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例 利用完全平方公式计算：$102^{2}+98^{2}$。
答案
[解答] 原式$=(100 + 2)^{2}+(100 - 2)^{2}$
$=100^{2}+2×100×2 + 2^{2}+100^{2}-2×100×2 + 2^{2}$
$=10000 + 400 + 4 + 10000 - 400 + 4$
$=20008$
$=100^{2}+2×100×2 + 2^{2}+100^{2}-2×100×2 + 2^{2}$
$=10000 + 400 + 4 + 10000 - 400 + 4$
$=20008$
解析
【分析】
这道题如果直接分别计算102²和98²再相加，数值较大容易计算出错。我们观察到102和98都非常接近整百数100，因此可以把102改写为100+2，98改写为100-2，这样两个式子分别套用完全平方和、完全平方差公式展开后，含2×100×2的正项和负项可以直接抵消，剩下的都是容易计算的整百平方和小整数的平方，大幅降低计算难度，快速得到正确结果。
【解析】
解：先对原式的两个底数做凑整变形，再代入完全平方公式展开计算：
1. 拆分底数凑整
原式$=(100 + 2)^{2}+(100 - 2)^{2}$
2. 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开两个平方项
$=100^{2}+2×100×2 + 2^{2}+100^{2}-2×100×2 + 2^{2}$
3. 抵消互为相反数的项，计算剩余部分
$=10000 + 400 + 4 + 10000 - 400 + 4$
$=20008$
【答案】
20008
【知识点】
完全平方公式，有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式用于速算的典型基础例题，核心思路是将接近整十、整百的大数拆分为整十/整百数与一个极小整数的和或差，利用完全平方展开后交叉项正负抵消的特性，避免复杂的大数乘法运算，既提升计算速度也能降低出错概率，是整式乘法公式在实际计算中的常用技巧。
【难度系数】
0.8
这道题如果直接分别计算102²和98²再相加，数值较大容易计算出错。我们观察到102和98都非常接近整百数100，因此可以把102改写为100+2，98改写为100-2，这样两个式子分别套用完全平方和、完全平方差公式展开后，含2×100×2的正项和负项可以直接抵消，剩下的都是容易计算的整百平方和小整数的平方，大幅降低计算难度，快速得到正确结果。
【解析】
解：先对原式的两个底数做凑整变形，再代入完全平方公式展开计算：
1. 拆分底数凑整
原式$=(100 + 2)^{2}+(100 - 2)^{2}$
2. 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开两个平方项
$=100^{2}+2×100×2 + 2^{2}+100^{2}-2×100×2 + 2^{2}$
3. 抵消互为相反数的项，计算剩余部分
$=10000 + 400 + 4 + 10000 - 400 + 4$
$=20008$
【答案】
20008
【知识点】
完全平方公式，有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式用于速算的典型基础例题，核心思路是将接近整十、整百的大数拆分为整十/整百数与一个极小整数的和或差，利用完全平方展开后交叉项正负抵消的特性，避免复杂的大数乘法运算，既提升计算速度也能降低出错概率，是整式乘法公式在实际计算中的常用技巧。
【难度系数】
0.8
1. 下列计算正确的是(
A.$(2x - 3y)^{2}=4x^{2}-9y^{2}$
B.$(a + 2b)^{2}=a^{2}+4b^{2}$
C.$(x + 3y)(x - 3y)=x^{2}-9y^{2}$
D.$(-a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$
C
)。A.$(2x - 3y)^{2}=4x^{2}-9y^{2}$
B.$(a + 2b)^{2}=a^{2}+4b^{2}$
C.$(x + 3y)(x - 3y)=x^{2}-9y^{2}$
D.$(-a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
这道题是整式乘法公式的正误判断题，解题思路是先回忆两个核心乘法公式的形式：完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，再逐个将每个选项的左侧按照对应公式展开，和选项给出的右侧结果比对，排除错误选项即可得到正确答案。要特别注意完全平方公式展开后存在交叉的2ab项，不能遗漏，同时要先判断算式符合哪个公式的适用条件再计算。
【解析】
我们逐个验证四个选项：
1. 验证选项A：
根据完全平方公式展开$(2x - 3y)^2$：
$(2x - 3y)^2=(2x)^2 - 2·2x·3y + (3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$，和选项给出的$4x^2-9y^2$相比遗漏了中间项$-12xy$，因此A错误。
2. 验证选项B：
根据完全平方公式展开$(a + 2b)^2$：
$(a + 2b)^2=a^2 + 2· a·2b + (2b)^2=a^2+4ab+4b^2$，和选项给出的$a^2+4b^2$相比遗漏了中间项$+4ab$，因此B错误。
3. 验证选项C：
该式符合平方差公式的形式，相同项为$x$，互为相反数的项为$3y$和$-3y$，展开得：
$(x + 3y)(x - 3y)=x^2-(3y)^2=x^2-9y^2$，和选项给出的结果完全一致，因此C正确。
4. 验证选项D：
先对原式变形：$(-a - b)(a + b)=-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2$，展开得$-(a^2+2ab+b^2)=-a^2-2ab-b^2$，和选项给出的$a^2-b^2$完全不符，因此D错误。
综上，只有C选项计算正确。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于整式乘法的基础辨析题，易错点是很多初学者容易混淆完全平方和平方差公式，习惯性遗漏完全平方展开后的交叉2ab项，解题时要先判断算式的结构符合哪个公式的适用条件，再代入公式计算，不要主观省略运算步骤。
【难度系数】
0.8
这道题是整式乘法公式的正误判断题，解题思路是先回忆两个核心乘法公式的形式：完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，再逐个将每个选项的左侧按照对应公式展开，和选项给出的右侧结果比对，排除错误选项即可得到正确答案。要特别注意完全平方公式展开后存在交叉的2ab项，不能遗漏，同时要先判断算式符合哪个公式的适用条件再计算。
【解析】
我们逐个验证四个选项：
1. 验证选项A：
根据完全平方公式展开$(2x - 3y)^2$：
$(2x - 3y)^2=(2x)^2 - 2·2x·3y + (3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$，和选项给出的$4x^2-9y^2$相比遗漏了中间项$-12xy$，因此A错误。
2. 验证选项B：
根据完全平方公式展开$(a + 2b)^2$：
$(a + 2b)^2=a^2 + 2· a·2b + (2b)^2=a^2+4ab+4b^2$，和选项给出的$a^2+4b^2$相比遗漏了中间项$+4ab$，因此B错误。
3. 验证选项C：
该式符合平方差公式的形式，相同项为$x$，互为相反数的项为$3y$和$-3y$，展开得：
$(x + 3y)(x - 3y)=x^2-(3y)^2=x^2-9y^2$，和选项给出的结果完全一致，因此C正确。
4. 验证选项D：
先对原式变形：$(-a - b)(a + b)=-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2$，展开得$-(a^2+2ab+b^2)=-a^2-2ab-b^2$，和选项给出的$a^2-b^2$完全不符，因此D错误。
综上，只有C选项计算正确。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于整式乘法的基础辨析题，易错点是很多初学者容易混淆完全平方和平方差公式，习惯性遗漏完全平方展开后的交叉2ab项，解题时要先判断算式的结构符合哪个公式的适用条件，再代入公式计算，不要主观省略运算步骤。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式能用完全平方公式计算的是(
A.$(a + b)(a - b)$
B.$(3a + 2b)(3a - 2b)$
C.$(a + 4b)(a + 4b)$
D.$(-x + y)(-x - y)$
C
)。A.$(a + b)(a - b)$
B.$(3a + 2b)(3a - 2b)$
C.$(a + 4b)(a + 4b)$
D.$(-x + y)(-x - y)$
答案
2. C
解析
【分析】
首先我们先明确完全平方公式的核心特征：完全平方公式对应的是两个完全相同的二项式相乘，形式为$(m+n)^2=(m+n)(m+n)$或者$(m-n)^2=(m-n)(m-n)$，展开后是三项式。接下来我们逐个对比四个选项的结构，同时区分它和平方差公式的差异：平方差公式的形式是两个二项式中一项完全相同、另一项互为相反数，和完全平方的结构完全不同。我们逐一排查选项，排除属于平方差公式的选项，剩下的就是符合完全平方公式要求的选项。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
选项A：$(a + b)(a - b)$，两个二项式中$a$是相同项，$b$和$-b$是互为相反数的项，符合平方差公式的结构，不能用完全平方公式计算。
选项B：$(3a + 2b)(3a - 2b)$，两个二项式中$3a$是相同项，$2b$和$-2b$是互为相反数的项，同样符合平方差公式的结构，不能用完全平方公式计算。
选项C：$(a + 4b)(a + 4b)$，是两个完全相同的二项式相乘，也就是$(a+4b)^2$，完全符合完全平方和的公式结构，可以用完全平方公式计算。
选项D：$(-x + y)(-x - y)$，两个二项式中$-x$是相同项，$y$和$-y$是互为相反数的项，符合平方差公式的结构，不能用完全平方公式计算。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于整式乘法公式的基础识别题，核心考点是区分完全平方公式和平方差公式的结构差异，不少初学者容易混淆两类公式的适用场景，解题时只要抓住“完全平方是两个完全相同的二项式相乘”这个核心特征，就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
首先我们先明确完全平方公式的核心特征：完全平方公式对应的是两个完全相同的二项式相乘，形式为$(m+n)^2=(m+n)(m+n)$或者$(m-n)^2=(m-n)(m-n)$，展开后是三项式。接下来我们逐个对比四个选项的结构，同时区分它和平方差公式的差异：平方差公式的形式是两个二项式中一项完全相同、另一项互为相反数，和完全平方的结构完全不同。我们逐一排查选项，排除属于平方差公式的选项，剩下的就是符合完全平方公式要求的选项。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
选项A：$(a + b)(a - b)$，两个二项式中$a$是相同项，$b$和$-b$是互为相反数的项，符合平方差公式的结构，不能用完全平方公式计算。
选项B：$(3a + 2b)(3a - 2b)$，两个二项式中$3a$是相同项，$2b$和$-2b$是互为相反数的项，同样符合平方差公式的结构，不能用完全平方公式计算。
选项C：$(a + 4b)(a + 4b)$，是两个完全相同的二项式相乘，也就是$(a+4b)^2$，完全符合完全平方和的公式结构，可以用完全平方公式计算。
选项D：$(-x + y)(-x - y)$，两个二项式中$-x$是相同项，$y$和$-y$是互为相反数的项，符合平方差公式的结构，不能用完全平方公式计算。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题属于整式乘法公式的基础识别题，核心考点是区分完全平方公式和平方差公式的结构差异，不少初学者容易混淆两类公式的适用场景，解题时只要抓住“完全平方是两个完全相同的二项式相乘”这个核心特征，就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
3. 计算$(-x - y)^{2}$的正确结果是(
A.$x^{2}+2xy + y^{2}$
B.$-x^{2}-2xy - y^{2}$
C.$x^{2}-2xy + y^{2}$
D.$x^{2}+2xy - y^{2}$
A
)。A.$x^{2}+2xy + y^{2}$
B.$-x^{2}-2xy - y^{2}$
C.$x^{2}-2xy + y^{2}$
D.$x^{2}+2xy - y^{2}$
答案
3. A
解析
$(-x - y)^{2} = [-(x + y)]^{2} = (x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$，答案选A。
4. 要使等式$(x - y)^{2}+M=(x + y)^{2}$成立，代数式$M$应是(
A.$2xy$
B.$4xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
B
)。A.$2xy$
B.$4xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$
答案
4. B
解析
$(x - y)^{2} + M = (x + y)^{2}$
$x^{2} - 2xy + y^{2} + M = x^{2} + 2xy + y^{2}$
$M = x^{2} + 2xy + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2}$
$M = 4xy$
B
$x^{2} - 2xy + y^{2} + M = x^{2} + 2xy + y^{2}$
$M = x^{2} + 2xy + y^{2} - x^{2} + 2xy - y^{2}$
$M = 4xy$
B
5. 一个正方形的边长为$a$cm，若边长增加$6$cm，则新正方形的面积增加了(
A.$36$cm$^{2}$
B.$12a$cm$^{2}$
C.$(36 + 12a)$cm$^{2}$
D.以上都不对
C
)。A.$36$cm$^{2}$
B.$12a$cm$^{2}$
C.$(36 + 12a)$cm$^{2}$
D.以上都不对
答案
5. C
解析
原正方形面积为$a^2$cm²，边长增加6cm后新正方形边长为$(a + 6)$cm，面积为$(a + 6)^2$cm²。面积增加量为$(a + 6)^2 - a^2 = a^2 + 12a + 36 - a^2 = 12a + 36$cm²。
C
C
6. 已知$a - b = 3$，$ab = -1$，那么$a^{2}+b^{2}=$。
答案
6. 7
解析
因为$a - b = 3$，$ab = -1$，所以$a^{2}+b^{2}=(a - b)^{2}+2ab=3^{2}+2×(-1)=9 - 2=7$。
7
7
7. 用乘法公式计算：
（1）$4 + 2×196 + 98^{2}$；
（2）$2001^{2}$。
（1）$4 + 2×196 + 98^{2}$；
（2）$2001^{2}$。
答案
7. 解：（1）原式$=2^{2}+2×2×98+98^{2}=(98+2)^{2}=10000$。
（2）原式$=(2000+1)^{2}=2000^{2}+2×2000+1^{2}=4004001$。
（2）原式$=(2000+1)^{2}=2000^{2}+2×2000+1^{2}=4004001$。
解析
【分析】
我们拿到这类用乘法公式计算的题目，核心思路是观察算式的结构，匹配对应的乘法公式，把复杂的大数运算转化为简便的整十、整百数运算：
1. 第（1）题：算式是三项和的形式，先观察各项特征，发现4可以写成2的平方，196刚好是2×98，原式可以直接改写为完全平方和公式的标准形式$a^2+2ab+b^2$，不用硬算98的平方，套用公式就能快速得到结果。
2. 第（2）题：直接计算2001的平方运算量很大，我们可以把2001拆成整千数2000加1的形式，符合完全平方和的结构，套用公式展开后每一项都可以口算，大幅简化计算。
【解析】
（1）先对原式各项变形，凑出完全平方和的标准结构：
原式$=2^{2}+2×2×98+98^{2}$
代入完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=2$，$b=98$：
$=(2+98)^2$
$=100^2$
$=10000$
（2）先拆分2001为$2000+1$，再套用完全平方和公式展开：
原式$=(2000+1)^{2}$
代入完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=2000$，$b=1$：
$=2000^{2}+2×2000×1+1^{2}$
$=4000000+4000+1$
$=4004001$
【答案】
（1）10000；（2）4004001
【知识点】
完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，重点考察学生对完全平方公式结构特征的识别能力，通过凑公式的方式将复杂的大数运算转化为整百、整千数的简单运算，既降低了计算错误率，也能帮助学生加深对乘法公式灵活运用的理解，是整式运算里非常典型的简便计算题型。
【难度系数】
0.8
我们拿到这类用乘法公式计算的题目，核心思路是观察算式的结构，匹配对应的乘法公式，把复杂的大数运算转化为简便的整十、整百数运算：
1. 第（1）题：算式是三项和的形式，先观察各项特征，发现4可以写成2的平方，196刚好是2×98，原式可以直接改写为完全平方和公式的标准形式$a^2+2ab+b^2$，不用硬算98的平方，套用公式就能快速得到结果。
2. 第（2）题：直接计算2001的平方运算量很大，我们可以把2001拆成整千数2000加1的形式，符合完全平方和的结构，套用公式展开后每一项都可以口算，大幅简化计算。
【解析】
（1）先对原式各项变形，凑出完全平方和的标准结构：
原式$=2^{2}+2×2×98+98^{2}$
代入完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=2$，$b=98$：
$=(2+98)^2$
$=100^2$
$=10000$
（2）先拆分2001为$2000+1$，再套用完全平方和公式展开：
原式$=(2000+1)^{2}$
代入完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，其中$a=2000$，$b=1$：
$=2000^{2}+2×2000×1+1^{2}$
$=4000000+4000+1$
$=4004001$
【答案】
（1）10000；（2）4004001
【知识点】
完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，重点考察学生对完全平方公式结构特征的识别能力，通过凑公式的方式将复杂的大数运算转化为整百、整千数的简单运算，既降低了计算错误率，也能帮助学生加深对乘法公式灵活运用的理解，是整式运算里非常典型的简便计算题型。
【难度系数】
0.8
8. 计算：
（1）$(2x - 3y)^{2}+(2x - 3y)(2x + 3y)-2x(2x - y)$；
（2）$(a - 2b + 3c)^{2}$。
（1）$(2x - 3y)^{2}+(2x - 3y)(2x + 3y)-2x(2x - y)$；
（2）$(a - 2b + 3c)^{2}$。
答案
8. 解：（1）原式$=4x^{2}-12xy+9y^{2}+4x^{2}-9y^{2}-4x^{2}+2xy=4x^{2}-10xy$。
（2）原式$=(a-2b)^{2}+2(a-2b)×3c+9c^{2}=a^{2}-4ab+4b^{2}+6ac-12bc+9c^{2}$。
（2）原式$=(a-2b)^{2}+2(a-2b)×3c+9c^{2}=a^{2}-4ab+4b^{2}+6ac-12bc+9c^{2}$。
解析
【分析】
这是整式混合运算的基础题型，我们分两小问梳理解题思路：
1. 第一小问包含三类基础运算：差的完全平方、平方差形式的多项式乘法、单项式乘多项式。我们只需要分别套用对应的乘法公式和分配律把每一项完整展开，再合并同类项消去可以抵消的项，就能得到化简结果，展开时要注意负号的分配，避免漏乘。
2. 第二小问是三项式的平方，直接展开容易出错，我们可以用整体思想，把其中两项组合为一个整体，将原式转化为两项的完全平方公式形式，先套用完全平方公式展开，再对组合的部分继续展开，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）分步展开每一项再合并同类项：
① 由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开$(2x-3y)^2$：
$(2x-3y)^2=(2x)^2-2·2x·3y+(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$
② 由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，展开$(2x-3y)(2x+3y)$：
$(2x-3y)(2x+3y)=(2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2$
③ 由单项式乘多项式的分配律，展开$-2x(2x-y)$：
$-2x(2x-y)=-2x·2x + (-2x)·(-y)=-4x^2+2xy$
将三项展开结果相加合并同类项：
原式$=4x^2-12xy+9y^2+4x^2-9y^2-4x^2+2xy=4x^2-10xy$
（2）用整体代换转化为两项完全平方计算：
把$(a-2b)$看作整体，将原式改写为$[(a-2b)+3c]^2$，套用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$：
原式$=(a-2b)^2+2(a-2b)×3c+(3c)^2$
分别展开各项后合并同类项：
$=a^2-4ab+4b^2+6ac-12bc+9c^2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{4x^{2}-10xy}$；（2）$\boldsymbol{a^{2}-4ab+4b^{2}+6ac-12bc+9c^{2}}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，重点考察对核心乘法公式的掌握熟练度，第二小问渗透了整体代换的数学思想，把陌生的三项式平方转化为熟悉的两项完全平方运算，解题时要重点注意展开过程中的符号处理，避免出现漏乘、符号错写的常见失误。
【难度系数】
0.7
这是整式混合运算的基础题型，我们分两小问梳理解题思路：
1. 第一小问包含三类基础运算：差的完全平方、平方差形式的多项式乘法、单项式乘多项式。我们只需要分别套用对应的乘法公式和分配律把每一项完整展开，再合并同类项消去可以抵消的项，就能得到化简结果，展开时要注意负号的分配，避免漏乘。
2. 第二小问是三项式的平方，直接展开容易出错，我们可以用整体思想，把其中两项组合为一个整体，将原式转化为两项的完全平方公式形式，先套用完全平方公式展开，再对组合的部分继续展开，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
（1）分步展开每一项再合并同类项：
① 由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开$(2x-3y)^2$：
$(2x-3y)^2=(2x)^2-2·2x·3y+(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$
② 由平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，展开$(2x-3y)(2x+3y)$：
$(2x-3y)(2x+3y)=(2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2$
③ 由单项式乘多项式的分配律，展开$-2x(2x-y)$：
$-2x(2x-y)=-2x·2x + (-2x)·(-y)=-4x^2+2xy$
将三项展开结果相加合并同类项：
原式$=4x^2-12xy+9y^2+4x^2-9y^2-4x^2+2xy=4x^2-10xy$
（2）用整体代换转化为两项完全平方计算：
把$(a-2b)$看作整体，将原式改写为$[(a-2b)+3c]^2$，套用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$：
原式$=(a-2b)^2+2(a-2b)×3c+(3c)^2$
分别展开各项后合并同类项：
$=a^2-4ab+4b^2+6ac-12bc+9c^2$
【答案】
（1）$\boldsymbol{4x^{2}-10xy}$；（2）$\boldsymbol{a^{2}-4ab+4b^{2}+6ac-12bc+9c^{2}}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式混合运算
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，重点考察对核心乘法公式的掌握熟练度，第二小问渗透了整体代换的数学思想，把陌生的三项式平方转化为熟悉的两项完全平方运算，解题时要重点注意展开过程中的符号处理，避免出现漏乘、符号错写的常见失误。
【难度系数】
0.7
