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12.【观察思考】如图,有一组正多边形,观察每个正多边形中α的变化情况.
【规律发现】
(1)将表格补充完整.
| 正多边形的边数 $n$ | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $α$ 的度数 | $60°$ | $45°$ |
(2)观察上面表格中$α$的变化规律,角$α$与边数$n$的关系为
【规律应用】
(3)根据规律,当$α = 18°$时,求该正多边形的内角和.
【规律发现】
(1)将表格补充完整.
| 正多边形的边数 $n$ | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $α$ 的度数 | $60°$ | $45°$ |
36°
| $30°$ | … |(2)观察上面表格中$α$的变化规律,角$α$与边数$n$的关系为
$α =\dfrac{180°}{n}$
.【规律应用】
(3)根据规律,当$α = 18°$时,求该正多边形的内角和.
答案
12. 解:(1)$36°$
(2)$α =\dfrac{180°}{n}$
(3)当 $α=18°$ 时,$18°=\dfrac{180°}{n}$,解得 $n=10$,$\therefore$ 该正多边形的内角和为 $(10-2)×180°=1\ 440°$.
(2)$α =\dfrac{180°}{n}$
(3)当 $α=18°$ 时,$18°=\dfrac{180°}{n}$,解得 $n=10$,$\therefore$ 该正多边形的内角和为 $(10-2)×180°=1\ 440°$.
解析
【分析】
首先解决第(1)问，观察表格里给出的正多边形边数和对应α的度数：边数为3时α=60°=180°÷3，边数为4时α=45°=180°÷4，边数为6时α=30°=180°÷6，由此可推导出边数为n时，α的度数为180°除以n，代入n=5即可算出对应α的值；
第(2)问根据上述几组数值的对应规律，直接归纳出α与n的关系式即可；
第(3)问先将α=18°代入第(2)问得到的关系式，求出正多边形的边数n，再利用多边形内角和公式：(n-2)×180°，代入n的值计算即可得到内角和。
【解析】
(1) 根据已知的对应规律，当正多边形边数为n时，$α=\frac{180°}{n}$，当n=5时，$α=\frac{180°}{5}=36°$；
(2) 观察多组对应值：n=3时$α=\frac{180°}{3}$，n=4时$α=\frac{180°}{4}$，n=5时$α=\frac{180°}{5}$，n=6时$α=\frac{180°}{6}$，可归纳得出α与n的关系为：$α=\frac{180°}{n}$；
(3) 当$α=18°$时，将其代入$α=\frac{180°}{n}$得：
$18°=\frac{180°}{n}$
解得$n=10$
根据多边形内角和公式，该正多边形的内角和为：
$(n-2)×180°=(10-2)×180°=1440°$
【答案】
(1) $36°$；(2) $α=\dfrac{180°}{n}$；(3) $1440°$
【知识点】
正多边形的性质，多边形内角和公式，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，结合正多边形的性质考查归纳推理能力，解题核心是先根据已知对应值推导得到α和边数n的关系，再结合多边形内角和公式求解，计算量小，掌握基础概念即可完成。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问，观察表格里给出的正多边形边数和对应α的度数：边数为3时α=60°=180°÷3，边数为4时α=45°=180°÷4，边数为6时α=30°=180°÷6，由此可推导出边数为n时，α的度数为180°除以n，代入n=5即可算出对应α的值；
第(2)问根据上述几组数值的对应规律，直接归纳出α与n的关系式即可；
第(3)问先将α=18°代入第(2)问得到的关系式，求出正多边形的边数n，再利用多边形内角和公式：(n-2)×180°，代入n的值计算即可得到内角和。
【解析】
(1) 根据已知的对应规律，当正多边形边数为n时，$α=\frac{180°}{n}$，当n=5时，$α=\frac{180°}{5}=36°$；
(2) 观察多组对应值：n=3时$α=\frac{180°}{3}$，n=4时$α=\frac{180°}{4}$，n=5时$α=\frac{180°}{5}$，n=6时$α=\frac{180°}{6}$，可归纳得出α与n的关系为：$α=\frac{180°}{n}$；
(3) 当$α=18°$时，将其代入$α=\frac{180°}{n}$得：
$18°=\frac{180°}{n}$
解得$n=10$
根据多边形内角和公式，该正多边形的内角和为：
$(n-2)×180°=(10-2)×180°=1440°$
【答案】
(1) $36°$；(2) $α=\dfrac{180°}{n}$；(3) $1440°$
【知识点】
正多边形的性质，多边形内角和公式，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，结合正多边形的性质考查归纳推理能力，解题核心是先根据已知对应值推导得到α和边数n的关系，再结合多边形内角和公式求解，计算量小，掌握基础概念即可完成。
【难度系数】
0.7
13. 已知$n$边形的内角和$θ=(n-2)×180°$.
(1)甲同学说：“$θ$能取$360°$.”而乙同学说：“$θ$也能取$630°$.”甲、乙同学的说法正确吗？若正确，求出边数$n$；若不正确，请说明理由.
(2)若$n$边形变为$(n+x)$边形，发现内角和增加了$360°$，用列方程的方法确定$x$.
(1)甲同学说：“$θ$能取$360°$.”而乙同学说：“$θ$也能取$630°$.”甲、乙同学的说法正确吗？若正确，求出边数$n$；若不正确，请说明理由.
(2)若$n$边形变为$(n+x)$边形，发现内角和增加了$360°$，用列方程的方法确定$x$.
答案
13. 解:(1)甲同学的说法正确,$n=4$;乙同学的说法不正确,理由略.
(2)依题意,得 $(n-2)×180°+360°=(n+x-2)×180°$,解得 $x=2$.
(2)依题意,得 $(n-2)×180°+360°=(n+x-2)×180°$,解得 $x=2$.
解析
【分析】
(1) 首先明确多边形的边数$n$是大于等于3的正整数，因此内角和$θ=(n-2)×180°$一定是$180°$的正整数倍。判断甲、乙的说法是否正确，只需将给出的$θ$值代入公式求解$n$，若$n$为正整数则说法正确，反之则错误。
(2) $n$边形变为$(n+x)$边形后内角和增加$360°$，即原$n$边形内角和加$360°$等于新的$(n+x)$边形的内角和，据此列一元一次方程求解$x$即可。
【解析】
(1) 验证甲同学的说法：
将$θ=360°$代入内角和公式，得：
$(n-2)×180°=360°$
解得$n-2=2$，即$n=4$，$n=4$是正整数，符合多边形边数的要求，因此甲同学说法正确。
验证乙同学的说法：
将$θ=630°$代入内角和公式，得：
$(n-2)×180°=630°$
解得$n-2=3.5$，即$n=5.5$，多边形边数必须为正整数，因此乙同学说法不正确。
(2) 根据内角和增加$360°$的等量关系列方程：
$(n-2)×180° + 360°=(n+x-2)×180°$
化简方程：
$180° n = 180° n + 180° x - 360°$
消去两侧$180° n$后解得：$x=2$
【答案】
(1) 甲同学的说法正确，$n=4$；乙同学的说法不正确，因为代入$θ=630°$求得的边数不是正整数，不符合多边形边数要求。
(2) $x=2$
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查多边形内角和公式的基础应用，解题时要注意多边形边数为正整数这一隐含条件，列方程类问题找准等量关系即可顺利求解，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确多边形的边数$n$是大于等于3的正整数，因此内角和$θ=(n-2)×180°$一定是$180°$的正整数倍。判断甲、乙的说法是否正确，只需将给出的$θ$值代入公式求解$n$，若$n$为正整数则说法正确，反之则错误。
(2) $n$边形变为$(n+x)$边形后内角和增加$360°$，即原$n$边形内角和加$360°$等于新的$(n+x)$边形的内角和，据此列一元一次方程求解$x$即可。
【解析】
(1) 验证甲同学的说法：
将$θ=360°$代入内角和公式，得：
$(n-2)×180°=360°$
解得$n-2=2$，即$n=4$，$n=4$是正整数，符合多边形边数的要求，因此甲同学说法正确。
验证乙同学的说法：
将$θ=630°$代入内角和公式，得：
$(n-2)×180°=630°$
解得$n-2=3.5$，即$n=5.5$，多边形边数必须为正整数，因此乙同学说法不正确。
(2) 根据内角和增加$360°$的等量关系列方程：
$(n-2)×180° + 360°=(n+x-2)×180°$
化简方程：
$180° n = 180° n + 180° x - 360°$
消去两侧$180° n$后解得：$x=2$
【答案】
(1) 甲同学的说法正确，$n=4$；乙同学的说法不正确，因为代入$θ=630°$求得的边数不是正整数，不符合多边形边数要求。
(2) $x=2$
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查多边形内角和公式的基础应用，解题时要注意多边形边数为正整数这一隐含条件，列方程类问题找准等量关系即可顺利求解，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
