登录
6(易错题)如图,数学老师给手机新设置了一个锁屏密码,但是忘记了后两位数字,只记得这个密码既是5的倍数,又是3的倍数。为了解锁,他最多需要输入几次?
答案
6. 答：他最多需要输入7次。
解析：该锁屏密码是一个四位数，且这个四位数是5的倍数，所以密码可能是27□0或27□5。
如果是27□0，那么要使这个数是3的倍数，十位上的数可能是0,3,6或9。
如果是27□5，那么要使这个数是3的倍数，十位上的数可能是1,4或7。
解析：该锁屏密码是一个四位数，且这个四位数是5的倍数，所以密码可能是27□0或27□5。
如果是27□0，那么要使这个数是3的倍数，十位上的数可能是0,3,6或9。
如果是27□5，那么要使这个数是3的倍数，十位上的数可能是1,4或7。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合5和3的倍数特征来分析：首先根据5的倍数特征确定密码个位的可能取值，再针对每种个位情况，利用3的倍数特征找出十位上符合条件的数字，最后统计所有符合条件的组合数量，就是最多需要输入的次数。
【解析】
1. 根据5的倍数特征（个位数字是0或5的数是5的倍数），可知这个四位数密码的个位只能是0或5，分两种情况分析：
情况一：个位为0，密码形式为27□0。计算已知数位数字和：$2+7+0=9$，9是3的倍数，根据3的倍数特征（一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数），十位上的数需是3的倍数，因此十位可以是0、3、6、9，共4种可能。
情况二：个位为5，密码形式为27□5。计算已知数位数字和：$2+7+5=14$，要使总和是3的倍数，十位上的数需满足$14+十位数字$是3的倍数，因此十位可以是1、4、7，共3种可能。
2. 统计所有符合条件的组合：$4+3=7$（次），即最多需要输入7次。
【答案】
他最多需要输入7次。
【知识点】
1. 5的倍数特征
2. 3的倍数特征
【点评】
本题是倍数特征的综合应用，需要通过分类讨论缩小范围，解题时要全面考虑两种个位情况，避免遗漏符合条件的数字，锻炼分类思维和对倍数特征的熟练运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要结合5和3的倍数特征来分析：首先根据5的倍数特征确定密码个位的可能取值，再针对每种个位情况，利用3的倍数特征找出十位上符合条件的数字，最后统计所有符合条件的组合数量，就是最多需要输入的次数。
【解析】
1. 根据5的倍数特征（个位数字是0或5的数是5的倍数），可知这个四位数密码的个位只能是0或5，分两种情况分析：
情况一：个位为0，密码形式为27□0。计算已知数位数字和：$2+7+0=9$，9是3的倍数，根据3的倍数特征（一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数），十位上的数需是3的倍数，因此十位可以是0、3、6、9，共4种可能。
情况二：个位为5，密码形式为27□5。计算已知数位数字和：$2+7+5=14$，要使总和是3的倍数，十位上的数需满足$14+十位数字$是3的倍数，因此十位可以是1、4、7，共3种可能。
2. 统计所有符合条件的组合：$4+3=7$（次），即最多需要输入7次。
【答案】
他最多需要输入7次。
【知识点】
1. 5的倍数特征
2. 3的倍数特征
【点评】
本题是倍数特征的综合应用，需要通过分类讨论缩小范围，解题时要全面考虑两种个位情况，避免遗漏符合条件的数字，锻炼分类思维和对倍数特征的熟练运用能力。
【难度系数】
0.6
7(1)在右面的计数器上,要表示3的倍数,至少需要再拨入(
如果要表示5的倍数,那么至少需要再拨入(
(2)关于“用7颗珠子在下面的计数器上表示数,能表示出什么数?”三位同学有不同的想法,谁的想法不正确? 用你喜欢的方式说明理由。
2
)颗珠子；如果要表示5的倍数,那么至少需要再拨入(
4
)颗珠子。(2)关于“用7颗珠子在下面的计数器上表示数,能表示出什么数?”三位同学有不同的想法,谁的想法不正确? 用你喜欢的方式说明理由。
答案
7. (1)2 4
(2)答：小华的想法不正确。因为7不是3的倍数，所以7颗珠子怎么摆都不能使各位上的数的和是3的倍数。
解析：(1)3的倍数：各位上的数的和是3的倍数。各位上的数的和为4 + 5 + 1 = 10，至少需要再拨入12 - 10 = 2(颗)珠子。
5的倍数：个位上是0或5的数。个位上是1，至少需要再拨入5 - 1 = 4(颗)珠子。
(2)判断2和5的倍数看个位，3的倍数看各位。
根据下图可知，小锦和小琳的想法均正确。
2的倍数：个位上放0,2,4或6颗珠子，百、十位上放剩余珠子。
5的倍数：个位上放0或5颗珠子。
7不是3的倍数，所以各位上的数的和不是3的倍数，小华的想法不正确。
(2)答：小华的想法不正确。因为7不是3的倍数，所以7颗珠子怎么摆都不能使各位上的数的和是3的倍数。
解析：(1)3的倍数：各位上的数的和是3的倍数。各位上的数的和为4 + 5 + 1 = 10，至少需要再拨入12 - 10 = 2(颗)珠子。
5的倍数：个位上是0或5的数。个位上是1，至少需要再拨入5 - 1 = 4(颗)珠子。
(2)判断2和5的倍数看个位，3的倍数看各位。
根据下图可知，小锦和小琳的想法均正确。
2的倍数：个位上放0,2,4或6颗珠子，百、十位上放剩余珠子。
5的倍数：个位上放0或5颗珠子。
7不是3的倍数，所以各位上的数的和不是3的倍数，小华的想法不正确。
解析
【分析】
1. 第(1)题：
解决表示3的倍数的问题，需先回忆3的倍数特征：一个数各位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。先算出计数器现有各位数字之和为4+5+1=10，找到比10大的最小3的倍数是12，用12减去10即可得到需要拨入的珠子数。
解决表示5的倍数的问题，需回忆5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。题目要求“拨入”珠子，不能减少现有珠子，现有个位是1，要变成5需要增加的珠子数为5-1=4颗，若要变成0需去掉1颗，不符合拨入要求，因此选4颗。
2. 第(2)题：
回忆2、3、5的倍数特征：2的倍数看个位（个位是0、2、4、6、8），5的倍数看个位（个位是0或5），3的倍数看各位数字之和。7颗珠子表示的数，各位数字之和就是7，7不是3的倍数，所以不可能表示3的倍数，据此判断小华的想法错误。
【解析】
(1) ① 计算计数器现有各位数字之和：$4 + 5 + 1 = 10$。
根据3的倍数特征，比10大的最小3的倍数是12，因此至少需要拨入珠子数：$12 - 10 = 2$（颗）。
② 根据5的倍数特征，个位需是0或5，现有个位是1，且要求拨入珠子，将个位变为5，需要拨入：$5 - 1 = 4$（颗）。
(2) 2的倍数：可在个位放0、2、4、6颗珠子，剩余珠子放在百位和十位，能表示出2的倍数；
5的倍数：可在个位放0或5颗珠子，剩余珠子放在百位和十位，能表示出5的倍数；
3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，7颗珠子表示的数各位数字之和为7，7不是3的倍数，所以无法表示3的倍数，因此小华的想法不正确。
【答案】
(1) 2；4
(2) 小华的想法不正确。因为7不是3的倍数，所以7颗珠子怎么摆都不能使各位上的数的和是3的倍数。
【知识点】
3的倍数的特征、5的倍数的特征、2的倍数的特征
【点评】
本题主要考查2、3、5的倍数特征的实际应用，解题关键是准确区分不同倍数的判断依据，尤其注意“拨入珠子”这一条件对解题的限制，以及3的倍数需看各位数字之和的特点。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：
解决表示3的倍数的问题，需先回忆3的倍数特征：一个数各位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。先算出计数器现有各位数字之和为4+5+1=10，找到比10大的最小3的倍数是12，用12减去10即可得到需要拨入的珠子数。
解决表示5的倍数的问题，需回忆5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。题目要求“拨入”珠子，不能减少现有珠子，现有个位是1，要变成5需要增加的珠子数为5-1=4颗，若要变成0需去掉1颗，不符合拨入要求，因此选4颗。
2. 第(2)题：
回忆2、3、5的倍数特征：2的倍数看个位（个位是0、2、4、6、8），5的倍数看个位（个位是0或5），3的倍数看各位数字之和。7颗珠子表示的数，各位数字之和就是7，7不是3的倍数，所以不可能表示3的倍数，据此判断小华的想法错误。
【解析】
(1) ① 计算计数器现有各位数字之和：$4 + 5 + 1 = 10$。
根据3的倍数特征，比10大的最小3的倍数是12，因此至少需要拨入珠子数：$12 - 10 = 2$（颗）。
② 根据5的倍数特征，个位需是0或5，现有个位是1，且要求拨入珠子，将个位变为5，需要拨入：$5 - 1 = 4$（颗）。
(2) 2的倍数：可在个位放0、2、4、6颗珠子，剩余珠子放在百位和十位，能表示出2的倍数；
5的倍数：可在个位放0或5颗珠子，剩余珠子放在百位和十位，能表示出5的倍数；
3的倍数要求各位数字之和是3的倍数，7颗珠子表示的数各位数字之和为7，7不是3的倍数，所以无法表示3的倍数，因此小华的想法不正确。
【答案】
(1) 2；4
(2) 小华的想法不正确。因为7不是3的倍数，所以7颗珠子怎么摆都不能使各位上的数的和是3的倍数。
【知识点】
3的倍数的特征、5的倍数的特征、2的倍数的特征
【点评】
本题主要考查2、3、5的倍数特征的实际应用，解题关键是准确区分不同倍数的判断依据，尤其注意“拨入珠子”这一条件对解题的限制，以及3的倍数需看各位数字之和的特点。
【难度系数】
0.6
8请你尝试用“观察—猜想—验证—应用”的方法探究25的倍数特征。
观察:先举例看一看,25的倍数有(
我发现最后两位数是00,25,50或75。
猜想:只要一个数的最后两位数是(
验证:475的最后两位数是75,那么475是不是25的倍数呢?
$475÷25=$(
$475=4×100+75$
因为
所以
应用:根据结论,直接判断下面的数是不是25的倍数。(是的画“√”,不是的画“×”)
3725(
观察:先举例看一看,25的倍数有(
25,50,75,100,125,150,175,200
)(填200及以内的数)。我发现最后两位数是00,25,50或75。
猜想:只要一个数的最后两位数是(
00,25,50或75
),那么这个数就是25的倍数。验证:475的最后两位数是75,那么475是不是25的倍数呢?
$475÷25=$(
19
),475(是
)(填“是”或“不是”)25的倍数。$475=4×100+75$
因为
100和75都是25的倍数
,所以
475是25的倍数
。应用:根据结论,直接判断下面的数是不是25的倍数。(是的画“√”,不是的画“×”)
3725(
√
) 5555(×
) 12350(√
)答案
8. 25,50,75,100,125,150,175,200
00,25,50或75
19 是
100和75都是25的倍数，475是25的倍数
√ × √
解析：“观察—猜想—验证—应用”是数学问题研究常用的方法，本题据此一步步推理出结论：最后两位数是00、25、50或75的数都是25的倍数。
根据25的倍数特征判断，因为5555的最后两位数是55，不符合25的倍数特征，所以不是25的倍数。
00,25,50或75
19 是
100和75都是25的倍数，475是25的倍数
√ × √
解析：“观察—猜想—验证—应用”是数学问题研究常用的方法，本题据此一步步推理出结论：最后两位数是00、25、50或75的数都是25的倍数。
根据25的倍数特征判断，因为5555的最后两位数是55，不符合25的倍数特征，所以不是25的倍数。
解析
【分析】
我们按照“观察—猜想—验证—应用”的步骤逐步解题：
1. 观察阶段：先列举出200及以内25的倍数，通过观察这些数的末尾两位数，总结出共同规律；
2. 猜想阶段：根据观察到的末尾两位数的特点，提出关于25的倍数特征的猜想；
3. 验证阶段：一是通过除法运算直接判断475是否为25的倍数，二是从数的组成角度分析，因为100是25的倍数，整百部分必然是25的倍数，再加上末尾的75（也是25的倍数），所以整体符合25的倍数特征；
4. 应用阶段：依据猜想得出的特征，查看每个数的最后两位数是否为00、25、50或75，以此判断是否为25的倍数。
【解析】
1. 观察：200及以内25的倍数为25,50,75,100,125,150,175,200；
2. 猜想：只要一个数的最后两位数是00,25,50或75，那么这个数就是25的倍数；
3. 验证：计算$475÷25=19$，可知475是25的倍数；从数的组成来看，$475=4×100+75$，因为100和75都是25的倍数，所以475是25的倍数；
4. 应用：3725的最后两位数是25，符合特征，画√；5555的最后两位数是55，不符合特征，画×；12350的最后两位数是50，符合特征，画√。
【答案】
25,50,75,100,125,150,175,200
00,25,50或75
19 是
100和75都是25的倍数，475是25的倍数
√ × √
【知识点】
25的倍数特征、数的组成分析、探究规律的方法
【点评】
本题通过“观察—猜想—验证—应用”的科学探究流程，引导学生自主推导25的倍数特征，既深化了学生对倍数概念的理解，又培养了科学探究的思维习惯，有助于提升学生分析和解决问题的能力。
【难度系数】
0.8
我们按照“观察—猜想—验证—应用”的步骤逐步解题：
1. 观察阶段：先列举出200及以内25的倍数，通过观察这些数的末尾两位数，总结出共同规律；
2. 猜想阶段：根据观察到的末尾两位数的特点，提出关于25的倍数特征的猜想；
3. 验证阶段：一是通过除法运算直接判断475是否为25的倍数，二是从数的组成角度分析，因为100是25的倍数，整百部分必然是25的倍数，再加上末尾的75（也是25的倍数），所以整体符合25的倍数特征；
4. 应用阶段：依据猜想得出的特征，查看每个数的最后两位数是否为00、25、50或75，以此判断是否为25的倍数。
【解析】
1. 观察：200及以内25的倍数为25,50,75,100,125,150,175,200；
2. 猜想：只要一个数的最后两位数是00,25,50或75，那么这个数就是25的倍数；
3. 验证：计算$475÷25=19$，可知475是25的倍数；从数的组成来看，$475=4×100+75$，因为100和75都是25的倍数，所以475是25的倍数；
4. 应用：3725的最后两位数是25，符合特征，画√；5555的最后两位数是55，不符合特征，画×；12350的最后两位数是50，符合特征，画√。
【答案】
25,50,75,100,125,150,175,200
00,25,50或75
19 是
100和75都是25的倍数，475是25的倍数
√ × √
【知识点】
25的倍数特征、数的组成分析、探究规律的方法
【点评】
本题通过“观察—猜想—验证—应用”的科学探究流程，引导学生自主推导25的倍数特征，既深化了学生对倍数概念的理解，又培养了科学探究的思维习惯，有助于提升学生分析和解决问题的能力。
【难度系数】
0.8
