登录
15. 实数 $ a,b $ 在数轴上的位置如图所示，化简 $ \sqrt{a^2} - \sqrt{(b-1)^2} - \sqrt{(a-b)^2} $。
答案
由数轴知 $a＜0,a＜1＜b$，
$\therefore b-1＞0,a-b＜0$，
则原式$=|a|-|b-1|-|a-b|=-a-(b-1)-(b-a)=-a-b+1-b+a=1-2b$。
$\therefore b-1＞0,a-b＜0$，
则原式$=|a|-|b-1|-|a-b|=-a-(b-1)-(b-a)=-a-b+1-b+a=1-2b$。
解析
【分析】
解决本题首先要从数轴上确定实数a、b的取值范围，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子，接下来判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$2 ＜ b ＜ 3$，
$\therefore a ＜ 0$，$b-1 ＞ 0$，$a-b ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简如下：
$\begin{aligned}原式&=|a|-|b-1|-|a-b|\\&=-a-(b-1)-[-(a-b)]\\&=-a-b+1+a-b\\&=1-2b\end{aligned}$
【答案】
$1-2b$
【知识点】
数轴的应用、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，解题核心是结合数轴准确判断各代数式的正负，再正确运用相关性质去掉根号和绝对值符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要从数轴上确定实数a、b的取值范围，再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的式子，接下来判断每个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$2 ＜ b ＜ 3$，
$\therefore a ＜ 0$，$b-1 ＞ 0$，$a-b ＜ 0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简如下：
$\begin{aligned}原式&=|a|-|b-1|-|a-b|\\&=-a-(b-1)-[-(a-b)]\\&=-a-b+1+a-b\\&=1-2b\end{aligned}$
【答案】
$1-2b$
【知识点】
数轴的应用、二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，解题核心是结合数轴准确判断各代数式的正负，再正确运用相关性质去掉根号和绝对值符号，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
16. 如图,有一块矩形木板,木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为$18\ \mathrm{dm}^2$和$32\ \mathrm{dm}^2$的正方形木板.
(1)求原矩形木板的面积;
(2)求剩余木料的周长.
(1)求原矩形木板的面积;
(2)求剩余木料的周长.
答案
(1)$\because$两个正方形的面积分别为$18\ \mathrm{dm}^2$和$32\ \mathrm{dm}^2$，
$\therefore$这两个正方形的边长分别为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}(\mathrm{dm}),\sqrt{32}=4\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，
$\therefore$原矩形木板的长为$3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}(\mathrm{dm})$,宽为$4\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，
$\therefore$原矩形木板的面积为$7\sqrt{2}×4\sqrt{2}=56(\mathrm{dm}^2)$。
(2)剩余木料的长为$3\sqrt{2}(\mathrm{dm})$,宽为$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，
$\therefore$剩余木料的周长为$2(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=8\sqrt{2}(\mathrm{dm})$。
$\therefore$这两个正方形的边长分别为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}(\mathrm{dm}),\sqrt{32}=4\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，
$\therefore$原矩形木板的长为$3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}(\mathrm{dm})$,宽为$4\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，
$\therefore$原矩形木板的面积为$7\sqrt{2}×4\sqrt{2}=56(\mathrm{dm}^2)$。
(2)剩余木料的长为$3\sqrt{2}(\mathrm{dm})$,宽为$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}(\mathrm{dm})$，
$\therefore$剩余木料的周长为$2(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=8\sqrt{2}(\mathrm{dm})$。
解析
【分析】
要解决这两个问题，我们可以从已知的正方形面积逐步推导：
① 第一问求原矩形面积，首先需要得到矩形的长和宽：正方形面积等于边长的平方，因此可以通过对面积开平方求出两个正方形的边长；其中大正方形的边长就是原矩形的宽，两个正方形的边长之和就是原矩形的长，再代入矩形面积公式（长×宽）即可计算出结果。
② 第二问求剩余木料的周长，首先明确剩余木料是矩形：它的长等于小正方形的边长，宽等于大正方形边长减去小正方形的边长，再代入矩形周长公式$2×(长+宽)$计算即可，计算过程中要注意正确化简二次根式、遵循二次根式的加减运算规则。
【解析】
(1) 先计算两个正方形的边长：
已知两个正方形面积分别为$18\ \mathrm{dm}^2$和$32\ \mathrm{dm}^2$，根据正方形边长$=\sqrt{\mathrm{面积}}$，可得：
小正方形边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，大正方形边长：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
结合图形可知，原矩形的长为两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长：
原矩形长：$3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，原矩形宽：$4\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
因此原矩形面积为：
$7\sqrt{2} × 4\sqrt{2}=28× (\sqrt{2}×\sqrt{2})=28×2=56\ \mathrm{dm}^2$。
(2) 剩余木料为矩形，它的长等于小正方形的边长$3\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，宽为大正方形与小正方形的边长差：
宽：$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
代入矩形周长公式，剩余木料周长为：
$2×(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{56\ \mathrm{dm}^2}$
(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}\ \mathrm{dm}}$
【知识点】
1. 二次根式化简运算
2. 正方形面积公式
3. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次根式在几何计算中的基础应用题，解题核心是结合图形特征，通过正方形面积推导边长，进而确定所求矩形的长宽参数，计算时需注意二次根式运算法则的正确使用，整体解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.7
要解决这两个问题，我们可以从已知的正方形面积逐步推导：
① 第一问求原矩形面积，首先需要得到矩形的长和宽：正方形面积等于边长的平方，因此可以通过对面积开平方求出两个正方形的边长；其中大正方形的边长就是原矩形的宽，两个正方形的边长之和就是原矩形的长，再代入矩形面积公式（长×宽）即可计算出结果。
② 第二问求剩余木料的周长，首先明确剩余木料是矩形：它的长等于小正方形的边长，宽等于大正方形边长减去小正方形的边长，再代入矩形周长公式$2×(长+宽)$计算即可，计算过程中要注意正确化简二次根式、遵循二次根式的加减运算规则。
【解析】
(1) 先计算两个正方形的边长：
已知两个正方形面积分别为$18\ \mathrm{dm}^2$和$32\ \mathrm{dm}^2$，根据正方形边长$=\sqrt{\mathrm{面积}}$，可得：
小正方形边长：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，大正方形边长：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
结合图形可知，原矩形的长为两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长：
原矩形长：$3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，原矩形宽：$4\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
因此原矩形面积为：
$7\sqrt{2} × 4\sqrt{2}=28× (\sqrt{2}×\sqrt{2})=28×2=56\ \mathrm{dm}^2$。
(2) 剩余木料为矩形，它的长等于小正方形的边长$3\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，宽为大正方形与小正方形的边长差：
宽：$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
代入矩形周长公式，剩余木料周长为：
$2×(3\sqrt{2}+\sqrt{2})=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{56\ \mathrm{dm}^2}$
(2) $\boldsymbol{8\sqrt{2}\ \mathrm{dm}}$
【知识点】
1. 二次根式化简运算
2. 正方形面积公式
3. 矩形周长与面积计算
【点评】
本题是二次根式在几何计算中的基础应用题，解题核心是结合图形特征，通过正方形面积推导边长，进而确定所求矩形的长宽参数，计算时需注意二次根式运算法则的正确使用，整体解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.7
17.【问题情境】若实数 $ x,y $ 满足 $ y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-6 $，求 $ x+y $ 的值. 下面是小明的部分解题过程：
解:若要使该式子有意义,则需要同时满足 $ x-2≥0,2-x≥0 $，……
(1)请你将解题过程补充完整；
(2)【解决问题】已知 $ a,b $ 分别为等腰三角形的两条边长，且 $ a,b $ 满足 $ b=5+\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a} $，求该三角形的周长.
解:若要使该式子有意义,则需要同时满足 $ x-2≥0,2-x≥0 $，……
(1)请你将解题过程补充完整；
(2)【解决问题】已知 $ a,b $ 分别为等腰三角形的两条边长，且 $ a,b $ 满足 $ b=5+\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a} $，求该三角形的周长.
答案
(1)补全过程如下：
则 $x≥2$ 且 $x≤2,\therefore x=2$，
$\therefore y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-6=-6,\therefore x+y=2+(-6)=-4$。
(2)若要使该式子有意义,则需要同时满足 $a-3≥0,6-2a≥0$,则 $a≥3$ 且 $a≤3,\therefore a=3$，
$\therefore b=5+\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}=5$。
$\because a,b$ 分别为等腰三角形的两条边长，
$\therefore$ 当腰长为 3 时,$3+3＞5$,$\therefore$ 该三角形的周长为 $3+3+5=11$；
当腰长为 5 时,$3+5＞5$,$\therefore$ 该三角形的周长为 $3+5+5=13$。
综上所述,该三角形的周长为 11 或 13。
则 $x≥2$ 且 $x≤2,\therefore x=2$，
$\therefore y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}-6=-6,\therefore x+y=2+(-6)=-4$。
(2)若要使该式子有意义,则需要同时满足 $a-3≥0,6-2a≥0$,则 $a≥3$ 且 $a≤3,\therefore a=3$，
$\therefore b=5+\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}=5$。
$\because a,b$ 分别为等腰三角形的两条边长，
$\therefore$ 当腰长为 3 时,$3+3＞5$,$\therefore$ 该三角形的周长为 $3+3+5=11$；
当腰长为 5 时,$3+5＞5$,$\therefore$ 该三角形的周长为 $3+5+5=13$。
综上所述,该三角形的周长为 11 或 13。
解析
【分析】
（1）解题首先要明确二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式组，求出x的唯一取值，再代入原式算出y的值，最后计算x+y即可。
（2）先沿用第一问的思路，根据二次根式有意义的条件求出a的取值，代入得到b的值；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，每种情况都要先验证三边是否满足三角形两边之和大于第三边的关系，符合条件的再计算周长。
【解析】
(1) 补全过程如下：
由$x-2≥0$且$2-x≥0$，得$x≥2$且$x≤2$，$\therefore x=2$，
将$x=2$代入原式得：$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}-6=-6$，
$\therefore x+y=2+(-6)=-4$。
(2) 若要使$b=5+\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}$有意义，则需满足$\begin{cases}a-3≥0 \\6-2a≥0 \end{cases}$，
解不等式组得$a≥3$且$a≤3$，$\therefore a=3$，
将$a=3$代入得：$b=5+\sqrt{3-3}+\sqrt{6-2×3}=5$。
$\because a,b$为等腰三角形的两条边长，分两种情况讨论：
① 当腰长为3时，三边长为3、3、5，$\because 3+3＞5$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+5=11$；
② 当腰长为5时，三边长为3、5、5，$\because 3+5＞5$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+5+5=13$。
综上，该三角形的周长为11或13。
【答案】
(1) $x+y=-4$；(2) 三角形周长为11或13
【知识点】
二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题将二次根式的取值范围与三角形相关知识结合考查，解题时要注意挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，求解等腰三角形周长类问题时需注意分类讨论腰的情况，同时一定要验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.7
（1）解题首先要明确二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列出关于x的不等式组，求出x的唯一取值，再代入原式算出y的值，最后计算x+y即可。
（2）先沿用第一问的思路，根据二次根式有意义的条件求出a的取值，代入得到b的值；再结合等腰三角形两腰相等的性质，分腰长为a、腰长为b两种情况讨论，每种情况都要先验证三边是否满足三角形两边之和大于第三边的关系，符合条件的再计算周长。
【解析】
(1) 补全过程如下：
由$x-2≥0$且$2-x≥0$，得$x≥2$且$x≤2$，$\therefore x=2$，
将$x=2$代入原式得：$y=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}-6=-6$，
$\therefore x+y=2+(-6)=-4$。
(2) 若要使$b=5+\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}$有意义，则需满足$\begin{cases}a-3≥0 \\6-2a≥0 \end{cases}$，
解不等式组得$a≥3$且$a≤3$，$\therefore a=3$，
将$a=3$代入得：$b=5+\sqrt{3-3}+\sqrt{6-2×3}=5$。
$\because a,b$为等腰三角形的两条边长，分两种情况讨论：
① 当腰长为3时，三边长为3、3、5，$\because 3+3＞5$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+3+5=11$；
② 当腰长为5时，三边长为3、5、5，$\because 3+5＞5$，满足三角形三边关系，此时周长为$3+5+5=13$。
综上，该三角形的周长为11或13。
【答案】
(1) $x+y=-4$；(2) 三角形周长为11或13
【知识点】
二次根式有意义的条件，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题将二次根式的取值范围与三角形相关知识结合考查，解题时要注意挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，求解等腰三角形周长类问题时需注意分类讨论腰的情况，同时一定要验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.7
