = 11 $。
得 $ x = 3 $。
将 $ x = 3 $ 代入 $ kx - 3x = 24 $，
得 $ 3k - 3×3 = 24 $，
即 $ 3k - 9 = 24 $，
移项，得 $ 3k = 24 + 9 $。
合并同类项，得 $ 3k = 33 $。
方程的两边都除以 3，得 $ k = 11 $。
解析
【分析】
这是典型的同解方程问题，解题思路可以拆分为两步：第一步先求解不含未知参数k的方程$2x-1=5$，直接算出x的具体取值；第二步利用两个方程解相同的条件，把刚才得到的x的值代入带参数k的方程$kx-3x=24$中，此时方程就转化为只含未知数k的一元一次方程，解这个新方程就能得到k的结果。
【解析】
1. 先求解无参数的一元一次方程$2x - 1 = 5$：
移项可得：$2x = 5 + 1$，
合并同类项得：$2x = 6$，
系数化为1，解得：$x = 3$。
2. 由于两个方程的解完全相同，将$x=3$代入方程$kx - 3x = 24$：
代入后得到：$3k - 3×3 = 24$，
化简得：$3k - 9 = 24$，
移项可得：$3k = 24 + 9$，
合并同类项得：$3k = 33$，
方程两边同时除以3，系数化为1，解得：$k = 11$。
【答案】
$k=11$
【知识点】
一元一次方程求解，同解方程性质
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础常规题型，核心考察对同解概念的理解应用，解题逻辑清晰，计算难度低，只要掌握一元一次方程的基本求解步骤，代入数值时注意运算准确就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.8
这是典型的同解方程问题，解题思路可以拆分为两步：第一步先求解不含未知参数k的方程$2x-1=5$，直接算出x的具体取值；第二步利用两个方程解相同的条件，把刚才得到的x的值代入带参数k的方程$kx-3x=24$中，此时方程就转化为只含未知数k的一元一次方程，解这个新方程就能得到k的结果。
【解析】
1. 先求解无参数的一元一次方程$2x - 1 = 5$：
移项可得：$2x = 5 + 1$，
合并同类项得：$2x = 6$，
系数化为1，解得：$x = 3$。
2. 由于两个方程的解完全相同，将$x=3$代入方程$kx - 3x = 24$：
代入后得到：$3k - 3×3 = 24$，
化简得：$3k - 9 = 24$，
移项可得：$3k = 24 + 9$，
合并同类项得：$3k = 33$，
方程两边同时除以3，系数化为1，解得：$k = 11$。
【答案】
$k=11$
【知识点】
一元一次方程求解，同解方程性质
【点评】
本题是一元一次方程章节的基础常规题型，核心考察对同解概念的理解应用，解题逻辑清晰，计算难度低，只要掌握一元一次方程的基本求解步骤，代入数值时注意运算准确就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.8
12. 某同学在解关于 $x$ 的方程 $3a = 2x + 15$ 时，在移项过程中 $2x$ 没有改变符号，得到的方程的解为 $x = 3$。求 $a$ 的值及原方程的解。
答案
12. 解：根据题意知， $ x = 3 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ 2x = 15 - 3a $ 的解，
所以 $ 2×3 = 15 - 3a $，解得 $ a = 3 $。
把 $ a = 3 $ 代入原方程，得 $ 3×3 = 2x + 15 $，
所以 $ 2x = -6 $，解得 $ x = -3 $。
因此， $ a $ 的值是 3，原方程的解是 $ x = -3 $。
所以 $ 2×3 = 15 - 3a $，解得 $ a = 3 $。
把 $ a = 3 $ 代入原方程，得 $ 3×3 = 2x + 15 $，
所以 $ 2x = -6 $，解得 $ x = -3 $。
因此， $ a $ 的值是 3，原方程的解是 $ x = -3 $。
解析
【分析】
我们可以按照三步思路来解题：第一步先还原同学写错的错误方程，题目说明移项时2x没有改变符号，原本移项要把2x移到等号另一侧时需要变号，他没改符号，因此得到的错误方程是2x=15-3a；第二步，已知这个错误方程的解是x=3，把x=3代入错误方程，就能直接求出参数a的值；第三步，把算出的a代回原本的正确方程，按照正常解一元一次方程的步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：
1. 确定错误方程：根据题意，该同学移项过程中未将2x变号，因此他实际求解的错误方程为$2x = 15 - 3a$，且该方程的解为$x=3$。
2. 代入错解求a的值：
把$x=3$代入错误方程，得：
$2× 3 = 15 - 3a$
化简得$6 = 15 - 3a$，移项整理得$3a=15-6$，即$3a=9$，解得$a=3$。
3. 代入a求解原方程：
把$a=3$代入原方程$3a = 2x + 15$，得：
$3× 3 = 2x + 15$
化简得$9 = 2x + 15$，移项得$2x=9-15$，即$2x=-6$，系数化为1得$x=-3$。
【答案】
$a$的值是3，原方程的解是$x=-3$
【知识点】
一元一次方程的解，移项法则，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解反推类题型，核心考察对“移项要变号”规则的掌握，这类题的通用解法就是先通过错解对应的错误方程求出未知参数，再代入原方程求正确解，能帮助学生加深对移项规则的理解，规避移项忘变号的高频错误。
【难度系数】
0.6
我们可以按照三步思路来解题：第一步先还原同学写错的错误方程，题目说明移项时2x没有改变符号，原本移项要把2x移到等号另一侧时需要变号，他没改符号，因此得到的错误方程是2x=15-3a；第二步，已知这个错误方程的解是x=3，把x=3代入错误方程，就能直接求出参数a的值；第三步，把算出的a代回原本的正确方程，按照正常解一元一次方程的步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：
1. 确定错误方程：根据题意，该同学移项过程中未将2x变号，因此他实际求解的错误方程为$2x = 15 - 3a$，且该方程的解为$x=3$。
2. 代入错解求a的值：
把$x=3$代入错误方程，得：
$2× 3 = 15 - 3a$
化简得$6 = 15 - 3a$，移项整理得$3a=15-6$，即$3a=9$，解得$a=3$。
3. 代入a求解原方程：
把$a=3$代入原方程$3a = 2x + 15$，得：
$3× 3 = 2x + 15$
化简得$9 = 2x + 15$，移项得$2x=9-15$，即$2x=-6$，系数化为1得$x=-3$。
【答案】
$a$的值是3，原方程的解是$x=-3$
【知识点】
一元一次方程的解，移项法则，解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解反推类题型，核心考察对“移项要变号”规则的掌握，这类题的通用解法就是先通过错解对应的错误方程求出未知参数，再代入原方程求正确解，能帮助学生加深对移项规则的理解，规避移项忘变号的高频错误。
【难度系数】
0.6
13. 先阅读材料，再解答问题。
解方程 $|x - 5| = 2$，我们可以将 $x - 5$ 视为一个整体。因为绝对值为2的数为2或$-2$，所以 $x - 5 = 2$ 或 $x - 5 = -2$，解得 $x = 7$ 或 $x = 3$。
请按照上面的解法解方程：$\left|\frac{1}{2}x + 3\right| = 6$。
解方程 $|x - 5| = 2$，我们可以将 $x - 5$ 视为一个整体。因为绝对值为2的数为2或$-2$，所以 $x - 5 = 2$ 或 $x - 5 = -2$，解得 $x = 7$ 或 $x = 3$。
请按照上面的解法解方程：$\left|\frac{1}{2}x + 3\right| = 6$。
答案
13. 解：当 $ \frac{1}{2}x + 3 $ 是正数时，原方程可化为 $ \frac{1}{2}x + 3 = 6 $，
解得 $ x = 6 $。
当 $ \frac{1}{2}x + 3 $ 是负数时，原方程可化为 $ \frac{1}{2}x + 3 = -6 $，
解得 $ x = -18 $。
综上，原方程的解为 $ x = 6 $ 或 $ x = -18 $。
解得 $ x = 6 $。
当 $ \frac{1}{2}x + 3 $ 是负数时，原方程可化为 $ \frac{1}{2}x + 3 = -6 $，
解得 $ x = -18 $。
综上，原方程的解为 $ x = 6 $ 或 $ x = -18 $。
解析
【分析】
这是一道材料引导型的绝对值方程求解题目，解题思路可以直接参考题干给出的示例：首先回忆绝对值的核心性质，即绝对值等于某正数的数有两个，分别是这个正数本身和它的相反数；我们把绝对值符号内的代数式$\frac{1}{2}x+3$当作一个整体，类比材料中将$x-5$视为整体的思路，把原绝对值方程拆成两个普通的一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程，最后汇总得到原方程的全部解即可，解题时要注意不要遗漏绝对值取负值的情况。
【解析】
解：根据绝对值的性质，绝对值为6的数是6或-6，因此分两种情况讨论：
1. 当$\frac{1}{2}x + 3$为非负数时，原方程可化为：
$\frac{1}{2}x + 3 = 6$
移项计算得$\frac{1}{2}x = 3$，两边同时乘2，解得$x = 6$。
2. 当$\frac{1}{2}x + 3$为负数时，原方程可化为：
$\frac{1}{2}x + 3 = -6$
移项计算得$\frac{1}{2}x = -9$，两边同时乘2，解得$x = -18$。
综上，两个解均符合要求，得到原方程的全部解。
【答案】
原方程的解为 $x = 6$ 或 $x = -18$
【知识点】
绝对值的性质，解一元一次方程，整体代换思想
【点评】
本题属于基础材料阅读类题型，引导学生将已学的绝对值概念拓展应用到带绝对值的一元一次方程求解中，整体难度不高，最常见的易错点是遗漏绝对值取负的分支导致漏解，读懂材料给出的示例思路后就可以顺利完成求解。
【难度系数】
0.8
这是一道材料引导型的绝对值方程求解题目，解题思路可以直接参考题干给出的示例：首先回忆绝对值的核心性质，即绝对值等于某正数的数有两个，分别是这个正数本身和它的相反数；我们把绝对值符号内的代数式$\frac{1}{2}x+3$当作一个整体，类比材料中将$x-5$视为整体的思路，把原绝对值方程拆成两个普通的一元一次方程，分别求解这两个一元一次方程，最后汇总得到原方程的全部解即可，解题时要注意不要遗漏绝对值取负值的情况。
【解析】
解：根据绝对值的性质，绝对值为6的数是6或-6，因此分两种情况讨论：
1. 当$\frac{1}{2}x + 3$为非负数时，原方程可化为：
$\frac{1}{2}x + 3 = 6$
移项计算得$\frac{1}{2}x = 3$，两边同时乘2，解得$x = 6$。
2. 当$\frac{1}{2}x + 3$为负数时，原方程可化为：
$\frac{1}{2}x + 3 = -6$
移项计算得$\frac{1}{2}x = -9$，两边同时乘2，解得$x = -18$。
综上，两个解均符合要求，得到原方程的全部解。
【答案】
原方程的解为 $x = 6$ 或 $x = -18$
【知识点】
绝对值的性质，解一元一次方程，整体代换思想
【点评】
本题属于基础材料阅读类题型，引导学生将已学的绝对值概念拓展应用到带绝对值的一元一次方程求解中，整体难度不高，最常见的易错点是遗漏绝对值取负的分支导致漏解，读懂材料给出的示例思路后就可以顺利完成求解。
【难度系数】
0.8
