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3. 星期天，小华和妈妈去上街，他们的行走路线是$(6, 3) \to (5, 6) \to (3, 6) \to (1, 5) \to (2, 2) \to (4, 2) \to (6, 3)$。你能说说他们先后去了哪些地方吗？在图中画出他们的行走路线。
答案
3.小华和妈妈从家出发先到公园，再去邮局，然后去了少年宫，之后去了超市然后去了图书馆，最后回家。（画行走路线略）
解析
【分析】
首先要明确数对的含义：数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行。我们需要根据每个数对对应的列和行，在图中找到对应的地点，然后按照给出的数对顺序，依次梳理出先后到达的地点，最后确定行走路线。
【解析】
1. 数对$(6, 3)$对应的地点是小华家；
2. 数对$(5, 6)$对应的地点是公园；
3. 数对$(3, 6)$对应的地点是邮局；
4. 数对$(1, 5)$对应的地点是少年宫；
5. 数对$(2, 2)$对应的地点是超市；
6. 数对$(4, 2)$对应的地点是图书馆；
7. 最后回到数对$(6, 3)$对应的小华家。
按照顺序整理路线为：小华家→公园→邮局→少年宫→超市→图书馆→小华家。
【答案】
小华和妈妈从家出发先到公园，再去邮局，然后去了少年宫，之后去了超市然后去了图书馆，最后回家。（画行走路线略）
【知识点】
数对的认识、位置与坐标
【点评】
本题主要考查数对与位置的对应关系，需要学生熟练掌握数对中列与行的表示规则，通过数对准确找到对应地点，培养学生的空间位置认知能力。
【难度系数】
0.8
首先要明确数对的含义：数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行。我们需要根据每个数对对应的列和行，在图中找到对应的地点，然后按照给出的数对顺序，依次梳理出先后到达的地点，最后确定行走路线。
【解析】
1. 数对$(6, 3)$对应的地点是小华家；
2. 数对$(5, 6)$对应的地点是公园；
3. 数对$(3, 6)$对应的地点是邮局；
4. 数对$(1, 5)$对应的地点是少年宫；
5. 数对$(2, 2)$对应的地点是超市；
6. 数对$(4, 2)$对应的地点是图书馆；
7. 最后回到数对$(6, 3)$对应的小华家。
按照顺序整理路线为：小华家→公园→邮局→少年宫→超市→图书馆→小华家。
【答案】
小华和妈妈从家出发先到公园，再去邮局，然后去了少年宫，之后去了超市然后去了图书馆，最后回家。（画行走路线略）
【知识点】
数对的认识、位置与坐标
【点评】
本题主要考查数对与位置的对应关系，需要学生熟练掌握数对中列与行的表示规则，通过数对准确找到对应地点，培养学生的空间位置认知能力。
【难度系数】
0.8
4. 一艘轮船在大海中以每小时16 km的速度向正东方向航行，10时发现北偏东$30°$方向24 km处有一座灯塔，11时30分这座灯塔在轮船的什么位置？(请描述出准确位置)
答案
4.北偏西30°方向24km处。
解析
【分析】
首先，我们需要先确定轮船从10时到11时30分航行的距离，再结合初始时灯塔与轮船的位置关系，通过几何图形的性质来判断灯塔后来的位置。具体思考步骤如下：
1. 先计算轮船航行的时间，根据速度公式求出航行路程；
2. 对比航行路程和初始时轮船到灯塔的距离，发现二者相等；
3. 分析初始位置的方位角，得出轮船航行方向与初始到灯塔连线的夹角，进而判断三角形的形状；
4. 根据三角形的性质，确定灯塔相对于后来轮船位置的方向和距离。
【解析】
1. 计算轮船航行的时间：
11时30分 - 10时 = 1.5小时
2. 计算轮船航行的路程：
根据路程=速度×时间，可得路程为 $16 × 1.5 = 24$（km）
3. 构建几何图形分析位置关系：
设10时轮船的位置为点A，11时30分轮船的位置为点B，灯塔的位置为点C。
已知初始时灯塔在轮船北偏东30°方向24km处，即 $AC = 24$ km，且轮船向正东航行，所以 $AB = 24$ km。
由方位角可知，正北与正东方向垂直，因此 $∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
在$△ ABC$中，$AC = AB = 24$ km，$∠ CAB = 60°$，根据等边三角形的判定定理，$△ ABC$为等边三角形，故 $BC = 24$ km，$∠ ABC = 60°$。
4. 确定灯塔的方位：
从点B看灯塔C，正东方向（AB方向）向北偏西的角度为 $90° - 60° = 30°$，因此灯塔在轮船的北偏西30°方向24km处。
【答案】
北偏西30°方向24km处。
【知识点】
等边三角形的判定与性质、方位角的应用
【点评】
本题融合了行程计算与几何图形分析，重点考查方位角的理解和等边三角形性质的应用。解题关键是准确构建几何模型，通过计算路程和分析角度关系，推导出灯塔的位置，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先，我们需要先确定轮船从10时到11时30分航行的距离，再结合初始时灯塔与轮船的位置关系，通过几何图形的性质来判断灯塔后来的位置。具体思考步骤如下：
1. 先计算轮船航行的时间，根据速度公式求出航行路程；
2. 对比航行路程和初始时轮船到灯塔的距离，发现二者相等；
3. 分析初始位置的方位角，得出轮船航行方向与初始到灯塔连线的夹角，进而判断三角形的形状；
4. 根据三角形的性质，确定灯塔相对于后来轮船位置的方向和距离。
【解析】
1. 计算轮船航行的时间：
11时30分 - 10时 = 1.5小时
2. 计算轮船航行的路程：
根据路程=速度×时间，可得路程为 $16 × 1.5 = 24$（km）
3. 构建几何图形分析位置关系：
设10时轮船的位置为点A，11时30分轮船的位置为点B，灯塔的位置为点C。
已知初始时灯塔在轮船北偏东30°方向24km处，即 $AC = 24$ km，且轮船向正东航行，所以 $AB = 24$ km。
由方位角可知，正北与正东方向垂直，因此 $∠ CAB = 90° - 30° = 60°$。
在$△ ABC$中，$AC = AB = 24$ km，$∠ CAB = 60°$，根据等边三角形的判定定理，$△ ABC$为等边三角形，故 $BC = 24$ km，$∠ ABC = 60°$。
4. 确定灯塔的方位：
从点B看灯塔C，正东方向（AB方向）向北偏西的角度为 $90° - 60° = 30°$，因此灯塔在轮船的北偏西30°方向24km处。
【答案】
北偏西30°方向24km处。
【知识点】
等边三角形的判定与性质、方位角的应用
【点评】
本题融合了行程计算与几何图形分析，重点考查方位角的理解和等边三角形性质的应用。解题关键是准确构建几何模型，通过计算路程和分析角度关系，推导出灯塔的位置，对学生的空间想象能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
5. 如图，每个小正方形的边长表示1 cm。
(1) 用数对分别表示图中三角形三个顶点的位置。
(2) 图中三角形的面积是多少平方厘米？
(1) 用数对分别表示图中三角形三个顶点的位置。
(2) 图中三角形的面积是多少平方厘米？
答案
5.(1) A(3,4) B(1,2)
C(6,1)
(2) 6cm²
C(6,1)
(2) 6cm²
解析
【分析】
1. 对于用数对表示顶点位置：数对的表示规则是“先列后行”，即第一个数表示列数（横向位置），第二个数表示行数（纵向位置），只需观察每个顶点对应的列和行即可写出数对。
2. 对于三角形面积计算：由于三角形在方格中直接计算底和高较复杂，可采用割补法，用包含该三角形的长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，从而得到目标三角形的面积。
【解析】
(1) 根据数对“先列后行”的规则：
顶点A在第3列，第4行，用数对表示为$\boldsymbol{(3,4)}$；
顶点B在第1列，第2行，用数对表示为$\boldsymbol{(1,2)}$；
顶点C在第6列，第1行，用数对表示为$\boldsymbol{(6,1)}$。
(2) 用割补法计算三角形面积：
步骤1：确定包含三角形ABC的长方形范围，长为$6-1=5\ \mathrm{cm}$，宽为$4-1=3\ \mathrm{cm}$，长方形面积为$5×3=15\ \mathrm{cm}^2$。
步骤2：计算周围三个直角三角形的面积：
左上角直角三角形：底$2\ \mathrm{cm}$，高$2\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{cm}^2$；
右上角直角三角形：底$3\ \mathrm{cm}$，高$3\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{1}{2}×3×3=4.5\ \mathrm{cm}^2$；
下方直角三角形：底$5\ \mathrm{cm}$，高$1\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{1}{2}×5×1=2.5\ \mathrm{cm}^2$。
步骤3：计算三角形ABC的面积：
$15 - 2 - 4.5 - 2.5=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $A(3,4)$，$B(1,2)$，$C(6,1)$；
(2) $\boldsymbol{6}$平方厘米。
【知识点】
数对的表示，三角形面积计算（割补法）
【点评】
本题结合方格图考查数对的应用和三角形面积的计算，数对需牢记“先列后行”的规则，割补法是方格中不规则图形面积计算的常用方法，能有效简化计算过程，帮助学生快速求解。
【难度系数】
0.6
1. 对于用数对表示顶点位置：数对的表示规则是“先列后行”，即第一个数表示列数（横向位置），第二个数表示行数（纵向位置），只需观察每个顶点对应的列和行即可写出数对。
2. 对于三角形面积计算：由于三角形在方格中直接计算底和高较复杂，可采用割补法，用包含该三角形的长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，从而得到目标三角形的面积。
【解析】
(1) 根据数对“先列后行”的规则：
顶点A在第3列，第4行，用数对表示为$\boldsymbol{(3,4)}$；
顶点B在第1列，第2行，用数对表示为$\boldsymbol{(1,2)}$；
顶点C在第6列，第1行，用数对表示为$\boldsymbol{(6,1)}$。
(2) 用割补法计算三角形面积：
步骤1：确定包含三角形ABC的长方形范围，长为$6-1=5\ \mathrm{cm}$，宽为$4-1=3\ \mathrm{cm}$，长方形面积为$5×3=15\ \mathrm{cm}^2$。
步骤2：计算周围三个直角三角形的面积：
左上角直角三角形：底$2\ \mathrm{cm}$，高$2\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{cm}^2$；
右上角直角三角形：底$3\ \mathrm{cm}$，高$3\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{1}{2}×3×3=4.5\ \mathrm{cm}^2$；
下方直角三角形：底$5\ \mathrm{cm}$，高$1\ \mathrm{cm}$，面积为$\frac{1}{2}×5×1=2.5\ \mathrm{cm}^2$。
步骤3：计算三角形ABC的面积：
$15 - 2 - 4.5 - 2.5=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $A(3,4)$，$B(1,2)$，$C(6,1)$；
(2) $\boldsymbol{6}$平方厘米。
【知识点】
数对的表示，三角形面积计算（割补法）
【点评】
本题结合方格图考查数对的应用和三角形面积的计算，数对需牢记“先列后行”的规则，割补法是方格中不规则图形面积计算的常用方法，能有效简化计算过程，帮助学生快速求解。
【难度系数】
0.6
