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1.若二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义,则实数$x$的取值范围在数轴上表示为
（
（
C
）答案
C
解析
【分析】
要确定x的取值范围，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0），据此列出不等式求解x的范围，再结合数轴表示不等式解集的规则（含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈，小于向左、大于向右画线），匹配正确选项即可。
【解析】
∵ 二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义
∴ 被开方数$1-x ≥ 0$
解这个不等式：
移项得 $-x ≥ -1$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得 $x ≤ 1$
该解集在数轴上表示为：在点1处画实心圆点，向左画直线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基本性质和不等式解集的数轴表示方法，掌握核心规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要确定x的取值范围，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0），据此列出不等式求解x的范围，再结合数轴表示不等式解集的规则（含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈，小于向左、大于向右画线），匹配正确选项即可。
【解析】
∵ 二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义
∴ 被开方数$1-x ≥ 0$
解这个不等式：
移项得 $-x ≥ -1$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得 $x ≤ 1$
该解集在数轴上表示为：在点1处画实心圆点，向左画直线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次根式的基本性质和不等式解集的数轴表示方法，掌握核心规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。该运算法则成立的条件是（
A.$a＞0,b＞0$
B.$a＜0,b＜0$
C.$a≤0,b≤0$
D.$a≥0,b≥0$
D
）A.$a＞0,b＞0$
B.$a＜0,b＜0$
C.$a≤0,b≤0$
D.$a≥0,b≥0$
答案
D
解析
【分析】
要确定二次根式乘法运算法则成立的条件，首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数。我们先分别分析等式左右两边的二次根式有意义的要求：左边有两个二次根式√a和√b，需要同时满足这两个根式有意义；再验证此时右边的√ab是否也有意义，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须大于等于0才有意义。
对于等式左边的√a，可得a≥0；对于√b，可得b≥0。
当a≥0且b≥0时，ab≥0，此时等式右边的√ab也有意义，因此该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0。
选项A中排除了a=0或b=0的情况，实际a=0或b=0时法则也成立，故A错误；选项B、C中a、b为负数时，√a、√b无意义，故B、C错误。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的乘法法则
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对二次根式乘法法则适用条件的掌握，解题时要注意二次根式的被开方数是非负数，不要遗漏等于0的情况。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式乘法运算法则成立的条件，首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数。我们先分别分析等式左右两边的二次根式有意义的要求：左边有两个二次根式√a和√b，需要同时满足这两个根式有意义；再验证此时右边的√ab是否也有意义，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式的被开方数必须大于等于0才有意义。
对于等式左边的√a，可得a≥0；对于√b，可得b≥0。
当a≥0且b≥0时，ab≥0，此时等式右边的√ab也有意义，因此该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0。
选项A中排除了a=0或b=0的情况，实际a=0或b=0时法则也成立，故A错误；选项B、C中a、b为负数时，√a、√b无意义，故B、C错误。
综上选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的乘法法则
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对二次根式乘法法则适用条件的掌握，解题时要注意二次根式的被开方数是非负数，不要遗漏等于0的情况。
【难度系数】
0.9
3. 下列哪组二次根式可以合并 （
A.$\sqrt{2},\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8},\sqrt{18}$
C.$\sqrt{5},\sqrt{15}$
D.$\sqrt{6},\sqrt{16}$
B
）A.$\sqrt{2},\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8},\sqrt{18}$
C.$\sqrt{5},\sqrt{15}$
D.$\sqrt{6},\sqrt{16}$
答案
B
解析
【分析】
要判断哪组二次根式可以合并，核心是判断它们是否为同类二次根式。解题思路为：先将每个选项中的二次根式全部化为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否一致，若一致则为同类二次根式，可以合并，反之则不能合并。
【解析】
同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式，只有同类二次根式可以合并。我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不相同，不能合并；
B选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数都是2，属于同类二次根式，可以合并；
C选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{15}$都是最简二次根式，被开方数分别为5和15，不相同，不能合并；
D选项：$\sqrt{16}=4$是整数，与$\sqrt{6}$不是同类二次根式，不能合并。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，重点考查二次根式合并的前提条件，掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键，熟练掌握该知识点可以为后续二次根式的加减运算打好基础。
【难度系数】
0.8
要判断哪组二次根式可以合并，核心是判断它们是否为同类二次根式。解题思路为：先将每个选项中的二次根式全部化为最简二次根式，再对比化简后的被开方数是否一致，若一致则为同类二次根式，可以合并，反之则不能合并。
【解析】
同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式，只有同类二次根式可以合并。我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不相同，不能合并；
B选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数都是2，属于同类二次根式，可以合并；
C选项：$\sqrt{5}$和$\sqrt{15}$都是最简二次根式，被开方数分别为5和15，不相同，不能合并；
D选项：$\sqrt{16}=4$是整数，与$\sqrt{6}$不是同类二次根式，不能合并。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，重点考查二次根式合并的前提条件，掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键，熟练掌握该知识点可以为后续二次根式的加减运算打好基础。
【难度系数】
0.8
4.若直角三角形的两直角边长分别为$\sqrt{3},\sqrt{6}$,则此直角三角形的面积为 （
A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{3}{2}$
C
）A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{3}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直角三角形的面积计算公式：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半。题目已经直接给出两条直角边的长度，我们只需要把边长代入公式，再按照二次根式的乘法运算法则计算、化简，最后匹配选项即可。
【解析】
直角三角形的面积公式为$ S=\frac{1}{2}ab $（其中$ a、b $为两条直角边的长度）。
已知两直角边长分别为$ \sqrt{3}、\sqrt{6} $，代入公式得：
$ S=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \sqrt{6} $
根据二次根式乘法法则$ \sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} $（$ a≥0,b≥0 $），计算得：
$ \sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3 × 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
因此面积$ S=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形面积计算，二次根式乘法运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察对直角三角形面积公式的掌握和二次根式运算的熟练度，计算时注意不要漏乘面积公式里的$ \frac{1}{2} $，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆直角三角形的面积计算公式：直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半。题目已经直接给出两条直角边的长度，我们只需要把边长代入公式，再按照二次根式的乘法运算法则计算、化简，最后匹配选项即可。
【解析】
直角三角形的面积公式为$ S=\frac{1}{2}ab $（其中$ a、b $为两条直角边的长度）。
已知两直角边长分别为$ \sqrt{3}、\sqrt{6} $，代入公式得：
$ S=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × \sqrt{6} $
根据二次根式乘法法则$ \sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} $（$ a≥0,b≥0 $），计算得：
$ \sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3 × 6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
因此面积$ S=\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形面积计算，二次根式乘法运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察对直角三角形面积公式的掌握和二次根式运算的熟练度，计算时注意不要漏乘面积公式里的$ \frac{1}{2} $，最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
5. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{14}=7$
C
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=1$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{14}=7$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算正误判断，解题时需逐一验证每个选项的运算是否符合二次根式的运算法则：首先明确二次根式加减运算只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；二次根式乘法运算遵循“根号不变，被开方数相乘”的规则，最后化简结果即可判断对错。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，A错误；
选项B：同类二次根式相减，系数相减、根号部分不变，因此$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，B错误；
选项C：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，C运算正确；
选项D：同理，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{14}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×14}=\sqrt{7}≠7$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式运算法则的掌握程度，牢记同类二次根式的合并规则和乘除运算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算正误判断，解题时需逐一验证每个选项的运算是否符合二次根式的运算法则：首先明确二次根式加减运算只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并，合并时仅系数相加减，根号部分保持不变；二次根式乘法运算遵循“根号不变，被开方数相乘”的规则，最后化简结果即可判断对错。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，A错误；
选项B：同类二次根式相减，系数相减、根号部分不变，因此$4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(4-3)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠1$，B错误；
选项C：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，C运算正确；
选项D：同理，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{14}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×14}=\sqrt{7}≠7$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘法运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式运算法则的掌握程度，牢记同类二次根式的合并规则和乘除运算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.若整数$x$能使二次根式$\sqrt{14-x}$化为最简二次根式，则$x$的值可以是 （
A.2
B.5
C.6
D.8
D
）A.2
B.5
C.6
D.8
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是掌握最简二次根式的判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们可以将四个选项的x值依次代入被开方数14-x中，计算得到对应的被开方数后，逐一判断是否满足最简二次根式的要求，符合条件的即为正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
代入A选项x=2：被开方数为$14-2=12$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，可化简，不是最简二次根式，排除；
代入B选项x=5：被开方数为$14-5=9$，$\sqrt{9}=3$，可化简，不是最简二次根式，排除；
代入C选项x=6：被开方数为$14-6=8$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，可化简，不是最简二次根式，排除；
代入D选项x=8：被开方数为$14-8=6$，$\sqrt{6}$的被开方数不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记最简二次根式的两个判定标准，采用代入验证法即可快速得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握最简二次根式的判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们可以将四个选项的x值依次代入被开方数14-x中，计算得到对应的被开方数后，逐一判断是否满足最简二次根式的要求，符合条件的即为正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
代入A选项x=2：被开方数为$14-2=12$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，可化简，不是最简二次根式，排除；
代入B选项x=5：被开方数为$14-5=9$，$\sqrt{9}=3$，可化简，不是最简二次根式，排除；
代入C选项x=6：被开方数为$14-6=8$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，可化简，不是最简二次根式，排除；
代入D选项x=8：被开方数为$14-8=6$，$\sqrt{6}$的被开方数不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记最简二次根式的两个判定标准，采用代入验证法即可快速得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
二、细心填一填,试试自己的身手！(请将答案填在对应题号的空位上)
7. 请写出一个二次根式,使它与$\sqrt{2}$的积是正整数,这个二次根式可以是________。
7. 请写出一个二次根式,使它与$\sqrt{2}$的积是正整数,这个二次根式可以是________。
答案
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。题目要求我们找的二次根式与$\sqrt{2}$的乘积是正整数，因此需要满足两个条件：①乘积为正数，所以这个二次根式不能为0；②乘积是整数，即$\sqrt{2×被开方数}$的结果是正整数，也就是2乘这个二次根式的被开方数的结果是正的完全平方数。最简单的情况就是取被开方数为2，此时乘积为$\sqrt{2×2}=2$，是正整数，符合要求。
【解析】
设所求二次根式为$\sqrt{x}$（$x＞0$，保证乘积为正），根据题意可得：
$\sqrt{x} × \sqrt{2} = \sqrt{2x}$
要使$\sqrt{2x}$为正整数，只需$2x$是正的完全平方数即可。
当$x=2$时，$2x=4$，是完全平方数，此时$\sqrt{2x}=\sqrt{4}=2$，为正整数，因此$\sqrt{2}$符合要求。
除此之外，如$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$等也都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的概念；完全平方数的性质
【点评】
本题属于开放性填空题，答案不唯一，核心考查对二次根式乘法运算规则的理解与应用，解题时只要抓住“乘积为正整数”的要求，结合二次根式乘法性质推导即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。题目要求我们找的二次根式与$\sqrt{2}$的乘积是正整数，因此需要满足两个条件：①乘积为正数，所以这个二次根式不能为0；②乘积是整数，即$\sqrt{2×被开方数}$的结果是正整数，也就是2乘这个二次根式的被开方数的结果是正的完全平方数。最简单的情况就是取被开方数为2，此时乘积为$\sqrt{2×2}=2$，是正整数，符合要求。
【解析】
设所求二次根式为$\sqrt{x}$（$x＞0$，保证乘积为正），根据题意可得：
$\sqrt{x} × \sqrt{2} = \sqrt{2x}$
要使$\sqrt{2x}$为正整数，只需$2x$是正的完全平方数即可。
当$x=2$时，$2x=4$，是完全平方数，此时$\sqrt{2x}=\sqrt{4}=2$，为正整数，因此$\sqrt{2}$符合要求。
除此之外，如$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$等也都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的概念；完全平方数的性质
【点评】
本题属于开放性填空题，答案不唯一，核心考查对二次根式乘法运算规则的理解与应用，解题时只要抓住“乘积为正整数”的要求，结合二次根式乘法性质推导即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
