1 将下面各数分别填入相应的框里。
1 22 23 34 46 79 43 298 37 87 97
奇数
偶数
质数
合数

1.
奇数：1,23,79,43,37,87,97
偶数：22,34,46,298
质数：23,79,43,37,97
合数：22,34,46,298,87

解析 判断一个数是奇数还是偶数，关键看它是不是2的倍数。判断一个数是质数还是合数，关键看它的因数是两个还是多于两个。

【分析】
要解决这道题，我们可以分两步进行：
1. 区分奇数和偶数：根据定义，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。可通过观察数的个位快速判断，个位为0、2、4、6、8的数能被2整除，是偶数；个位为1、3、5、7、9的数不能被2整除，是奇数。
2. 区分质数和合数：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，特别注意1既不是质数也不是合数。对于每个数，需分析其因数个数，比如87除了1和87，还有3和29两个因数，属于合数；23只有1和它本身两个因数，属于质数。
【解析】
1. 判断奇数和偶数：
不能被2整除的数（奇数）：1、23、79、43、37、87、97
能被2整除的数（偶数）：22、34、46、298
2. 判断质数和合数：
只有1和自身两个因数的数（质数）：23、79、43、37、97（1既不是质数也不是合数）
除了1和自身还有其他因数的数（合数）：22、34、46、298、87（22的因数有1、2、11、22；34的因数有1、2、17、34；46的因数有1、2、23、46；298的因数有1、2、149、298；87的因数有1、3、29、87）
【答案】
奇数：1,23,79,43,37,87,97
偶数：22,34,46,298
质数：23,79,43,37,97
合数：22,34,46,298,87

【知识点】
奇数偶数判定、质数合数判定
【点评】
本题主要考查对奇数、偶数、质数、合数基本概念的理解与应用。解题关键是准确掌握各类数的定义，尤其要注意1既不是质数也不是合数，对于像87这类易被误判为质数的数，需仔细分析其因数情况，避免出错。
【难度系数】
0.8

(1)一个质数$m$,它只有()个因数,是()和();一个合数至少有()个因数。

2. (1)2 1 m 3
解析 质数只有1和它本身这两个因数。合数除了1和它本身这两个因数外，还有其他的因数。

【分析】
首先回忆质数与合数的定义：质数是大于1的自然数中，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数；合数是除了1和它本身外还有其他因数的自然数。根据质数的定义，质数m的因数只能是1和它本身m，所以因数个数是2个；而合数除了1和本身外还有至少一个其他因数，因此合数至少有3个因数。解题时只需紧扣质数、合数的核心概念，就能准确填写答案。
【解析】
根据质数的定义：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数，所以质数m的因数只有2个，分别是1和m；
根据合数的定义：合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数，所以合数至少有3个因数。
【答案】
2；1；m；3
【知识点】
质数的概念、合数的概念
【点评】
本题考查质数与合数的基础概念，属于入门级题目，要求学生准确掌握质数、合数的定义及它们因数的特点，是进一步学习数论相关知识的基础。
【难度系数】
0.9

(2)①1～20 中,哪些数是质数? 在右图中圈出来。

②最小的质数是(),1～20 中,合数有()个。
③一个两位数是质数,交换它十位与个位上的数,所得的两位数
仍然是质数。右图中符合要求的数有()。

(2)①圈出2,3,5,7,11,13,17,19。
②2 11
③11,13,17
解析
按因数个数分类
1(1个) 质数(2个) 合数(3个及以上)
题图中的两位数，是质数的有11，13，17,19，交换十位与个位上的数后得11,31,71,91，其中91的因数有1,7,13,91,故91不为质数，排除。

【分析】
要解决这道题，我们首先需要明确质数、合数的定义：质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数。
①对于找出1～20中的质数，我们可以逐个分析每个数的因数个数，筛选出符合质数定义的数；
②要确定最小的质数，根据质数的定义即可得出；计算1～20中合数的个数，我们可以先排除1和所有质数，剩下的数就是合数，再统计数量；
③对于找出交换十位与个位后仍是质数的两位质数，我们先找出1～20中的两位质数，再分别交换它们的十位和个位数字，判断新得到的数是否为质数，排除不符合的数后得到结果。
【解析】
①根据质数的定义，逐个判断1～20中的数：
2的因数只有1和2，是质数；3的因数只有1和3，是质数；5的因数只有1和5，是质数；7的因数只有1和7，是质数；11的因数只有1和11，是质数；13的因数只有1和13，是质数；17的因数只有1和17，是质数；19的因数只有1和19，是质数。所以1～20中的质数是2,3,5,7,11,13,17,19，将这些数在图中圈出。
②根据质数的定义，最小的质数是2；
1～20中，合数是4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20，一共11个。
③1～20中的两位质数有11,13,17,19：
交换11的十位与个位后仍是11，11是质数；
交换13的十位与个位后是31，31的因数只有1和31，是质数；
交换17的十位与个位后是71，71的因数只有1和71，是质数；
交换19的十位与个位后是91，91的因数有1,7,13,91，是合数，不符合要求。因此符合要求的数是11,13,17。
【答案】
①圈出2,3,5,7,11,13,17,19。
②2；11
③11,13,17

【知识点】
1. 质数与合数的定义
2. 质数的判断方法
【点评】
本题主要考查质数与合数的概念及应用，需要准确掌握质数、合数的定义，能熟练判断一个数是否为质数或合数，同时在解决第三问时，要注意对交换数位后的数进行因数分析，避免遗漏判断。
【难度系数】
0.8

(3)哥德巴赫猜想是数学中一个著名的难题,其偶数情形是所有大于2的偶数都可以表示
为两个质数的和。例如:$8=3+5,32=3+29$。请把下面的偶数表示为两个质数的和。
$12=$()+() $18=$()+() $30=$()+()

(3)5 7
5 13 (或7 11)
7 23 (或11 19 或13 17)
解析 30以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19，23，29。在括号里试填进行计算即可。

【分析】
要解决这道题，首先需明确质数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数。解题思路是先列出目标偶数以内的所有质数，再通过尝试两两组合，找出相加等于该偶数的质数对。
对于12，先列出小于12的质数：2、3、5、7、11，依次尝试相加后，发现5+7=12符合要求；
对于18，列出小于18的质数，尝试可得5+13=18、7+11=18，两组均满足条件；
对于30，列出小于30的质数，尝试后能找到7+23=30、11+19=30、13+17=30这些符合条件的组合。
【解析】
首先列出30以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
1. 针对12：从上述质数中寻找和为12的两个数，经计算得5+7=12；
2. 针对18：经尝试计算，5+13=18，7+11=18，两组均符合要求；
3. 针对30：经尝试计算，7+23=30，11+19=30，13+17=30，三组均符合要求。
【答案】
12=(5)+(7)
18=(5)+(13)（或7+11）
30=(7)+(23)（或11+19或13+17）
【知识点】
质数的认识、哥德巴赫猜想（偶数情形）
【点评】
本题主要考查对质数概念的理解与应用，需要熟练掌握常见范围内的质数，通过尝试组合的方式解决问题，既巩固了质数的相关知识，也加深了对哥德巴赫猜想偶数情形的认识。
【难度系数】
0.7

3判断下面的说法是否正确,在序号上画"√"或"×",并在横线上说明理由。
①非零自然数可以分成质数和合数。

②所有的偶数都是合数,所有的质数都是奇数。

3. ✕ 1既不是质数也不是合数。
✕ 2既是偶数，又是质数。
(理由合理即可)
解析 非零自然数按照因数的个数可分为3类:
按因数个数分类
1(1个) 质数(2个) 合数(2个以上)
●偶数中2的因数只有2个，故2不是合数。(0不在研究范围内)
●质数中除了2，都是奇数。

【分析】
要判断这两个说法是否正确，需紧扣质数、合数、奇数、偶数的定义，同时注意特殊数的情况：
1. 对于说法①，回忆非零自然数按因数个数的分类：质数是只有1和自身两个因数的数，合数是除了1和自身还有其他因数的数，而1只有1个因数，既不属于质数也不属于合数，因此不能只分成质数和合数两类。
2. 对于说法②，要牢记特殊数2：2是偶数，但它只有1和2两个因数，属于质数；同时质数中只有2是偶数，其余都是奇数，所以“所有偶数都是合数，所有质数都是奇数”的说法不成立。
【解析】
①判断：×
理由：非零自然数按照因数的个数可分为三类：1（只有1个因数）、质数（有2个因数）、合数（有2个以上因数），1既不是质数也不是合数，因此不能仅分成质数和合数。
②判断：×
理由：2是偶数，同时它的因数只有1和2，属于质数；质数中除了2以外都是奇数，所以“所有偶数都是合数，所有质数都是奇数”的说法错误。
补充说明：
非零自然数按因数个数分类：
1(1个) 质数(2个) 合数(2个以上)

●偶数中2的因数只有2个，故2不是合数。(0不在研究范围内)
●质数中除了2，都是奇数。
【答案】
①× 1既不是质数也不是合数。
②× 2既是偶数，又是质数。
(理由合理即可)

【知识点】
质数合数定义，奇数偶数概念，非零自然数分类
【点评】
本题考查对质数、合数、奇数、偶数核心概念的理解，重点在于关注1和2这两个特殊数，它们是这类概念判断题的常见易错点，提醒学生在学习数的分类时，要牢记特殊数的归属，避免概念混淆。
【难度系数】
0.6

4猜一猜。(在括号里填上合适的数)

4. 3 17 6 10
解析 第一组:质数的和20=3+17=7+13,其中乘积为51的是3和17。
第二组:方法一 合数的和16=4+12=6+10=8+8，其中相差4的是6和10。
方法二 采用解决和差问题的思路。
两个数分别为$(16 - 4)÷2 = 6$，$16 - 6 = 10$。

【分析】
首先解决第一组质数问题：需找到两个质数，满足和为20、积为51且区分大小。先回忆质数定义，列出所有和为20的质数组合，再通过乘积筛选出符合条件的数。
然后解决第二组合数问题：要找两个合数，满足和为16、差为4且区分大小。可先列举和为16的合数组合，筛选出差为4的数；也可利用和差问题公式计算，（和-差）÷2得较小数，再用和减去较小数得较大数。
【解析】
第一组：
已知两个质数的和是20，列出和为20的质数对：$3+17=20$，$7+13=20$。
计算乘积：$3×17=51$，$7×13=91$，符合积是51的是3和17，其中较小的质数是3，较大的质数是17。
第二组：
方法一：已知两个合数的和是16，列出和为16的合数对：$4+12=16$，$6+10=16$，$8+8=16$。
观察数对的差：$12-4=8$，$10-6=4$，$8-8=0$，符合差是4的是6和10，其中较小的合数是6，较大的合数是10。
方法二：利用和差问题公式计算，较小数$=(16-4)÷2=6$，较大数$=16-6=10$。
【答案】
3；17；6；10
【知识点】
质数与合数的认识，和差问题
【点评】
本题需熟练掌握质数、合数的定义，可通过列举法或和差问题公式解决数字推理问题，能培养逻辑推理与运算能力。
【难度系数】
0.7

5学校花圃种了不止1行向日葵,每行的棵数相等且不止1棵。课间三位同学来数向日葵的
棵数,如图。哪些同学一定数错了? 你是怎么判断的?

5. 答:小悦和小明一定数错了。因为向日葵的棵数除了1和它本身外，还有其他的因数，所以向日葵的棵数是合数，而53和59都是质数。
解析 向日葵行数和每行的棵数都是向日葵棵数的因数，根据题意可以判断出向日葵棵数应是合数，再根据质数、合数的概念判断即可。

【分析】
首先明确题目条件：向日葵不止1行，每行棵数相等且不止1棵，这说明总棵数可以表示为两个大于1的整数的乘积，即总棵数是合数（除了1和它本身外还有其他因数的数）。接下来回忆质数与合数的定义：质数只有1和它本身两个因数，合数除了1和本身还有其他因数。然后分别分析三位同学数的棵数，判断哪些是质数，哪些是合数，质数不符合条件，即为数错的情况。
【解析】
根据题意，向日葵的行数和每行的棵数都大于1，因此总棵数必须是合数（存在除了1和自身之外的其他因数）。
1. 判断53：53的因数只有1和53，属于质数，不符合总棵数为合数的条件；
2. 判断57：57=3×19，因数有1、3、19、57，属于合数，符合条件；
3. 判断59：59的因数只有1和59，属于质数，不符合总棵数为合数的条件。
因此小悦和小明数的棵数是质数，不符合实际情况，一定数错了。
【答案】
小悦和小明一定数错了。因为向日葵的棵数除了1和它本身外，还有其他的因数，所以向日葵的棵数是合数，而53和59都是质数。
【知识点】
质数与合数的概念
【点评】
本题结合实际场景考查质数与合数的概念，需要将实际条件转化为数学特征，锻炼学生运用数学概念解决实际问题的能力，同时巩固对质数、合数的判断方法。
【难度系数】
0.8

6一个数既是5的倍数,又是3的倍数,并且它每个数位上的数都是不同的质数,这样的数有
()。

6. 75,375,735
解析 这个数每个数位上的数都是不同的质数，所以每个数位上只能是2、3、5或7，且各不相同。
5的倍数→个位上只能是5
3的倍数→各位上的数的和是3的倍数
两位数:75
三位数:375,735

【分析】
首先，我们需要明确一位数的质数有2、3、5、7。接着根据题目条件逐步筛选：第一步，利用5的倍数特征（个位是0或5），但0不是质数，所以确定个位只能是5；第二步，依据3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），结合每个数位数字不同的要求，分两位数和三位数两种情况讨论：对于两位数，从剩下的2、3、7中选十位数字，计算其与5的和是否为3的倍数；对于三位数，从剩下的2、3、7中选两个不同的数作为百位和十位，计算三个数字之和是否为3的倍数，最终找出所有符合条件的数。
【解析】
1. 确定一位数的质数范围：2、3、5、7，且每个数位上的数互不相同。
2. 根据5的倍数特征分析：5的倍数个位是0或5，由于0不是质数，因此这个数的个位只能是5。
3. 根据3的倍数特征分情况讨论：
两位数：十位从2、3、7中选择，计算与5的和：
2+5=7，不是3的倍数；3+5=8，不是3的倍数；7+5=12，是3的倍数，所以符合条件的两位数是75。
三位数：百位和十位从2、3、7中选两个不同的数，计算三个数字之和：
2+3+5=10，不是3的倍数；2+7+5=14，不是3的倍数；3+7+5=15，是3的倍数，因此百位和十位可以是3和7的排列，得到375、735。
综上，符合条件的数为75、375、735。
【答案】
75,375,735
【知识点】
1. 质数的概念
2. 3的倍数特征
3. 5的倍数特征
【点评】
本题综合考查了质数概念与3、5的倍数特征，需要学生先明确一位数质数的范围，再结合倍数特征分类讨论两位数和三位数的情况，既考查了基础知识的掌握，又培养了逻辑思维与分类讨论能力。
【难度系数】
0.4