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6信德小学举行“六一”诗歌大赛，设一、二、三等奖。预计一、二等奖的数量占奖项总数的$\frac{1}{2}$，二、三等奖的数量占奖项总数的$\frac{4}{5}$。二等奖的数量占奖项总数的几分之几？
(1)根据题中信息,补全下图。
(2)下面是小锦的解法,她的解题思路是什么?
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}=\frac{13}{10}$ $\frac{13}{10}-1=\frac{3}{10}$
(3)你还会用其他方法解决这个问题吗？写一写。
(1)根据题中信息,补全下图。
(2)下面是小锦的解法,她的解题思路是什么?
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}=\frac{13}{10}$ $\frac{13}{10}-1=\frac{3}{10}$
(3)你还会用其他方法解决这个问题吗？写一写。
答案
6. (1)
(2)答:$\frac{1}{2}$表示一、二等奖数量占奖项总数的分率，$\frac{4}{5}$表示二、三等奖数量占奖项总数的分率，两者相加时，二等奖的数量占奖项总数的分率被重复计算，因此用它们的和减去1，就是二等奖的数量占奖项总数的分率。（表述合理即可）
(3)方法一：$\frac{4}{5}-(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{10}$
方法二：$\frac{1}{2}-(1-\frac{4}{5})=\frac{3}{10}$
答:二等奖的数量占奖项总数的$\frac{3}{10}$。（方法不唯一）
解析 (1)上面的括号表示二、三等奖的数量占奖项总数的分率，下面的括号表示一、二等奖的数量占奖项总数的分率，据此填空即可。
(2)$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}=$(一等奖+二等奖)+(二等奖+三等奖)
$=$(一等奖+二等奖+三等奖)+二等奖
$=1+$二等奖
所以二等奖$=\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1=\frac{3}{10}$。
(3)方法一 先算出三等奖的数量占奖项总数的分率$1-\frac{1}{2}$，再用二、三等奖的数量占奖项总数的分率减去它即可。
方法二 先算出一等奖的数量占奖项总数的分率$1-\frac{4}{5}$，再用一、二等奖的数量占奖项总数的分率减去它即可。
解析
【分析】
1. 第(1)题：根据题目给出的“一、二等奖的数量占奖项总数的$\frac{1}{2}$，二、三等奖的数量占奖项总数的$\frac{4}{5}$”，结合线段图的标注逻辑，下方括号对应一、二等奖的占比，上方括号对应二、三等奖的占比，直接对应填写即可。
2. 第(2)题：把奖项总数看作单位“1”，$\frac{1}{2}$是一、二等奖的占比，$\frac{4}{5}$是二、三等奖的占比，两者相加时二等奖的占比被重复计算了一次，此时的和相当于“单位1 + 二等奖的占比”，因此用和减去单位“1”就能得到二等奖的占比。
3. 第(3)题：可以从两个角度思考，一是先求出三等奖的占比，再用二、三等奖的占比减去三等奖的占比；二是先求出一等奖的占比，再用一、二等奖的占比减去一等奖的占比，两种思路都能得到二等奖的占比。
【解析】
(1) 根据题目信息，线段图下方括号对应一、二等奖占奖项总数的$\frac{1}{2}$，上方括号对应二、三等奖占奖项总数的$\frac{4}{5}$，补全图形如下：
(2) 解题思路解析：
将奖项总数看作单位“1”，$\frac{1}{2}$表示一、二等奖数量占奖项总数的分率，$\frac{4}{5}$表示二、三等奖数量占奖项总数的分率。
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}$ =（一等奖+二等奖）+（二等奖+三等奖）=（一等奖+二等奖+三等奖）+二等奖 = $1+$二等奖的分率，
因此用两者的和减去单位“1”，即$\frac{13}{10}-1=\frac{3}{10}$，所得结果就是二等奖的数量占奖项总数的分率。
(3) 其他解法：
方法一：先计算三等奖占奖项总数的分率：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
再用二、三等奖的占比减去三等奖的占比：$\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{3}{10}$；
方法二：先计算一等奖占奖项总数的分率：$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，
再用一、二等奖的占比减去一等奖的占比：$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1)
(2)答:$\frac{1}{2}$表示一、二等奖数量占奖项总数的分率，$\frac{4}{5}$表示二、三等奖数量占奖项总数的分率，两者相加时，二等奖的数量占奖项总数的分率被重复计算，因此用它们的和减去1，就是二等奖的数量占奖项总数的分率。（表述合理即可）
(3)方法一：$\frac{4}{5}-(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{10}$
方法二：$\frac{1}{2}-(1-\frac{4}{5})=\frac{3}{10}$
答:二等奖的数量占奖项总数的$\frac{3}{10}$。（方法不唯一）
【知识点】
分数加减法应用、单位“1”的运用
【点评】
本题借助线段图辅助理解分数实际问题，通过多种解题思路，帮助学生巩固单位“1”的概念，掌握重复量的处理方法，提升学生解决分数问题的思维灵活性。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：根据题目给出的“一、二等奖的数量占奖项总数的$\frac{1}{2}$，二、三等奖的数量占奖项总数的$\frac{4}{5}$”，结合线段图的标注逻辑，下方括号对应一、二等奖的占比，上方括号对应二、三等奖的占比，直接对应填写即可。
2. 第(2)题：把奖项总数看作单位“1”，$\frac{1}{2}$是一、二等奖的占比，$\frac{4}{5}$是二、三等奖的占比，两者相加时二等奖的占比被重复计算了一次，此时的和相当于“单位1 + 二等奖的占比”，因此用和减去单位“1”就能得到二等奖的占比。
3. 第(3)题：可以从两个角度思考，一是先求出三等奖的占比，再用二、三等奖的占比减去三等奖的占比；二是先求出一等奖的占比，再用一、二等奖的占比减去一等奖的占比，两种思路都能得到二等奖的占比。
【解析】
(1) 根据题目信息，线段图下方括号对应一、二等奖占奖项总数的$\frac{1}{2}$，上方括号对应二、三等奖占奖项总数的$\frac{4}{5}$，补全图形如下：
(2) 解题思路解析：
将奖项总数看作单位“1”，$\frac{1}{2}$表示一、二等奖数量占奖项总数的分率，$\frac{4}{5}$表示二、三等奖数量占奖项总数的分率。
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}$ =（一等奖+二等奖）+（二等奖+三等奖）=（一等奖+二等奖+三等奖）+二等奖 = $1+$二等奖的分率，
因此用两者的和减去单位“1”，即$\frac{13}{10}-1=\frac{3}{10}$，所得结果就是二等奖的数量占奖项总数的分率。
(3) 其他解法：
方法一：先计算三等奖占奖项总数的分率：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
再用二、三等奖的占比减去三等奖的占比：$\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{3}{10}$；
方法二：先计算一等奖占奖项总数的分率：$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$，
再用一、二等奖的占比减去一等奖的占比：$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$。
【答案】
(1)
(2)答:$\frac{1}{2}$表示一、二等奖数量占奖项总数的分率，$\frac{4}{5}$表示二、三等奖数量占奖项总数的分率，两者相加时，二等奖的数量占奖项总数的分率被重复计算，因此用它们的和减去1，就是二等奖的数量占奖项总数的分率。（表述合理即可）
(3)方法一：$\frac{4}{5}-(1-\frac{1}{2})=\frac{3}{10}$
方法二：$\frac{1}{2}-(1-\frac{4}{5})=\frac{3}{10}$
答:二等奖的数量占奖项总数的$\frac{3}{10}$。（方法不唯一）
【知识点】
分数加减法应用、单位“1”的运用
【点评】
本题借助线段图辅助理解分数实际问题，通过多种解题思路，帮助学生巩固单位“1”的概念，掌握重复量的处理方法，提升学生解决分数问题的思维灵活性。
【难度系数】
0.7
7$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\dots\dots$
(1)观察上面的等式,根据你的发现继续写一写。($n$为非零自然数)
$\frac{1}{20}=\frac{(\quad)}{(\quad)}-\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{1}{30}=\frac{(\quad)}{(\quad)}-\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}-\frac{(\quad)}{(\quad)}$
(2)根据以上规律,计算下面各题。
①$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
②$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
(1)观察上面的等式,根据你的发现继续写一写。($n$为非零自然数)
$\frac{1}{20}=\frac{(\quad)}{(\quad)}-\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{1}{30}=\frac{(\quad)}{(\quad)}-\frac{(\quad)}{(\quad)}$ $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(\quad)}{(\quad)}-\frac{(\quad)}{(\quad)}$
(2)根据以上规律,计算下面各题。
①$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
②$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
答案
7. (1)$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{n}$ $\frac{1}{n+1}$
(2)①$\frac{5}{6}$ ②$\frac{5}{36}$（过程略）
解析 观察题中算式可得到规律：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。据此可将分数拆分再计算。
如$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
(2)①$\frac{5}{6}$ ②$\frac{5}{36}$（过程略）
解析 观察题中算式可得到规律：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。据此可将分数拆分再计算。
如$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
解析
【分析】
首先观察给出的等式：$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$（分母$2=1×2$），$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$（分母$6=2×3$），$\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$（分母$12=3×4$），可总结规律：当分数的分母是两个连续非零自然数的乘积时，该分数可拆分为这两个自然数的倒数之差，即$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（$n$为非零自然数）。
对于(1)，先分析分母：$20=4×5$，$30=5×6$，据此填写拆分后的分数，再根据规律写出一般式；对于(2)，利用上述拆分规律，将每个分数转化为倒数差，中间项相互抵消后，只需计算首尾项的差即可得到结果。
【解析】
(1) 根据规律推导：
因为$20=4×5$，所以$\frac{1}{20}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；
因为$30=5×6$，所以$\frac{1}{30}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；
由等式规律可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（$n$为非零自然数）。
(2) ① 利用裂项相消计算：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
$=1-\frac{1}{6}$
$=\frac{5}{6}$
② 先拆分分数再计算：
$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}$
$=\frac{9}{36}-\frac{4}{36}$
$=\frac{5}{36}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$；$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$
(2) ① $\frac{5}{6}$；② $\frac{5}{36}$
【知识点】
裂项相消法、分数简便计算、分数拆分规律
【点评】
本题考查学生的观察归纳能力与分数运算能力，通过发现裂项相消的规律，将复杂的分数加法转化为简单的首尾相减，简化了计算过程，帮助学生理解规律在数学运算中的实际应用。
【难度系数】
0.6
首先观察给出的等式：$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$（分母$2=1×2$），$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$（分母$6=2×3$），$\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$（分母$12=3×4$），可总结规律：当分数的分母是两个连续非零自然数的乘积时，该分数可拆分为这两个自然数的倒数之差，即$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（$n$为非零自然数）。
对于(1)，先分析分母：$20=4×5$，$30=5×6$，据此填写拆分后的分数，再根据规律写出一般式；对于(2)，利用上述拆分规律，将每个分数转化为倒数差，中间项相互抵消后，只需计算首尾项的差即可得到结果。
【解析】
(1) 根据规律推导：
因为$20=4×5$，所以$\frac{1}{20}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；
因为$30=5×6$，所以$\frac{1}{30}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；
由等式规律可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（$n$为非零自然数）。
(2) ① 利用裂项相消计算：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
$=1-\frac{1}{6}$
$=\frac{5}{6}$
② 先拆分分数再计算：
$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}$
$=\frac{9}{36}-\frac{4}{36}$
$=\frac{5}{36}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$；$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$
(2) ① $\frac{5}{6}$；② $\frac{5}{36}$
【知识点】
裂项相消法、分数简便计算、分数拆分规律
【点评】
本题考查学生的观察归纳能力与分数运算能力，通过发现裂项相消的规律，将复杂的分数加法转化为简单的首尾相减，简化了计算过程，帮助学生理解规律在数学运算中的实际应用。
【难度系数】
0.6
