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9. 现定义一种新运算：$a*b = a^{2}+b^{2}-(a + b)^{2}$，则$\frac{1}{2}*2026=$。
答案
9. $-2026$
解析
$\frac{1}{2}*2026=(\frac{1}{2})^{2}+2026^{2}-(\frac{1}{2}+2026)^{2}$
$=\frac{1}{4}+2026^{2}-(\frac{1}{2})^{2}-2×\frac{1}{2}×2026-2026^{2}$
$=-2026$
$=\frac{1}{4}+2026^{2}-(\frac{1}{2})^{2}-2×\frac{1}{2}×2026-2026^{2}$
$=-2026$
10. 发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。
验证：如$(2 + 1)^{2}+(2 - 1)^{2}=10$为偶数，请把$10$的一半表示为两个正整数的平方和。
探究：设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，请论证“发现”中的结论正确。
验证：如$(2 + 1)^{2}+(2 - 1)^{2}=10$为偶数，请把$10$的一半表示为两个正整数的平方和。
探究：设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，请论证“发现”中的结论正确。
答案
10. 解：验证：10的一半为5，$2^{2}+1^{2}=5$。
探究：设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，
所以$(m+n)^{2}+(m-n)^{2}=2(m^{2}+n^{2})$，
其中$2(m^{2}+n^{2})$为偶数，且其一半$m^{2}+n^{2}$正好是两个正整数$m$和$n$的平方和，
所以“发现”中的结论正确。
探究：设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，
所以$(m+n)^{2}+(m-n)^{2}=2(m^{2}+n^{2})$，
其中$2(m^{2}+n^{2})$为偶数，且其一半$m^{2}+n^{2}$正好是两个正整数$m$和$n$的平方和，
所以“发现”中的结论正确。
解析
【分析】
这道题分为验证和论证两个环节，首先处理验证部分：先计算10的一半得到数值5，再寻找两个正整数，使它们的平方相加等于5即可。接下来处理探究论证部分，我们可以利用完全平方公式把$(m+n)^2$和$(m-n)^2$分别展开，合并同类项后得到化简后的整式，先观察化简结果的因数特征，就能证明原式一定是偶数，再将该偶数除以2，直接就能得到结果是两个正整数m、n的平方和，就完成了整个结论的论证，是从特殊实例推广到一般规律的典型代数证明思路。
【解析】
1. 验证部分：
先计算10的一半：$10÷2=5$，找到两个正整数2和1，计算得$2^2+1^2=4+1=5$，完成验证。
2. 探究论证部分：
设两个已知正整数为$m$，$n$，对式子展开化简：
$\begin{aligned}(m+n)^2+(m-n)^2&=(m^2+2mn+n^2)+(m^2-2mn+n^2)\\&=2m^2+2n^2\\&=2(m^2+n^2)\end{aligned}$
因为$m$、$n$都是正整数，所以$m^2+n^2$是正整数，因此$2(m^2+n^2)$是2的整数倍，必然为偶数；该偶数的一半为$\frac{2(m^2+n^2)}{2}=m^2+n^2$，正好是两个正整数$m$和$n$的平方和，因此“发现”中的结论正确。
【答案】
验证：10的一半为5，$2^{2}+1^{2}=5$。探究：设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，所以$(m+n)^{2}+(m-n)^{2}=2(m^{2}+n^{2})$，其中$2(m^{2}+n^{2})$为偶数，且其一半$m^{2}+n^{2}$正好是两个正整数$m$和$n$的平方和，所以“发现”中的结论正确。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，偶数判定
【点评】
本题属于代数规律探究基础题，从具体数值的小实例切入，再推广到一般情况进行严格论证，重点考察完全平方公式的展开与合并同类项的运算能力，渗透了从特殊到一般的数学思想，运算量小逻辑清晰，能帮助学生理解代数证明的基本思路。
【难度系数】
0.8
这道题分为验证和论证两个环节，首先处理验证部分：先计算10的一半得到数值5，再寻找两个正整数，使它们的平方相加等于5即可。接下来处理探究论证部分，我们可以利用完全平方公式把$(m+n)^2$和$(m-n)^2$分别展开，合并同类项后得到化简后的整式，先观察化简结果的因数特征，就能证明原式一定是偶数，再将该偶数除以2，直接就能得到结果是两个正整数m、n的平方和，就完成了整个结论的论证，是从特殊实例推广到一般规律的典型代数证明思路。
【解析】
1. 验证部分：
先计算10的一半：$10÷2=5$，找到两个正整数2和1，计算得$2^2+1^2=4+1=5$，完成验证。
2. 探究论证部分：
设两个已知正整数为$m$，$n$，对式子展开化简：
$\begin{aligned}(m+n)^2+(m-n)^2&=(m^2+2mn+n^2)+(m^2-2mn+n^2)\\&=2m^2+2n^2\\&=2(m^2+n^2)\end{aligned}$
因为$m$、$n$都是正整数，所以$m^2+n^2$是正整数，因此$2(m^2+n^2)$是2的整数倍，必然为偶数；该偶数的一半为$\frac{2(m^2+n^2)}{2}=m^2+n^2$，正好是两个正整数$m$和$n$的平方和，因此“发现”中的结论正确。
【答案】
验证：10的一半为5，$2^{2}+1^{2}=5$。探究：设“发现”中的两个已知正整数为$m$，$n$，所以$(m+n)^{2}+(m-n)^{2}=2(m^{2}+n^{2})$，其中$2(m^{2}+n^{2})$为偶数，且其一半$m^{2}+n^{2}$正好是两个正整数$m$和$n$的平方和，所以“发现”中的结论正确。
【知识点】
完全平方公式，整式化简，偶数判定
【点评】
本题属于代数规律探究基础题，从具体数值的小实例切入，再推广到一般情况进行严格论证，重点考察完全平方公式的展开与合并同类项的运算能力，渗透了从特殊到一般的数学思想，运算量小逻辑清晰，能帮助学生理解代数证明的基本思路。
【难度系数】
0.8
11. 图 1 是一个长为$4a$、宽为$b$的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图 2）。
（1）观察图 2，请直接写出$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$之间的等量关系；
（2）根据（1）中的结论，若$x + y = 7$，$xy = 6$，求$(x - y)^{2}$的值；
（3）若$(2025 - m)^{2}+(m - 2024)^{2}=15$，求$(2025 - m)(m - 2024)+6$的值。
（1）观察图 2，请直接写出$(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$之间的等量关系；
（2）根据（1）中的结论，若$x + y = 7$，$xy = 6$，求$(x - y)^{2}$的值；
（3）若$(2025 - m)^{2}+(m - 2024)^{2}=15$，求$(2025 - m)(m - 2024)+6$的值。
答案
11. 解：（1）由图可知：$(a+b)^{2}=(b-a)^{2}+4ab$，
即$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$。
（2）因为$x+y=7$，$xy=6$，
所以$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=49-24=25$。
（3）设$x=2025-m$，$y=m-2024$，
则$x+y=1$，$x^{2}+y^{2}=15$，
所以$(x+y)^{2}-2xy=15$，即$1-2xy=15$，
所以$xy=-7$。
所以$(2025-m)(m-2024)=-7$。
所以$(2025-m)(m-2024)+6=-1$。
即$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$。
（2）因为$x+y=7$，$xy=6$，
所以$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=49-24=25$。
（3）设$x=2025-m$，$y=m-2024$，
则$x+y=1$，$x^{2}+y^{2}=15$，
所以$(x+y)^{2}-2xy=15$，即$1-2xy=15$，
所以$xy=-7$。
所以$(2025-m)(m-2024)=-7$。
所以$(2025-m)(m-2024)+6=-1$。
解析
【分析】
我们可以从图形面积的角度入手逐步思考：
1. 第（1）问：先计算图2大正方形的面积，它的边长是$a+b$，对应面积为$(a+b)^2$；同时这个大正方形的面积也等于中间阴影小正方形的面积加上4个小长方形的面积之和，阴影小正方形的边长是$b-a$，面积是$(a-b)^2$，每个小长方形面积是$ab$，4个总面积是$4ab$，对比两个面积表达式就能得到三者的等量关系。
2. 第（2）问：直接套用第（1）问得到的完全平方变形公式，把$(x-y)^2$转化为$(x+y)^2 -4xy$，代入已知的$x+y$和$xy$的数值直接计算即可。
3. 第（3）问：观察已知两个平方项的底数，发现它们相加的结果是定值1，因此用换元法设两个底数分别为$x$和$y$，得到$x+y=1$，已知$x^2+y^2=15$，再利用完全平方变形公式$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，就能求出$xy$的值，最后代入要求的式子算出结果。
【解析】
（1）图2的大正方形边长为$a+b$，因此大正方形面积为$(a+b)^2$；
大正方形同时由1个边长为$(b-a)$的阴影小正方形和4个长为$b$、宽为$a$的小长方形组成，因此总面积也可表示为$(a-b)^2 + 4ab$；
两个表达式都表示大正方形的面积，因此可得：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
（2）由（1）的结论变形可得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=7$，$xy=6$代入上式：
$(x-y)^2=7^2 - 4×6=49-24=25$
（3）设$x=2025-m$，$y=m-2024$，则：
$x+y=(2025-m)+(m-2024)=1$，且已知$x^2+y^2=15$
根据完全平方公式变形：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入已知条件：
$1^2=15 + 2xy$
整理得$1=15+2xy$，解得$xy=-7$
也就是$(2025-m)(m-2024)=-7$，因此：
$(2025-m)(m-2024)+6=-7+6=-1$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$；（2）$\boldsymbol{25}$；（3）$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，几何恒等式推导
【点评】
本题从几何图形的面积关系切入，直观推导完全平方公式的重要变形，层层递进设置问题，从直接套用公式到换元构造公式求解，既帮助学生理解完全平方公式的几何意义，也锻炼了学生对公式变形的灵活运用能力，第三问的换元技巧是本题的小难点，需要学生主动观察两个底数的和为定值的特征。
【难度系数】
0.6
我们可以从图形面积的角度入手逐步思考：
1. 第（1）问：先计算图2大正方形的面积，它的边长是$a+b$，对应面积为$(a+b)^2$；同时这个大正方形的面积也等于中间阴影小正方形的面积加上4个小长方形的面积之和，阴影小正方形的边长是$b-a$，面积是$(a-b)^2$，每个小长方形面积是$ab$，4个总面积是$4ab$，对比两个面积表达式就能得到三者的等量关系。
2. 第（2）问：直接套用第（1）问得到的完全平方变形公式，把$(x-y)^2$转化为$(x+y)^2 -4xy$，代入已知的$x+y$和$xy$的数值直接计算即可。
3. 第（3）问：观察已知两个平方项的底数，发现它们相加的结果是定值1，因此用换元法设两个底数分别为$x$和$y$，得到$x+y=1$，已知$x^2+y^2=15$，再利用完全平方变形公式$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，就能求出$xy$的值，最后代入要求的式子算出结果。
【解析】
（1）图2的大正方形边长为$a+b$，因此大正方形面积为$(a+b)^2$；
大正方形同时由1个边长为$(b-a)$的阴影小正方形和4个长为$b$、宽为$a$的小长方形组成，因此总面积也可表示为$(a-b)^2 + 4ab$；
两个表达式都表示大正方形的面积，因此可得：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
（2）由（1）的结论变形可得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$
将$x+y=7$，$xy=6$代入上式：
$(x-y)^2=7^2 - 4×6=49-24=25$
（3）设$x=2025-m$，$y=m-2024$，则：
$x+y=(2025-m)+(m-2024)=1$，且已知$x^2+y^2=15$
根据完全平方公式变形：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入已知条件：
$1^2=15 + 2xy$
整理得$1=15+2xy$，解得$xy=-7$
也就是$(2025-m)(m-2024)=-7$，因此：
$(2025-m)(m-2024)+6=-7+6=-1$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$；（2）$\boldsymbol{25}$；（3）$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，几何恒等式推导
【点评】
本题从几何图形的面积关系切入，直观推导完全平方公式的重要变形，层层递进设置问题，从直接套用公式到换元构造公式求解，既帮助学生理解完全平方公式的几何意义，也锻炼了学生对公式变形的灵活运用能力，第三问的换元技巧是本题的小难点，需要学生主动观察两个底数的和为定值的特征。
【难度系数】
0.6
