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8. 如图是一个机器零件的平面图，大圆的半径为 $r + 2$，小圆的半径为 $r - 2$，求阴影部分的面积。若半径 $r = 5$ cm，则阴影部分面积等于多少？
答案
8. 解：$S_{阴影}=π(r + 2)^2 - π(r - 2)^2=π(r^2 + 4r + 4) - π(r^2 - 4r + 4)=π(r^2 + 4r + 4 - r^2 + 4r - 4)=8πr$。
当$r = 5cm$时，$S_{阴影}=40πcm^2$。
当$r = 5cm$时，$S_{阴影}=40πcm^2$。
解析
【分析】
首先观察图形可知阴影部分是圆环，它的面积等于外侧大圆的面积减去内部空白小圆的面积。我们先回忆圆的面积公式$S=π R^2$，分别代入大圆半径$r+2$、小圆半径$r-2$写出两个圆的面积，做差得到阴影面积的原始表达式，再利用完全平方公式展开平方项，合并同类项对表达式化简，最后把给定的$r=5$代入化简后的式子，就能快速算出阴影部分的具体面积，也可以借助平方差公式直接对平方差部分因式分解，进一步简化运算步骤。
【解析】
解：
1. 阴影部分为圆环，面积等于大圆面积减去小圆面积：
$S_{阴影}=S_{大圆}-S_{小圆}$
2. 代入圆的面积公式，将大圆半径$R=r+2$，小圆半径$R'=r-2$代入：
$S_{阴影}=π(r + 2)^2 - π(r - 2)^2$
3. 利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开两个平方项：
$=π(r^2 + 4r + 4) - π(r^2 - 4r + 4)$
4. 提取公因式$π$，去括号后合并同类项：
$=π(r^2 + 4r + 4 - r^2 + 4r - 4)$
$=8π r$
5. 将$r=5\ \mathrm{cm}$代入化简后的表达式：
$S_{阴影}=8π×5=40π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
阴影部分面积的化简表达式为$8π r$，当$r=5\ \mathrm{cm}$时，阴影部分面积等于$40π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是圆环面积与整式化简结合的基础应用题，既考察了圆环面积的基本计算逻辑，也考察了整式乘法公式的运用，通过先化简再代入数值的方式，可以避免直接计算大数平方的繁琐步骤，有效提升运算效率，也可利用平方差公式直接对平方差部分因式分解，进一步简化计算过程。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知阴影部分是圆环，它的面积等于外侧大圆的面积减去内部空白小圆的面积。我们先回忆圆的面积公式$S=π R^2$，分别代入大圆半径$r+2$、小圆半径$r-2$写出两个圆的面积，做差得到阴影面积的原始表达式，再利用完全平方公式展开平方项，合并同类项对表达式化简，最后把给定的$r=5$代入化简后的式子，就能快速算出阴影部分的具体面积，也可以借助平方差公式直接对平方差部分因式分解，进一步简化运算步骤。
【解析】
解：
1. 阴影部分为圆环，面积等于大圆面积减去小圆面积：
$S_{阴影}=S_{大圆}-S_{小圆}$
2. 代入圆的面积公式，将大圆半径$R=r+2$，小圆半径$R'=r-2$代入：
$S_{阴影}=π(r + 2)^2 - π(r - 2)^2$
3. 利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开两个平方项：
$=π(r^2 + 4r + 4) - π(r^2 - 4r + 4)$
4. 提取公因式$π$，去括号后合并同类项：
$=π(r^2 + 4r + 4 - r^2 + 4r - 4)$
$=8π r$
5. 将$r=5\ \mathrm{cm}$代入化简后的表达式：
$S_{阴影}=8π×5=40π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
阴影部分面积的化简表达式为$8π r$，当$r=5\ \mathrm{cm}$时，阴影部分面积等于$40π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是圆环面积与整式化简结合的基础应用题，既考察了圆环面积的基本计算逻辑，也考察了整式乘法公式的运用，通过先化简再代入数值的方式，可以避免直接计算大数平方的繁琐步骤，有效提升运算效率，也可利用平方差公式直接对平方差部分因式分解，进一步简化计算过程。
【难度系数】
0.8
9. 若$(m - n)^2 = 8$，$(m + n)^2 = 2$，则 $m^2 + n^2 =$
5
。答案
9. 5
解析
$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2 = 8$，
$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 2$，
两式相加得：$2(m^2 + n^2) = 10$，
则$m^2 + n^2 = 5$。
5
$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 2$，
两式相加得：$2(m^2 + n^2) = 10$，
则$m^2 + n^2 = 5$。
5
10. 若 $(5a + 3b)^2 = (5a - 3b)^2 + A$，则 $A =$
60ab
。答案
10. 60ab
解析
解：$(5a + 3b)^2 = 25a^2 + 30ab + 9b^2$，$(5a - 3b)^2 = 25a^2 - 30ab + 9b^2$，由$(5a + 3b)^2 = (5a - 3b)^2 + A$，得$25a^2 + 30ab + 9b^2 = 25a^2 - 30ab + 9b^2 + A$，移项可得$A = 25a^2 + 30ab + 9b^2 - 25a^2 + 30ab - 9b^2 = 60ab$。
60ab
60ab
11. 先化简，再求值：$2b^2 + (a + b)(a - b) - (a - b)^2$，其中 $a = -3$，$b = \dfrac{1}{2}$。
答案
11. 解：原式$=2b^2 + a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2=2ab$。
当$a = - 3$，$b = \frac{1}{2}$时，原式$=-3$。
当$a = - 3$，$b = \frac{1}{2}$时，原式$=-3$。
解析
【分析】
这是典型的整式化简求值题，优先选择先化简再代入数值计算的思路，比直接代入原式计算更简便且不易出错。首先观察原式结构，识别出两个乘法项分别对应平方差公式和完全平方差公式，第一步先用对应乘法公式展开乘积项，第二步处理去括号的符号规则，第三步合并所有同类项得到最简整式，最后将给定的a、b数值代入最简式，即可快速算出结果。
【解析】
我们逐步对原式进行化简：
1. 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开第二项：
原式$=2b^2 + a^2 - b^2 - (a - b)^2$
2. 利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开第三项，注意括号前是负号，去括号后所有项都要变号：
原式$=2b^2 + a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
3. 合并同类项：
$2b^2 - b^2 - b^2 + a^2 - a^2 + 2ab = 2ab$
将$a = - 3$，$b = \frac{1}{2}$代入化简后的式子$2ab$：
原式$=2×(-3)×\frac{1}{2}=-3$
【答案】化简结果为$2ab$，最终求值结果为$-3$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考察两个常用乘法公式的正确运用，易错点是去掉带负号的括号时容易忘记将各项变号，遵循先化简再求值的思路可以大幅降低运算复杂度，有效减少计算失误。
【难度系数】
0.8
这是典型的整式化简求值题，优先选择先化简再代入数值计算的思路，比直接代入原式计算更简便且不易出错。首先观察原式结构，识别出两个乘法项分别对应平方差公式和完全平方差公式，第一步先用对应乘法公式展开乘积项，第二步处理去括号的符号规则，第三步合并所有同类项得到最简整式，最后将给定的a、b数值代入最简式，即可快速算出结果。
【解析】
我们逐步对原式进行化简：
1. 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$展开第二项：
原式$=2b^2 + a^2 - b^2 - (a - b)^2$
2. 利用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开第三项，注意括号前是负号，去括号后所有项都要变号：
原式$=2b^2 + a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
3. 合并同类项：
$2b^2 - b^2 - b^2 + a^2 - a^2 + 2ab = 2ab$
将$a = - 3$，$b = \frac{1}{2}$代入化简后的式子$2ab$：
原式$=2×(-3)×\frac{1}{2}=-3$
【答案】化简结果为$2ab$，最终求值结果为$-3$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考察两个常用乘法公式的正确运用，易错点是去掉带负号的括号时容易忘记将各项变号，遵循先化简再求值的思路可以大幅降低运算复杂度，有效减少计算失误。
【难度系数】
0.8
12. 公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$中，如果我们把 $a + b$，$a^2 + b^2$，$ab$ 分别看作一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值。
(1) 已知 $a + b = 6$，$ab = -27$，求下列各项的值：
① $a^2 + b^2$；
② $a^2 + b^2 - ab$；
③ $(a - b)^2$。
(2) 已知 $a + \dfrac{1}{a} = 5$，试求 $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$的值。
(1) 已知 $a + b = 6$，$ab = -27$，求下列各项的值：
① $a^2 + b^2$；
② $a^2 + b^2 - ab$；
③ $(a - b)^2$。
(2) 已知 $a + \dfrac{1}{a} = 5$，试求 $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$的值。
答案
12. 解：（1）①$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab=6^2 - 2×(-27)=90$。
②$a^2 + b^2 - ab=(a + b)^2 - 3ab=6^2 - 3×(-27)=117$。
③$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab=6^2 - 4×(-27)=144$。
（2）因为$(a + \frac{1}{a})^2=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2=5^2=25$，
所以$a^2 + \frac{1}{a^2}=23$。
②$a^2 + b^2 - ab=(a + b)^2 - 3ab=6^2 - 3×(-27)=117$。
③$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab=6^2 - 4×(-27)=144$。
（2）因为$(a + \frac{1}{a})^2=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2=5^2=25$，
所以$a^2 + \frac{1}{a^2}=23$。
解析
【分析】
这道题核心是利用完全平方公式的变形进行整体代换求值，不需要单独求出a、b的具体数值，解题思路如下：
1. 第(1)问的①，从已知的完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$移项变形，得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，直接代入已知的a+b=6、ab=-27就能算出结果。
2. 第(1)问的②，既可以用第一小问算出的$a^2+b^2$直接减去ab得到结果，也可以把$a^2+b^2$替换成$(a+b)^2-2ab$，直接变形得到$a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab$，代入已知数值直接计算。
3. 第(1)问的③，回忆完全平方差的展开式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，把$a^2+b^2$替换为$(a+b)^2-2ab$，就可以得到$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入已知条件即可算出结果。
4. 第(2)问把a和$\frac{1}{a}$看作完全平方公式里的两个整体，套用$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2$，移项后代入已知的$a+\frac{1}{a}=5$就能求出目标式的值。
【解析】
解：
(1) ① 由完全平方和公式变形可得：
$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$
将$a + b = 6$，$ab = -27$代入上式：
$a^2 + b^2=6^2 - 2×(-27)=36 + 54=90$
② 对式子直接变形可得：
$a^2 + b^2 - ab=(a + b)^2 - 2ab - ab=(a + b)^2 - 3ab$
代入数值计算：$6^2 - 3×(-27)=36 + 81=117$
③ 对完全平方差公式变形可得：
$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2=(a + b)^2 - 4ab$
代入数值计算：$6^2 - 4×(-27)=36 + 108=144$
(2) 对$a + \frac{1}{a}$两边同时平方，由完全平方公式得：
$(a + \frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
将$a + \frac{1}{a}=5$代入左边得：$5^2=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
即$25=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$，移项计算得：$a^2 + \frac{1}{a^2}=25 - 2=23$
【答案】
(1) ① 90；② 117；③ 144；(2) 23
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，代数式变形
【点评】
本题是完全平方公式的经典基础应用，重点考察学生对完全平方公式常见变形的掌握，通过整体代换避免了求解a、b的复杂运算，帮助学生建立整体代换的数学思维，这类变形技巧在后续分式、二次根式的求值问题中也有广泛应用，是整式运算部分必须熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.7
这道题核心是利用完全平方公式的变形进行整体代换求值，不需要单独求出a、b的具体数值，解题思路如下：
1. 第(1)问的①，从已知的完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$移项变形，得到$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，直接代入已知的a+b=6、ab=-27就能算出结果。
2. 第(1)问的②，既可以用第一小问算出的$a^2+b^2$直接减去ab得到结果，也可以把$a^2+b^2$替换成$(a+b)^2-2ab$，直接变形得到$a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab$，代入已知数值直接计算。
3. 第(1)问的③，回忆完全平方差的展开式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，把$a^2+b^2$替换为$(a+b)^2-2ab$，就可以得到$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，代入已知条件即可算出结果。
4. 第(2)问把a和$\frac{1}{a}$看作完全平方公式里的两个整体，套用$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+2$，移项后代入已知的$a+\frac{1}{a}=5$就能求出目标式的值。
【解析】
解：
(1) ① 由完全平方和公式变形可得：
$a^2 + b^2=(a + b)^2 - 2ab$
将$a + b = 6$，$ab = -27$代入上式：
$a^2 + b^2=6^2 - 2×(-27)=36 + 54=90$
② 对式子直接变形可得：
$a^2 + b^2 - ab=(a + b)^2 - 2ab - ab=(a + b)^2 - 3ab$
代入数值计算：$6^2 - 3×(-27)=36 + 81=117$
③ 对完全平方差公式变形可得：
$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2=(a + b)^2 - 4ab$
代入数值计算：$6^2 - 4×(-27)=36 + 108=144$
(2) 对$a + \frac{1}{a}$两边同时平方，由完全平方公式得：
$(a + \frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
将$a + \frac{1}{a}=5$代入左边得：$5^2=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$
即$25=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$，移项计算得：$a^2 + \frac{1}{a^2}=25 - 2=23$
【答案】
(1) ① 90；② 117；③ 144；(2) 23
【知识点】
完全平方公式，整体代入求值，代数式变形
【点评】
本题是完全平方公式的经典基础应用，重点考察学生对完全平方公式常见变形的掌握，通过整体代换避免了求解a、b的复杂运算，帮助学生建立整体代换的数学思维，这类变形技巧在后续分式、二次根式的求值问题中也有广泛应用，是整式运算部分必须熟练掌握的内容。
【难度系数】
0.7
