13.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}3x+2＞2(x-1), \\ \dfrac{2x+a}{3}≤ \dfrac{5}{3}-x\end{cases}$有且仅有四个整数解，且关于$y$的分式方程$\dfrac{ay-3}{2-y}+\dfrac{1}{y-2}=1$的解为整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为________。

6 解析 $\begin{cases}3x+2＞2(x-1),①\\ \frac{2x+a}{3}≤ \frac{5}{3}-x,②\end{cases}$
解不等式①,得$x＞-4$,
解不等式②,得$x≤ \frac{5-a}{5}$.
$\because$ 关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}3x+2＞2(x-1), \\ \frac{2x+a}{3}≤ \frac{5}{3}-x \end{cases}$有且仅有四个整数解,
$\therefore x$ 的值为$-3,-2,-1,0$,
$\therefore 0≤ \frac{5-a}{5}＜1$,解得$0＜a≤ 5$.
$\because a$ 为整数,$\therefore a$ 的值可取 1,2,3,4,5.
由$\frac{ay-3}{2-y}+\frac{1}{y-2}=1$,整理得$y=\frac{6}{a+1}$.
$\because$关于 $y$ 的分式方程$\frac{ay-3}{2-y}+\frac{1}{y-2}=1$的解为整数,且 $y-2≠ 0$,即 $y≠ 2$,
$\therefore$当$a=1$时,$y=\frac{6}{1+1}=3$,是整数,符合题意;
当$a=2$时,$y=\frac{6}{2+1}=2$,是整数,但$y≠ 2$,故舍去;
当$a=3$时,$y=\frac{6}{3+1}=1.5$,不是整数,不符合题意;
当$a=4$时,$y=\frac{6}{4+1}=1.2$,不是整数,不符合题意;
当$a=5$时,$y=\frac{6}{5+1}=1$,是整数,符合题意,$\therefore$满足条件的整数 $a$ 的值为 1,5,则 $1+5=6$,故答案为 6.

14. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地.某校有一块长方形的劳动实践基地如图所示，长为$(2a-2)\mathrm{m}$，宽为$a$ m，其中$a＞6$.

(1)去年实践基地收获$500$ kg蔬菜，该校安排甲、乙两组志愿者进行采摘.已知甲组的采摘速度是乙组的$2$倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成采摘任务所需要的时间少$50$分钟.求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜；
(2)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加$14$ m，宽增加$a$ m，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数$a$的值.

(1)解 设乙组每分钟采摘 $x$ 千克的蔬菜,则甲组每分钟采摘 $2x$ 千克的蔬菜,
由题意得$\frac{500}{x}-\frac{500}{2x}=50$,解得 $x=5$,
经检验,$x=5$ 是原分式方程的解,且符合题意,$\therefore 2x=2×5=10$.
答:甲组每分钟采摘 10 千克的蔬菜,乙组每分钟采摘 5 千克的蔬菜.
(2)设扩建后的长方形基地面积是原来的$n$($n$ 为正整数)倍,由题意得$(2a-2+14)(a+a)=n(2a-2)a$,解得 $n=\frac{2a+12}{a-1}=2+\frac{14}{a-1}$,
$\because a＞6$,$a$ 为整数,且 $n$ 为正整数,
$\therefore \begin{cases}a=8,\\ n=4\end{cases}$或$\begin{cases}a=15,\\ n=3,\end{cases}$$\therefore a$ 的值为 8 或 15.