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8. 已知关于$ x $的方程$\sqrt{x - 14}=2$，则$ x = \_\_\_\_\_\_$.
答案
18
解析
【分析】
本题是含算术平方根的方程，解题思路如下：首先利用等式两边同时平方的方法去掉根号，将方程转化为熟悉的一元一次方程求解，最后要将求得的解代入原方程检验，既要保证被开方数非负，也要保证等式两边相等，避免出现增根。
【解析】
解：已知$\sqrt{x - 14}=2$，
等式两边同时平方，得：$x - 14 = 2^2$，
即$x - 14 = 4$，
移项计算得：$x = 4 + 14 = 18$。
检验：将$x=18$代入原方程，左边$=\sqrt{18 - 14}=\sqrt{4}=2$，与右边相等，且被开方数$18-14=4＞0$，符合二次根式的定义，因此$x=18$是原方程的解。
【答案】
18
【知识点】
算术平方根的性质；无理方程求解；方程验根
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查通过平方去根号求解简单无理方程的方法，解题的易错点是忽略验根步骤，导致出现使二次根式无意义的错误解。
【难度系数】
0.9
本题是含算术平方根的方程，解题思路如下：首先利用等式两边同时平方的方法去掉根号，将方程转化为熟悉的一元一次方程求解，最后要将求得的解代入原方程检验，既要保证被开方数非负，也要保证等式两边相等，避免出现增根。
【解析】
解：已知$\sqrt{x - 14}=2$，
等式两边同时平方，得：$x - 14 = 2^2$，
即$x - 14 = 4$，
移项计算得：$x = 4 + 14 = 18$。
检验：将$x=18$代入原方程，左边$=\sqrt{18 - 14}=\sqrt{4}=2$，与右边相等，且被开方数$18-14=4＞0$，符合二次根式的定义，因此$x=18$是原方程的解。
【答案】
18
【知识点】
算术平方根的性质；无理方程求解；方程验根
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查通过平方去根号求解简单无理方程的方法，解题的易错点是忽略验根步骤，导致出现使二次根式无意义的错误解。
【难度系数】
0.9
9. 计算$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$的结果为________.
答案
1
解析
【分析】
首先观察算式的结构特征：两个括号中，有一项相同为$\sqrt{3}$，另一项互为相反数为$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$，正好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，因此可以套用平方差公式简化计算，无需用多项式乘多项式逐一展开。代入公式后，再根据二次根式的性质计算两项的平方，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：该式符合平方差公式的运算形式，取$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，则：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\\&=3-2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
1. 平方差公式
2. 二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查对乘法公式结构特征的识别能力，灵活运用平方差公式可以大幅简化运算过程，降低计算出错的概率，熟练掌握常用乘法公式是代数运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
首先观察算式的结构特征：两个括号中，有一项相同为$\sqrt{3}$，另一项互为相反数为$\sqrt{2}$和$-\sqrt{2}$，正好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，因此可以套用平方差公式简化计算，无需用多项式乘多项式逐一展开。代入公式后，再根据二次根式的性质计算两项的平方，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：该式符合平方差公式的运算形式，取$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，则：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\\&=3-2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
1. 平方差公式
2. 二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查对乘法公式结构特征的识别能力，灵活运用平方差公式可以大幅简化运算过程，降低计算出错的概率，熟练掌握常用乘法公式是代数运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
10.已知$b＞0$，化简$\sqrt{45ab^{3}}=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$3b\sqrt{5ab}$
解析
【分析】
要化简二次根式，首先需利用二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方因式与非完全平方因式的乘积，再结合已知条件b＞0去掉绝对值符号即可。解题步骤如下：第一步，分解被开方数$45ab^3$，把能开得尽方的因数、因式分离出来；第二步，根据二次根式的乘法法则拆分根式；第三步，利用$\sqrt{a^2}=|a|$的性质化简完全平方项的算术平方根，结合b＞0的条件去掉绝对值，最终得到最简结果。
【解析】
解：
∵$b＞0$，且二次根式的被开方数非负，
∴$5ab≥0$，即$a≥0$
$\sqrt{45ab^3}=\sqrt{9× b^2×5ab}$
根据二次根式乘法性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}（x≥0,y≥0）$，可得：
$=\sqrt{9b^2}×\sqrt{5ab}$
又
∵$\sqrt{9b^2}=3\left|b\right|$，且$b＞0$，
∴$\left|b\right|=b$
$=3b\sqrt{5ab}$
【答案】
$3b\sqrt{5ab}$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是准确拆分被开方数中的完全平方因式，同时注意题目给出的字母取值范围，避免化简绝对值时出错。
【难度系数】
0.8
要化简二次根式，首先需利用二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方因式与非完全平方因式的乘积，再结合已知条件b＞0去掉绝对值符号即可。解题步骤如下：第一步，分解被开方数$45ab^3$，把能开得尽方的因数、因式分离出来；第二步，根据二次根式的乘法法则拆分根式；第三步，利用$\sqrt{a^2}=|a|$的性质化简完全平方项的算术平方根，结合b＞0的条件去掉绝对值，最终得到最简结果。
【解析】
解：
∵$b＞0$，且二次根式的被开方数非负，
∴$5ab≥0$，即$a≥0$
$\sqrt{45ab^3}=\sqrt{9× b^2×5ab}$
根据二次根式乘法性质$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}（x≥0,y≥0）$，可得：
$=\sqrt{9b^2}×\sqrt{5ab}$
又
∵$\sqrt{9b^2}=3\left|b\right|$，且$b＞0$，
∴$\left|b\right|=b$
$=3b\sqrt{5ab}$
【答案】
$3b\sqrt{5ab}$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题的关键是准确拆分被开方数中的完全平方因式，同时注意题目给出的字母取值范围，避免化简绝对值时出错。
【难度系数】
0.8
11. 若$3 - \sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则代数式$(2 + \sqrt{2}a) · b$的值是________。
答案
2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要确定无理数相关的数的整数部分和小数部分：第一步先估算$\sqrt{2}$的取值范围，再推导$3-\sqrt{2}$的取值范围，就能得到它的整数部分$a$；小数部分$b$等于原数减去整数部分$a$，最后把$a$、$b$代入代数式，利用平方差公式简化计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{2}$的范围
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$。
第二步：求$3-\sqrt{2}$的范围，确定整数部分$a$
对不等式$1＜\sqrt{2}＜2$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，
两边同时加3，得$3-2＜3-\sqrt{2}＜3-1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$，
因此$3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$。
第三步：求小数部分$b$
小数部分等于原数减去整数部分，所以$b=(3-\sqrt{2})-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
第四步：代入代数式计算
把$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入$(2+\sqrt{2}a)·b$，得：
原式$=(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，这里$m=2$，$n=\sqrt{2}$，
所以原式$=2^2 - (\sqrt{2})^2=4-2=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数估算，代数式求值，平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数的取值范围估算方法，明确“小数部分=原数-整数部分”的关系，计算时巧用平方差公式可大幅简化运算，避免复杂的根式计算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要确定无理数相关的数的整数部分和小数部分：第一步先估算$\sqrt{2}$的取值范围，再推导$3-\sqrt{2}$的取值范围，就能得到它的整数部分$a$；小数部分$b$等于原数减去整数部分$a$，最后把$a$、$b$代入代数式，利用平方差公式简化计算即可得到结果。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{2}$的范围
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$。
第二步：求$3-\sqrt{2}$的范围，确定整数部分$a$
对不等式$1＜\sqrt{2}＜2$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，
两边同时加3，得$3-2＜3-\sqrt{2}＜3-1$，即$1＜3-\sqrt{2}＜2$，
因此$3-\sqrt{2}$的整数部分$a=1$。
第三步：求小数部分$b$
小数部分等于原数减去整数部分，所以$b=(3-\sqrt{2})-a=3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2}$。
第四步：代入代数式计算
把$a=1$，$b=2-\sqrt{2}$代入$(2+\sqrt{2}a)·b$，得：
原式$=(2+\sqrt{2}×1)×(2-\sqrt{2})=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，这里$m=2$，$n=\sqrt{2}$，
所以原式$=2^2 - (\sqrt{2})^2=4-2=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数估算，代数式求值，平方差公式
【点评】
本题核心是掌握无理数的取值范围估算方法，明确“小数部分=原数-整数部分”的关系，计算时巧用平方差公式可大幅简化运算，避免复杂的根式计算。
【难度系数】
0.7
12.古今中外的不少学者对三角形面积的计算进行了诸多思考,尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了相同的计算办法:若三角形的三边长分别为$a,b,c$,记$p=\frac{a+b+c}{2}$,则三角形的面积为$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,因此后人将他们的发现合称为海伦—秦九韶公式.利用海伦—秦九韶公式,可计算图中$△ ABC$的面积为
$2\sqrt{5}$
.答案
$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先先明确△ABC的三边长，再按照海伦—秦九韶公式的要求，先计算三角形的半周长p，之后把p和三边长代入面积公式计算，最后将所得的二次根式化简为最简形式即可得到结果。
【解析】
解：由图可知△ABC的三边长为：$AC=3$，$BC=3$，$AB=4$。
第一步：计算半周长$p$：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+3+4}{2}=5$
第二步：将$p=5$和三边长代入海伦—秦九韶公式计算面积：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5×(5-3)×(5-3)×(5-4)}$
$=\sqrt{5×2×2×1}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
海伦-秦九韶公式、二次根式化简
【点评】
本题属于基础的公式应用题，解题核心是准确识别三角形三边长，正确代入公式运算，计算过程中要注意半周长的计算不要出错，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先先明确△ABC的三边长，再按照海伦—秦九韶公式的要求，先计算三角形的半周长p，之后把p和三边长代入面积公式计算，最后将所得的二次根式化简为最简形式即可得到结果。
【解析】
解：由图可知△ABC的三边长为：$AC=3$，$BC=3$，$AB=4$。
第一步：计算半周长$p$：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+3+4}{2}=5$
第二步：将$p=5$和三边长代入海伦—秦九韶公式计算面积：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5×(5-3)×(5-3)×(5-4)}$
$=\sqrt{5×2×2×1}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
海伦-秦九韶公式、二次根式化简
【点评】
本题属于基础的公式应用题，解题核心是准确识别三角形三边长，正确代入公式运算，计算过程中要注意半周长的计算不要出错，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
三、用心做一做,显显自己的能力!(解答应写出具体步骤)
13. 计算:
(1)$\sqrt{32} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} + \frac{2}{\sqrt{2}}$;
(2)$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})$.
13. 计算:
(1)$\sqrt{32} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} + \frac{2}{\sqrt{2}}$;
(2)$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})$.
答案
(1)$4\sqrt{2}$
(2)$6+2\sqrt{6}$
(2)$6+2\sqrt{6}$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算题，解题思路如下：（1）先将算式中的每一个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果；（2）第一部分利用完全平方公式展开，第二部分利用平方差公式计算，再进行加减运算，巧用乘法公式可以简化计算步骤，避免出错。
【解析】
（1）先化简各项：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，
$4\sqrt{\frac{1}{8}}=4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，
$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
代入原式计算：
原式$=4\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
（2）利用乘法公式分别计算两部分：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1$；
代入原式计算：
原式$=(5+2\sqrt{6})-(-1)=5+2\sqrt{6}+1=6+2\sqrt{6}$。
【答案】
（1）$4\sqrt{2}$；（2）$6+2\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简规则，以及完全平方公式、平方差公式的运用，计算时注意符号和运算顺序，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的混合运算题，解题思路如下：（1）先将算式中的每一个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果；（2）第一部分利用完全平方公式展开，第二部分利用平方差公式计算，再进行加减运算，巧用乘法公式可以简化计算步骤，避免出错。
【解析】
（1）先化简各项：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，
$4\sqrt{\frac{1}{8}}=4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，
$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
代入原式计算：
原式$=4\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
（2）利用乘法公式分别计算两部分：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2+2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$；
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1$；
代入原式计算：
原式$=(5+2\sqrt{6})-(-1)=5+2\sqrt{6}+1=6+2\sqrt{6}$。
【答案】
（1）$4\sqrt{2}$；（2）$6+2\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式混合运算，乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简规则，以及完全平方公式、平方差公式的运用，计算时注意符号和运算顺序，即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
14.若$x=\sqrt{2}-1,y=\sqrt{2}+1$,求$x^2-2xy+y^2$的值.
答案
4
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式的形式，因此可以先利用因式分解将代数式化简为$(x-y)^2$，再代入$x$、$y$的值计算，这样比直接分别计算各项再求值更简便，能减少计算量，降低出错概率。解题步骤为：第一步利用完全平方公式化简代数式，第二步计算$x-y$的值，第三步将$x-y$的值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：根据完全平方差公式，先对所求代数式因式分解：
$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
将$x=\sqrt{2}-1$，$y=\sqrt{2}+1$代入计算$x-y$：
$x-y=(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1=-2$
再将$x-y=-2$代入化简后的式子：
$(x-y)^2=(-2)^2=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题考查代数式的求值运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，运用先化简再代入的方法能大幅简化计算过程，避免复杂的根式运算，提升计算准确率。
【难度系数】
0.85
首先观察所求代数式的结构，发现$x^2-2xy+y^2$符合完全平方差公式的形式，因此可以先利用因式分解将代数式化简为$(x-y)^2$，再代入$x$、$y$的值计算，这样比直接分别计算各项再求值更简便，能减少计算量，降低出错概率。解题步骤为：第一步利用完全平方公式化简代数式，第二步计算$x-y$的值，第三步将$x-y$的值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：根据完全平方差公式，先对所求代数式因式分解：
$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$
将$x=\sqrt{2}-1$，$y=\sqrt{2}+1$代入计算$x-y$：
$x-y=(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1=-2$
再将$x-y=-2$代入化简后的式子：
$(x-y)^2=(-2)^2=4$
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式；代数式化简求值
【点评】
本题考查代数式的求值运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，运用先化简再代入的方法能大幅简化计算过程，避免复杂的根式运算，提升计算准确率。
【难度系数】
0.85
