1 一条彩带,小锦第一次用去全长的一半,第二次又用去剩下的一半,第三次再用去剩下的一半。
请你在下图中标出小锦每次用去彩带的情况,她一共用去彩带全长的$\boldsymbol{\frac{( )}{( )}}$。

1. $\frac{7}{8}$
　
　解析第一次用去全长的$\frac{1}{2}$，第二次用去剩下$\frac{1}{2}$的一半，即用去$\frac{1}{4}$。此时剩下$\frac{1}{4}$，再用去$\frac{1}{4}$的一半，即$\frac{1}{8}$。一共用去$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$。

【分析】
我们可以把彩带的全长看作单位“1”来逐步分析：
1. 第一次用去全长的一半，也就是用去了全长的$\frac{1}{2}$，此时剩下的长度是全长的$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
2. 第二次用去剩下的一半，这里的单位“1”变成了第一次用完后剩下的部分，也就是用去了$\frac{1}{2}$的$\frac{1}{2}$，即全长的$\frac{1}{4}$，此时剩下的长度是全长的$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$；
3. 第三次用去剩下的一半，单位“1”是第二次用完后剩下的部分，也就是用去了$\frac{1}{4}$的$\frac{1}{2}$，即全长的$\frac{1}{8}$；
最后将三次用去的占全长的分率相加，就能得到一共用去的部分。
【解析】
把彩带全长看作单位“1”：
1. 第一次用去的长度占全长的：$\frac{1}{2}$
2. 第二次用去的长度占全长的：$(1-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
3. 第三次用去的长度占全长的：$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4})×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
将三次用去的分率相加：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$
每次用去彩带的情况标注如下：

【答案】
$\frac{7}{8}$

【知识点】
分数的意义、分数加法运算、分数乘法应用
【点评】
本题考查分数的意义及分数四则运算的综合应用，核心是准确判断每次计算时的单位“1”，通过逐步推导的方式计算每次用去的占比，能有效锻炼学生的逻辑思维和分数运算能力。
【难度系数】
0.6

2 一碗芝麻糊,小曲喝了$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$碗后,觉得有点稠,就兑满水后又喝了一半。小曲一共喝了多少碗
芝麻糊？下面是三位同学的想法,正确的是()。

2. 丙
　解析本题呈现了两种易错的思路。
　甲错在没有考虑到兑水以后芝麻糊被稀释。
　乙错在小曲第二次喝时，喝的是第一次剩下的$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$(碗)芝麻糊的一半，而非$\frac{1}{3}$碗的一半。

【分析】
要解决这个问题，核心是准确计算每次喝的芝麻糊的量，注意区分“喝的液体总量”和“喝的芝麻糊量”：
1. 第一次喝的是纯芝麻糊，量为$\frac{1}{3}$碗，这部分是明确的。
2. 兑满水后，碗里剩余的芝麻糊是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$碗，此时喝了一半，喝的芝麻糊是剩余芝麻糊的一半，即$\frac{2}{3}$的$\frac{1}{2}$，也就是$\frac{1}{3}$碗。
3. 对比三位同学的思路：甲错误将第二次喝的液体总量当成芝麻糊量；乙错误计算了第二次喝的芝麻糊的基数；只有丙的思路符合正确的计算逻辑。
【解析】
1. 分析甲的思路：甲第二次喝了$\frac{1}{2}$碗，这是兑水后液体的总量，并非纯芝麻糊的量，忽略了兑水后芝麻糊被稀释的情况，因此甲的计算错误。
2. 分析乙的思路：乙认为第二次喝了$\frac{1}{3}$碗的一半，但实际上第一次喝完后剩余的芝麻糊是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$碗，第二次喝的是$\frac{2}{3}$碗芝麻糊的一半，并非$\frac{1}{3}$碗的一半，因此乙的计算错误。
3. 分析丙的思路：第一次喝了$\frac{1}{3}$碗纯芝麻糊；第二次喝的是剩余$\frac{2}{3}$碗芝麻糊的一半，即$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$碗芝麻糊；总共喝的芝麻糊是$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$碗，思路正确。
【答案】
丙
【知识点】
分数加减法应用、分数的意义
【点评】
本题容易混淆“液体总量”和“芝麻糊量”，解题时要明确每次喝的芝麻糊是剩余纯芝麻糊的一部分，不能直接将喝的液体总量当作芝麻糊量，需结合分数的意义准确计算剩余芝麻糊的占比。
【难度系数】
0.6

3 妈妈点了一杯咖啡,喝了半杯后感觉有点苦,就兑满了牛奶。搅匀后又喝了半杯,临时有工
作就离开了。妈妈一共喝了()杯咖啡,()杯牛奶。

3. $\frac{3}{4}$　$\frac{1}{4}$
　解析如图，喝了$(\frac{1}{2} + \frac{1}{4})$杯咖啡，$\frac{1}{4}$杯牛奶。
　　　
　　　喝了$\frac{1}{2}$杯咖啡。咖啡有$\frac{1}{2}$杯，喝了$\frac{1}{4}$杯咖啡和$\frac{1}{4}$杯牛奶。

【分析】
要解决这个问题，我们可以分开计算咖啡和牛奶的饮用总量：
1. 咖啡：妈妈第一次喝了半杯纯咖啡，此时杯子里剩下$\frac{1}{2}$杯咖啡；兑满牛奶后，杯子里咖啡和牛奶各占$\frac{1}{2}$，搅匀后喝半杯，这半杯里的咖啡是剩余$\frac{1}{2}$杯咖啡的一半，即$\frac{1}{4}$杯，将两次喝的咖啡量相加就是总咖啡量。
2. 牛奶：第一次没有喝牛奶，兑入的牛奶是$\frac{1}{2}$杯，搅匀后喝的半杯里，牛奶是兑入牛奶的一半，即$\frac{1}{4}$杯，这就是总牛奶量。
【解析】
1. 计算咖啡的总量：
第一次饮用的咖啡：$\frac{1}{2}$杯
兑满牛奶后，剩余咖啡量为$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$杯，第二次饮用的半杯饮品中，咖啡占比$\frac{1}{2}$，所以第二次喝的咖啡量为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$杯
总共喝的咖啡：$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$杯
2. 计算牛奶的总量：
第一次未饮用牛奶，第二次饮用的半杯饮品中，牛奶占比$\frac{1}{2}$，兑入的牛奶为$\frac{1}{2}$杯，所以第二次喝的牛奶量为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$杯
总共喝的牛奶：$\frac{1}{4}$杯
【答案】
$\frac{3}{4}$　$\frac{1}{4}$

【知识点】
分数的实际应用、分数加减法
【点评】
本题是分数在生活场景中的典型应用，解题关键是明确每次饮品中咖啡和牛奶的占比，通过分步计算避免混淆两种饮品的饮用总量，锻炼学生的逻辑分析和分数运算能力。
【难度系数】
0.4

4 中国山水画以山川等自然景观为主要描绘对象,需要用不同浓度的墨来形成层次感。小刚
在画一幅山水画时,倒了一碟墨汁,先用了$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$之后加满水,然后用了$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$后再加满水,又用了半
碟之后再加满水,最后把这一碟全用完了。小刚用的墨汁多还是水多？

4. 墨汁:1碟
　水:$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{31}{30}$(碟)　$1 ＜ \frac{31}{30}$
　答:小刚用的水多。
　解析无论怎么加水，墨汁都是1碟，只需要将三次的加水量相加，再和墨汁的量比较即可。

【分析】
首先要明确墨汁的总量：一开始倒了1碟墨汁，之后只加水未再加墨，所以小刚用的墨汁总量就是1碟。接着分析水的用量：每次用完一部分液体后加满水，加水量等于每次用掉的那部分液体的量，因此只需把三次加水量相加得到水的总用量，再和墨汁的量比较大小，就能判断谁多谁少。
【解析】
1. 墨汁用量：全程未添加墨汁，初始为1碟且最后全用完，故墨汁用量为1碟。
2. 水的用量：三次加水量分别为$\frac{1}{5}$碟、$\frac{1}{3}$碟、$\frac{1}{2}$碟，求和计算：
$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$
$=\frac{6}{30} + \frac{10}{30} + \frac{15}{30}$
$=\frac{6+10+15}{30}$
$=\frac{31}{30}$（碟）
3. 大小比较：因为$1=\frac{30}{30}$，且$\frac{30}{30} ＜ \frac{31}{30}$，所以水的用量更多。
【答案】
小刚用的水多。
【知识点】
分数加法运算、分数大小比较、总量守恒思想
【点评】
本题核心是抓住墨汁总量始终为1碟的不变量，无需考虑混合后墨汁浓度，只需计算总加水量并与墨汁量对比即可，考查学生对实际问题数量关系的分析能力和分数运算能力。
【难度系数】
0.7

5 兄弟两人带着同样多的钱去买学习用品。哥哥用$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$的钱买了水彩笔,然后用剩下的钱的$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
买了练习本;弟弟用$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$的钱买了文具盒,然后用剩下的钱的$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$买了钢笔。
(1)在下图中继续画出两人花钱购物的情况。

(2)哥哥和弟弟花的总钱数相比,谁的多？

5. (1)示例:
　　哥哥的钱　　　　　弟弟的钱
　　　　　
　(2)由第(1)题的图可知，哥哥买练习本的钱是总钱数的$\frac{1}{6}$，弟弟买钢笔的钱是总钱数的$\frac{1}{3}$。
　　　哥哥花掉了总钱数的$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$。
　　　弟弟花掉了总钱数的$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。　$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
　　　答:哥哥和弟弟花的总钱数一样多。
　解析在上图基础上继续细分，可更清楚地知道各部分钱数占总钱数的分率，进而答题。
　　　　　哥哥的钱　　　　　弟弟的钱
　　　

【分析】
对于第(1)题，先梳理两人花钱的拆分逻辑：哥哥的总钱数先平均分成2份，水彩笔占1份，剩余的1份需再平均分成3份，其中1份对应买练习本的钱；弟弟的总钱数先平均分成3份，文具盒占1份，剩余的2份再平均分成2份，其中1份对应买钢笔的钱，按照这个逻辑补充画图即可。
对于第(2)题，由于两人总钱数相同，只需计算两人花的钱占总钱数的分率再比较。先计算哥哥买练习本的钱占总钱数的分率，即剩余钱数的$\frac{1}{3}$，再加上水彩笔的分率得到总花费分率；同理计算弟弟买钢笔的钱占总钱数的分率，加上文具盒的分率得到总花费分率，最后比较两个分率大小。
【解析】
(1) 按照分析的逻辑补充画图：
哥哥的钱：将代表剩余钱的1份再平均分成3份，标注其中1份为“练习本”；
弟弟的钱：将代表剩余钱的2份再平均分成2份，标注其中1份为“钢笔”。
具体画图如下：
哥哥的钱　　　　　弟弟的钱

(2) 计算哥哥的总花费占比：
哥哥买练习本的钱占总钱数的：$(1-\frac{1}{2})×\frac{1}{3}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
哥哥总共花的钱占总钱数的：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$
计算弟弟的总花费占比：
弟弟买钢笔的钱占总钱数的：$(1-\frac{1}{3})×\frac{1}{2}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
弟弟总共花的钱占总钱数的：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
因为$\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$，所以哥哥和弟弟花的总钱数一样多。
【答案】
(1)
哥哥的钱　　　　　弟弟的钱

(2) 哥哥和弟弟花的总钱数一样多。
【知识点】
分数的意义、分数加减法、分数乘法
【点评】
本题借助画图直观理解分数意义，重点考查分数乘加减法的实际应用，通过拆分总钱数的占比，清晰梳理数量关系，帮助学生掌握分数在实际问题中的计算方法。
【难度系数】
0.6