1 在没有余数的算式后面的$\boldsymbol{□}$里画“√”。
$216÷2\boldsymbol{□}$ $151÷5\boldsymbol{□}$ $423÷3\boldsymbol{□}$ $91÷3\boldsymbol{□}$ $540÷3\boldsymbol{□}$

1. 216÷2 √ 423÷3 √ 540÷3 √
解析：在整数除法中，若商是整数且没有余数，则说明被除数是除数的倍数，所以只需要判断被除数是不是除数的倍数即可。

【分析】
要判断除法算式是否没有余数，关键是看被除数能否被除数整除，也就是被除数是否是除数的倍数。我们可以利用2、3、5的倍数特征来快速判断：
1. 除数是2时，看被除数个位是否为偶数；
2. 除数是5时，看被除数个位是否为0或5；
3. 除数是3时，计算被除数各位数字之和是否能被3整除。
按照这个思路逐个分析每个算式即可得出结论。
【解析】
1. $216÷2$：216的个位数字是6，是偶数，符合2的倍数特征，所以216能被2整除，没有余数，在$\boldsymbol{□}$里画“√”。
2. $151÷5$：151的个位数字是1，不是0或5，不符合5的倍数特征，所以151不能被5整除，有余数，不画“√”。
3. $423÷3$：423各位数字之和为$4+2+3=9$，9能被3整除，符合3的倍数特征，所以423能被3整除，没有余数，在$\boldsymbol{□}$里画“√”。
4. $91÷3$：91各位数字之和为$9+1=10$，10不能被3整除，不符合3的倍数特征，所以91不能被3整除，有余数，不画“√”。
5. $540÷3$：540各位数字之和为$5+4+0=9$，9能被3整除，符合3的倍数特征，所以540能被3整除，没有余数，在$\boldsymbol{□}$里画“√”。
【答案】
216÷2 √ 423÷3 √ 540÷3 √
【知识点】
整除的特征、倍数的判断
【点评】
本题考查整数除法中无余数的判断方法，核心是利用2、3、5的倍数特征快速判断被除数是否为除数的倍数，既考查了对倍数特征的掌握，也提升了学生的数感和快速判断能力。
【难度系数】
0.8

(1)一个数是50的因数,同时也是5的倍数。这个数可能是()。

2. (1)5,10,25或50
解析：可以根据除法算式或者乘法算式，先找出50的因数，有1,2,5,10,25,50。再在50的因数中找是5的倍数的数，即5,10,25,50。

【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先找出50的所有因数，因数是能整除50的数，可通过乘法或除法算式列举；第二步，从这些因数里筛选出是5的倍数的数，利用5的倍数特征（个位是0或5）就能快速判断。
【解析】
1. 找出50的因数：根据乘法算式，1×50=50，2×25=50，5×10=50，所以50的因数有1、2、5、10、25、50。
2. 筛选5的倍数：在50的因数中，个位是0或5的数为5、10、25、50，这些数都是5的倍数。
【答案】
5,10,25或50
【知识点】
因数的概念，5的倍数特征
【点评】
本题综合考查因数与倍数的相关知识，需要学生熟练掌握找一个数因数的方法，同时能运用5的倍数特征进行筛选，有助于强化对因数、倍数概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7

(2)既是奇数,又是5的倍数的最小三位数是()。既是2和3的倍数,又是5的倍数的最小三位数是(),最大三位数是()。

(2)105 120 990
解析：既是奇数，又是5的倍数的最小三位数，个位上只能是5，百位、十位均最小，是105(首位不能是0)。
既是2和3的倍数，又是5的倍数的最小/大三位数，个位上是0，百位最小/大，最小1□0，最大9□0。
各位上的数的分别从小往大、从大往小试数得，和是3的倍数，120(1 + 2 + 0 = 3)，990(9 + 9 + 0 = 18)。

【分析】
要解决这道题，需结合数的奇偶性与倍数特征逐步推导：
1. 找“既是奇数，又是5的倍数的最小三位数”：先明确奇数的个位是1、3、5、7、9，5的倍数个位是0或5，两者结合可知这个数的个位必须是5。要组成最小三位数，百位取最小的非0数字1，十位取最小数字0，即可得到符合要求的数。
2. 找“既是2和3的倍数，又是5的倍数的最小、最大三位数”：同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；再结合3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）分析。找最小三位数时，百位取1，从最小数字开始试十位，使各位数字和是3的倍数；找最大三位数时，百位取9，从最大数字开始试十位，满足各位数字和是3的倍数即可。
【解析】
1. 既是奇数又是5的倍数的数，个位只能是5。要组成最小三位数，百位最小为1，十位最小为0，因此这个数是105。
2. 同时是2、3、5的倍数的数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数：
最小三位数：百位取1，尝试十位数字，当十位为2时，1+2+0=3，是3的倍数，所以最小三位数是120。
最大三位数：百位取9，尝试十位数字，当十位为9时，9+9+0=18，是3的倍数，所以最大三位数是990。
【答案】
105 120 990

【知识点】
1. 奇数的特征
2. 2、3、5的倍数特征
【点评】
本题考查数的奇偶性与倍数特征的综合应用，解题核心是熟练掌握各类数的特征，通过限定数位上的数字范围，快速筛选出符合条件的数，培养学生对数字特征的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

(3)如果自然数$a$的最大因数是17,自然数$b$的最小倍数是1,那么$a+b$的和的因数有(),其中奇数有()。

(3)1,2,3,6,9,18 1,3,9
解析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以a = 17，b = 1，a + b = 18。18的因数有1,2,3,6,9,18，再在其中找个位上是1,3,5,7或9的数。

【分析】
首先要明确因数和倍数的核心性质：一个自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此先确定a和b的值，再计算a+b的和，接着找出这个和的所有因数，最后从因数中筛选出奇数。具体思考步骤：①根据“a的最大因数是17”得出a=17；②根据“b的最小倍数是1”得出b=1；③计算a+b的和；④用成对列举法找出和的所有因数；⑤依据奇数的定义（不能被2整除的整数）筛选出其中的奇数。
【解析】
1. 确定a、b的值：
因为一个数的最大因数是它本身，所以自然数a的最大因数是17，则a=17；
因为一个数的最小倍数是它本身，所以自然数b的最小倍数是1，则b=1。
2. 计算a+b的和：
a+b=17+1=18。
3. 找出18的所有因数：
从1开始成对列举，1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1,2,3,6,9,18。
4. 筛选出其中的奇数：
奇数是不能被2整除的数，在18的因数中，1、3、9不能被2整除，所以奇数是1,3,9。
【答案】
1,2,3,6,9,18；1,3,9
【知识点】
因数倍数性质、找因数方法、奇数概念
【点评】
本题考查因数与倍数的基本性质、找一个数因数的方法以及奇数的定义，属于基础概念题，解题关键是熟练掌握因数和倍数的核心性质，准确列举因数并判断奇数，注重细节即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

(1)秦始皇陵及兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”。其中二号兵马俑坑第三单元有264个步兵俑,优优用下面的方法数这些步兵俑,不能正好数完的是()。

A.2个2个地数
B.3个3个地数
C.5个5个地数
D.6个6个地数

3. (1)C
解析：不能正好数完说明264不是这个数的倍数。个位上是0,2,4,6或8→是2的倍数；264 2 + 6 + 4 = 12 →是3的倍数；个位上不是0或5 →不是5的倍数；264÷6 = 44 →是6的倍数。
小知识：一个数是2的倍数，且各位上的数的和是3的倍数，这个数就是6的倍数。

【分析】
要判断哪种数法不能正好数完264个步兵俑，本质是判断264是否为对应数字的倍数。我们可以根据2、3、5、6的倍数特征逐一分析每个选项：
1. 2的倍数看个位数字是否为0、2、4、6、8；
2. 3的倍数看各位数字之和是否为3的倍数；
3. 5的倍数看个位数字是否为0或5；
4. 6的倍数需同时满足是2和3的倍数（因为6是2和3的公倍数）。
通过这些特征逐一验证选项，就能找出不能正好数完的数法。
【解析】
选项A：2个2个地数。264的个位数字是4，符合2的倍数特征，所以264是2的倍数，能正好数完。
选项B：3个3个地数。计算264各位数字之和：2+6+4=12，12是3的倍数，所以264是3的倍数，能正好数完。
选项C：5个5个地数。264的个位数字是4，不是0或5，不符合5的倍数特征，所以264不是5的倍数，不能正好数完。
选项D：6个6个地数。因为264既是2的倍数又是3的倍数，根据6的倍数特征（同时是2和3的倍数），可知264是6的倍数，也可通过计算264÷6=44，能整除，所以能正好数完。
综上，不能正好数完的是选项C。
【答案】
C

【知识点】
2、3、5的倍数特征；6的倍数特征
【点评】
本题考查倍数特征的实际应用，需要学生熟练掌握2、3、5、6的倍数判断方法，通过特征分析或简单除法计算即可快速解题，侧重对基础知识的理解与运用，有助于巩固数的整除相关概念。
【难度系数】
0.8

(2)下面说法中,正确的是()。
①2的倍数都是偶数,3的倍数都是奇数。
②比偶数大1的数都是奇数,两个连续的奇数相差2。
③自然数$m$大于自然数$n$,$m$的因数个数一定比$n$的多。

A.①
B.②
C.①②
D.②③

(2)B
解析：①错误，整数中，是2的倍数的数叫作偶数；6是3的倍数，但6是偶数。
②正确，奇数有1,3,5,...，两个连续的奇数相差2，且奇数1,3,5,...分别比偶数0,2,4,...大1。
③错误，9＞8，8的因数有1,2,4,8，而9的因数只有1,3,9。

【分析】
要解决这道题，我们需要逐个分析每个说法的正误：
1. 对于说法①，先明确偶数、奇数的定义，再通过举反例判断3的倍数是否都是奇数；
2. 对于说法②，根据偶数和奇数的关系，以及连续奇数的特点进行验证；
3. 对于说法③，通过选取具体的自然数，比较它们的因数个数来判断。
最后结合判断结果选出正确选项。
【解析】
①：整数中，是2的倍数的数叫作偶数，所以2的倍数都是偶数；但3的倍数不一定都是奇数，例如6是3的倍数，同时6是偶数，因此①错误。
②：偶数加1得到的数都不能被2整除，属于奇数，比如0+1=1，2+1=3；两个连续的奇数，如1和3、3和5，它们的差都是2，因此②正确。
③：举例验证，自然数m=9，n=8，9＞8，8的因数有1、2、4、8，共4个；9的因数有1、3、9，共3个，可见m的因数个数比n少，因此③错误。
综上，只有②正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
奇数与偶数的性质、因数的概念
【点评】
本题考查奇数、偶数的基本性质以及因数的相关概念，解题关键是通过举反例的方法快速判断说法的正误，要求学生熟练掌握基础概念，提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

(3)(易错题)下面的自然数(均为五位数)中,$X$是任意相同的非零数字,$Y=0$。一定既有因数2,又有因数3的是()。

A.$\boldsymbol{\overline{XYXYX}}$
B.$\boldsymbol{\overline{XXYYY}}$
C.$\boldsymbol{\overline{XXXYY}}$
D.$\boldsymbol{\overline{XYYYX}}$

(3)C
解析：第一步，选项中都是五位数，为了保证有因数3，这个数里必须有3个X。
第二步，因为不确定X是奇数还是偶数，所以为了保证有因数2，这个数的个位上必须是Y。
据此可知，C选项符合要求。

【分析】
要解决这道题，我们需要结合2和3的倍数特征来分析：首先，有因数2的数是2的倍数，特征是个位数字为偶数（本题中Y=0，属于偶数）；有因数3的数是3的倍数，特征是各位数字之和是3的倍数。由于X是任意非零相同数字，我们需要找到同时满足两个条件的选项：
1. 保证是3的倍数：因为X不确定是否为3的倍数，所以X的个数必须是3的倍数，这样3个X的和（3X）一定是3的倍数；
2. 保证是2的倍数：个位必须是Y（0），这样无论X是奇数还是偶数，都能满足个位是偶数的要求。
接下来我们结合这两个条件逐一分析选项即可。
【解析】
根据2和3的倍数特征逐一分析选项：
1. 选项A：$\boldsymbol{\overline{XYXYX}}$
个位是X，无法保证是偶数（X是任意非零数字，可能为奇数），不满足有因数2的条件，排除。
2. 选项B：$\boldsymbol{\overline{XXYYY}}$
个位是Y（0），满足有因数2的条件；但数字和为$2X$，当X取1、2等非3的倍数时，$2X$不是3的倍数，无法保证有因数3，排除。
3. 选项C：$\boldsymbol{\overline{XXXYY}}$
个位是Y（0），满足有因数2的条件；数字和为$3X$，$3X$一定是3的倍数，满足有因数3的条件，符合要求。
4. 选项D：$\boldsymbol{\overline{XYYYX}}$
个位是X，无法保证是偶数，不满足有因数2的条件；数字和为$2X$，无法保证是3的倍数，排除。
综上，只有选项C同时满足既有因数2又有因数3的要求。
【答案】
C
【知识点】
2的倍数特征、3的倍数特征
【点评】
本题考查2和3的倍数特征的综合应用，易错点在于忽略X的“任意非零”属性，容易误选仅在特定X取值下成立的选项。解题时需明确：要保证对任意非零X都成立，必须同时满足个位为偶数、X的个数是3的倍数这两个核心条件。
【难度系数】
0.6

4从$\boldsymbol{0}$、$\boldsymbol{2}$、$\boldsymbol{5}$、$\boldsymbol{7}$这四张数字卡片中按要求取出三张,组成三位数。按要求填一填。
偶数:取出的卡片必须有$\boldsymbol{□}$或$\boldsymbol{□}$,组成的数有。
3的倍数:取出的卡片只能是$\boldsymbol{□}$、$\boldsymbol{□}$、$\boldsymbol{□}$或$\boldsymbol{□}$、$\boldsymbol{□}$、$\boldsymbol{□}$,因为。
同时有因数2、3、5的数:可取出卡片$\boldsymbol{□}$、$\boldsymbol{□}$、$\boldsymbol{□}$,组成的数有。

4. 0 2
250,520,270,720,570,750,502,702,572,752
0 2 7 0 5 7 各个数字相加是3的倍数
0 2 7 720,270 (或0 5 7 570,750)
解析：偶数：个位上是0或2，且最高位不能是0。
3的倍数：各位上的数的和是3的倍数，符合条件的只有0,2,7和0,5,7两组数据。
同时有因数2、3、5的数：个位上是0，且各位上的数的和是3的倍数。

【分析】
要解决这道题，我们需要根据不同数的特征逐步分析：
1. 对于偶数：首先回忆偶数定义，能被2整除的数个位是0、2、4、6、8，题目中只有0和2符合，所以三位偶数的个位必须是0或2，同时要注意三位数的百位不能为0，因此分两种情况列举：个位是0时，百位从2、5、7中选，十位选剩下的数字；个位是2时，百位从5、7中选，十位选剩下的数字（包括0）。
2. 对于3的倍数：根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，我们需要计算从四张卡片中选三张的数字和，判断哪些组合的和是3的倍数，从而确定可选的卡片。
3. 对于同时有因数2、3、5的数：这类数是2、3、5的公倍数，需同时满足个位是0（满足2和5的倍数），且各位数字之和是3的倍数（满足3的倍数），结合前面的分析找出符合的卡片组合并写出对应的数。
【解析】
1. 偶数：
偶数的个位数字需为0或2，且百位不能为0：
当个位是0时，百位可选2、5、7，对应组成的数为250、520、270、720、570、750；
当个位是2时，百位可选5、7，对应组成的数为502、702、572、752；
所以取出的卡片必须有0或2，组成的数为250,520,270,720,570,750,502,702,572,752。
2. 3的倍数：
根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数。计算各组合的和：
$0+2+7=9$，9是3的倍数；
$0+5+7=12$，12是3的倍数；
$0+2+5=7$，7不是3的倍数；
$2+5+7=14$，14不是3的倍数；
因此取出的卡片只能是0、2、7或0、5、7，因为这两组卡片的数字之和是3的倍数。
3. 同时有因数2、3、5的数：
同时是2、3、5的倍数需满足：个位是0（满足2和5的倍数），且各位数字之和是3的倍数（满足3的倍数）。符合条件的卡片组合是0、2、7或0、5、7，组成的数为720,270（或570,750）。
【答案】
0 2
250,520,270,720,570,750,502,702,572,752
0 2 7；0 5 7；各个数字相加是3的倍数
0 2 7；720,270 (或0 5 7；570,750)
【知识点】
偶数的特征、3的倍数特征、2、3、5的公倍数特征
【点评】
本题综合考查了数的整除特征，要求学生熟练掌握偶数、3的倍数以及2、3、5公倍数的判定方法，同时在列举数字时需注意三位数的百位不能为0，培养学生严谨的逻辑思维和有序列举的能力。
【难度系数】
0.6

5一条河从森林公园穿过,河的东、西两岸间只有一条摆渡船。摆渡船从东岸摆渡到西岸,再从西岸摆渡到东岸,往返一回(算摆渡2次)需要10分钟。

摆渡船最初在东岸,摆渡了256次后,这条船在东岸还是在西岸?写出思考过程。

5. 答：这条船在东岸。因为摆渡奇数次后，船在西岸，摆渡偶数次后，船在东岸，而256是偶数。
解析：方法一：往返256÷2 = 128(回)，摆渡船回到最初的位置，即东岸。
方法二：摆渡了256次是摆渡了偶数次，如下图。
摆渡1次/3次/5次……(奇数次)
东岸 ←→ 西岸
摆渡2次/4次/6次……(偶数次)

【分析】
我们可以从两个角度思考解题思路：一是观察摆渡次数与船所在位置的对应规律，初始位置为东岸，摆渡1次到西岸，摆渡2次回东岸，摆渡3次到西岸……由此可归纳出次数奇偶性和位置的关系；二是从往返的角度，每往返1回（摆渡2次）船就回到初始东岸，计算256次包含多少个往返，即可判断位置。
【解析】
方法一：通过往返次数判断
每往返1回需要摆渡2次，计算256次包含的往返回数：
$256÷2 = 128$（回）
每完成1次往返后船都会回到最初的东岸位置，因此128回后船在东岸。
方法二：利用奇偶性规律判断
观察摆渡次数和位置的关系：
摆渡奇数次（1次、3次、5次……）时，船在西岸；
摆渡偶数次（2次、4次、6次……）时，船在东岸。
因为256是偶数，所以摆渡256次后，船在东岸。
【答案】
这条船在东岸。因为摆渡奇数次后，船在西岸，摆渡偶数次后，船在东岸，而256是偶数。
【知识点】
奇偶性应用、找规律解题
【点评】
本题结合实际生活场景，考查学生对规律的归纳总结能力以及奇偶性的实际应用，解题核心是发现摆渡次数的奇偶性与船所在位置的对应关系。
【难度系数】
0.8