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12.某药物研究单位研制成功一种新药，经测试，如果患者按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量$y$（微克）与时间$x$（小时）之间的关系如图所示。如果每毫升血液中的含药量不小于20微克，那么这种药物才能发挥作用。请根据题意回答下列问题：
(1)服药几分钟后，药物开始发挥作用？
(2)服药几小时后，每毫升血液中的含药量最大，最大是多少微克？
(3)服药后，药物发挥作用的时间有多少小时？
(1)服药几分钟后，药物开始发挥作用？
(2)服药几小时后，每毫升血液中的含药量最大，最大是多少微克？
(3)服药后，药物发挥作用的时间有多少小时？
答案
12.(1)由图象,知当$x=\frac{1}{3}$时,$y=20,\frac{1}{3}×60=20$(分钟),即服药20分钟后,药物开始发挥作用；
(2)由图象,知服药2小时后,每毫升血液中的含药量最大,最大是80微克；
(3)由图象,知当$y=20$时,$x=\frac{1}{3}$或$x=7$,$7-\frac{1}{3}=6\frac{2}{3}$(小时),即服药后,药物发挥作用的时间有$6\frac{2}{3}$小时。
(2)由图象,知服药2小时后,每毫升血液中的含药量最大,最大是80微克；
(3)由图象,知当$y=20$时,$x=\frac{1}{3}$或$x=7$,$7-\frac{1}{3}=6\frac{2}{3}$(小时),即服药后,药物发挥作用的时间有$6\frac{2}{3}$小时。
解析
【分析】
首先明确图象横轴x代表服药后时间（单位：小时），纵轴y代表每毫升血液含药量（单位：微克），药物发挥作用的条件是y≥20微克。解题思路如下：1. 找到y=20对应的最小x值，换算为分钟即可得到药物开始发挥作用的时间；2. 图象的最高点对应含药量的最大值，读取该点的横、纵坐标即可得到最大含药量对应的时间和数值；3. 找到y=20对应的两个x值，二者的差值就是药物发挥作用的总时长。
【解析】
(1) 观察图象可知，当y=20微克时，对应的最小时间为$x=\frac{1}{3}$小时，换算为分钟：$\frac{1}{3}×60=20$（分钟），即服药20分钟后药物开始发挥作用。
(2) 观察图象的最高点，对应的横坐标为$x=2$小时，纵坐标为$y=80$微克，即服药2小时后，每毫升血液中的含药量最大，最大是80微克。
(3) 观察图象，当y=20微克时，对应的x值为$\frac{1}{3}$小时和7小时，说明$\frac{1}{3}$小时到7小时之间含药量不小于20微克，总时长为：$7-\frac{1}{3}=6\frac{2}{3}$（小时）。
【答案】
(1) 服药20分钟后药物开始发挥作用；
(2) 服药2小时后含药量最大，最大是80微克；
(3) 药物发挥作用的时间有$6\frac{2}{3}$小时。
【知识点】
函数图象的应用，坐标的实际意义
【点评】
本题结合生活实际考查函数图象的读取，核心是读懂横纵坐标代表的实际含义，准确找到对应数值点即可顺利解题，属于函数应用类基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确图象横轴x代表服药后时间（单位：小时），纵轴y代表每毫升血液含药量（单位：微克），药物发挥作用的条件是y≥20微克。解题思路如下：1. 找到y=20对应的最小x值，换算为分钟即可得到药物开始发挥作用的时间；2. 图象的最高点对应含药量的最大值，读取该点的横、纵坐标即可得到最大含药量对应的时间和数值；3. 找到y=20对应的两个x值，二者的差值就是药物发挥作用的总时长。
【解析】
(1) 观察图象可知，当y=20微克时，对应的最小时间为$x=\frac{1}{3}$小时，换算为分钟：$\frac{1}{3}×60=20$（分钟），即服药20分钟后药物开始发挥作用。
(2) 观察图象的最高点，对应的横坐标为$x=2$小时，纵坐标为$y=80$微克，即服药2小时后，每毫升血液中的含药量最大，最大是80微克。
(3) 观察图象，当y=20微克时，对应的x值为$\frac{1}{3}$小时和7小时，说明$\frac{1}{3}$小时到7小时之间含药量不小于20微克，总时长为：$7-\frac{1}{3}=6\frac{2}{3}$（小时）。
【答案】
(1) 服药20分钟后药物开始发挥作用；
(2) 服药2小时后含药量最大，最大是80微克；
(3) 药物发挥作用的时间有$6\frac{2}{3}$小时。
【知识点】
函数图象的应用，坐标的实际意义
【点评】
本题结合生活实际考查函数图象的读取，核心是读懂横纵坐标代表的实际含义，准确找到对应数值点即可顺利解题，属于函数应用类基础题型。
【难度系数】
0.8
巧算薪资
假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：A.工资以年薪计，第一年为40 000元，以后每年增加8 000元；B.工资以半年薪计，第一个半年为20 000元，以后每半年增加2 000元。你选择哪一种方案？为什么？答案：方案B要比方案A好得多。
假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：A.工资以年薪计，第一年为40 000元，以后每年增加8 000元；B.工资以半年薪计，第一个半年为20 000元，以后每半年增加2 000元。你选择哪一种方案？为什么？答案：方案B要比方案A好得多。
答案
解：
分别计算两种方案的年收入与工作n年的累计总收入：
1. 方案A：
第1年年收入：40000元
第2年年收入：$40000 + 8000 = 48000$ 元
第3年年收入：$48000 + 8000 = 56000$ 元
……
第n年年收入为：$40000 + 8000(n-1) = 8000n + 32000$ 元
工作n年的累计总收入：
$$\begin{aligned}
S_A &= 40000 + 48000 + 56000 + \dots + (8000n + 32000) \\
&= 40000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\
&= 40000n + 4000n(n-1) \\
&= 4000n^2 + 36000n
\end{aligned}$2. 方案B： 每半年薪资递增2000元，第1年两个半年的薪资总和： $20000 + (20000 + 2000) = 42000$ 元 第2年两个半年的薪资总和： $(22000 + 2000) + (24000 + 2000) = 50000$ 元 第3年两个半年的薪资总和： $(26000 + 2000) + (28000 + 2000) = 58000$ 元 …… 第n年年收入为：$8000n + 38000$ 元 工作n年的累计总收入： $$\begin{aligned} S_B &= 42000 + 50000 + 58000 + \dots + (8000n + 38000) \\ &= 42000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\ &= 42000n + 4000n(n-1) \\ &= 4000n^2 + 38000n \end{aligned}$
两方案总收入作差：
$S_B - S_A = (4000n^2 + 38000n) - (4000n^2 + 36000n) = 2000n$
因为n是正整数，所以$2000n ＞ 0$，任意工作年限下方案B的总收入都高于方案A，每工作满1年，方案B就比方案A多收入2000元。
答：选择方案B，相同工作年限下方案B的总收入始终比方案A更高。
分别计算两种方案的年收入与工作n年的累计总收入：
1. 方案A：
第1年年收入：40000元
第2年年收入：$40000 + 8000 = 48000$ 元
第3年年收入：$48000 + 8000 = 56000$ 元
……
第n年年收入为：$40000 + 8000(n-1) = 8000n + 32000$ 元
工作n年的累计总收入：
$$\begin{aligned}
S_A &= 40000 + 48000 + 56000 + \dots + (8000n + 32000) \\
&= 40000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\
&= 40000n + 4000n(n-1) \\
&= 4000n^2 + 36000n
\end{aligned}$2. 方案B： 每半年薪资递增2000元，第1年两个半年的薪资总和： $20000 + (20000 + 2000) = 42000$ 元 第2年两个半年的薪资总和： $(22000 + 2000) + (24000 + 2000) = 50000$ 元 第3年两个半年的薪资总和： $(26000 + 2000) + (28000 + 2000) = 58000$ 元 …… 第n年年收入为：$8000n + 38000$ 元 工作n年的累计总收入： $$\begin{aligned} S_B &= 42000 + 50000 + 58000 + \dots + (8000n + 38000) \\ &= 42000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\ &= 42000n + 4000n(n-1) \\ &= 4000n^2 + 38000n \end{aligned}$
两方案总收入作差：
$S_B - S_A = (4000n^2 + 38000n) - (4000n^2 + 36000n) = 2000n$
因为n是正整数，所以$2000n ＞ 0$，任意工作年限下方案B的总收入都高于方案A，每工作满1年，方案B就比方案A多收入2000元。
答：选择方案B，相同工作年限下方案B的总收入始终比方案A更高。
解析
【分析】
要判断哪种薪资方案更好，核心是比较相同工作年限下两种方案的总收入高低。解题时首先梳理两种方案的薪资增长规则：A方案为年薪制，每年年薪增加8000元；B方案为半年薪制，每半年薪资增加2000元。我们可以先分别找出两种方案每年的年收入规律，再用含工作年数n（n为正整数）的代数式表示出工作n年的累计总收入，最后通过作差比较两个总收入代数式的大小，即可得出结论。
【解析】
分别计算两种方案的年收入与工作n年的累计总收入：
1. 方案A：
第1年年收入：40000元
第2年年收入：$40000 + 8000 = 48000$ 元
第3年年收入：$48000 + 8000 = 56000$ 元
……
第n年年收入为：$40000 + 8000(n-1) = 8000n + 32000$ 元
工作n年的累计总收入：
$\begin{aligned}S_A &= 40000 + 48000 + 56000 + \dots + (8000n + 32000) \\&= 40000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\&= 40000n + 4000n(n-1) \\&= 4000n^2 + 36000n\end{aligned}$
2. 方案B：
每半年薪资递增2000元，第1年两个半年的薪资总和：
$20000 + (20000 + 2000) = 42000$ 元
第2年两个半年的薪资总和：
$(22000 + 2000) + (24000 + 2000) = 50000$ 元
第3年两个半年的薪资总和：
$(26000 + 2000) + (28000 + 2000) = 58000$ 元
……
第n年年收入为：$8000n + 38000$ 元
工作n年的累计总收入：
$\begin{aligned}S_B &= 42000 + 50000 + 58000 + \dots + (8000n + 38000) \\&= 42000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\&= 42000n + 4000n(n-1) \\&= 4000n^2 + 38000n\end{aligned}$
将两方案总收入作差比较：
$S_B - S_A = (4000n^2 + 38000n) - (4000n^2 + 36000n) = 2000n$
因为n是正整数，所以$2000n ＞ 0$，即任意工作年限下方案B的总收入都高于方案A，每工作满1年，方案B就比方案A多收入2000元。
【答案】
选择方案B，相同工作年限下方案B的总收入始终比方案A更高。
【知识点】
代数式表示数量关系、整式加减运算、方案优化比较
【点评】
本题结合生活中薪资选择的实际场景，考查梳理数量变化规律、用数学知识解决实际问题的能力，解题时要注意区分两种方案的增长周期，不能仅凭单次增长额的大小主观判断，通过列式计算、作差对比即可得出正确结论。
【难度系数】
0.6
要判断哪种薪资方案更好，核心是比较相同工作年限下两种方案的总收入高低。解题时首先梳理两种方案的薪资增长规则：A方案为年薪制，每年年薪增加8000元；B方案为半年薪制，每半年薪资增加2000元。我们可以先分别找出两种方案每年的年收入规律，再用含工作年数n（n为正整数）的代数式表示出工作n年的累计总收入，最后通过作差比较两个总收入代数式的大小，即可得出结论。
【解析】
分别计算两种方案的年收入与工作n年的累计总收入：
1. 方案A：
第1年年收入：40000元
第2年年收入：$40000 + 8000 = 48000$ 元
第3年年收入：$48000 + 8000 = 56000$ 元
……
第n年年收入为：$40000 + 8000(n-1) = 8000n + 32000$ 元
工作n年的累计总收入：
$\begin{aligned}S_A &= 40000 + 48000 + 56000 + \dots + (8000n + 32000) \\&= 40000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\&= 40000n + 4000n(n-1) \\&= 4000n^2 + 36000n\end{aligned}$
2. 方案B：
每半年薪资递增2000元，第1年两个半年的薪资总和：
$20000 + (20000 + 2000) = 42000$ 元
第2年两个半年的薪资总和：
$(22000 + 2000) + (24000 + 2000) = 50000$ 元
第3年两个半年的薪资总和：
$(26000 + 2000) + (28000 + 2000) = 58000$ 元
……
第n年年收入为：$8000n + 38000$ 元
工作n年的累计总收入：
$\begin{aligned}S_B &= 42000 + 50000 + 58000 + \dots + (8000n + 38000) \\&= 42000n + 8000×(1+2+\dots+n-1) \\&= 42000n + 4000n(n-1) \\&= 4000n^2 + 38000n\end{aligned}$
将两方案总收入作差比较：
$S_B - S_A = (4000n^2 + 38000n) - (4000n^2 + 36000n) = 2000n$
因为n是正整数，所以$2000n ＞ 0$，即任意工作年限下方案B的总收入都高于方案A，每工作满1年，方案B就比方案A多收入2000元。
【答案】
选择方案B，相同工作年限下方案B的总收入始终比方案A更高。
【知识点】
代数式表示数量关系、整式加减运算、方案优化比较
【点评】
本题结合生活中薪资选择的实际场景，考查梳理数量变化规律、用数学知识解决实际问题的能力，解题时要注意区分两种方案的增长周期，不能仅凭单次增长额的大小主观判断，通过列式计算、作差对比即可得出正确结论。
【难度系数】
0.6
