8. 在一个正多边形中,一个内角是与它相邻的一个外角的3倍.
(1)求这个多边形的每一个外角的度数；
(2)求这个多边形的边数.

8. 解:(1)设这个多边形的每一个外角的度数为 $x°$. 根据题意,得 $3x°+x°=180°$,解得 $x°=45°$,$\therefore$ 这个多边形的每一个外角的度数为 $45°$.
(2)$\because 360°÷45°=8$,$\therefore$ 这个多边形的边数为 8.

【分析】
解决第(1)问时，首先明确多边形的一个内角和它相邻的外角互为邻补角，二者之和为180°，结合题中“内角是相邻外角的3倍”的数量关系，设未知数列方程即可求解外角的度数。解决第(2)问时，利用任意多边形的外角和恒为360°的性质，且正多边形每个外角都相等，用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数。
【解析】
(1)设这个多边形的每一个外角的度数为$x°$，则与其相邻的内角为$3x°$。
根据一个内角和它相邻的外角和为180°，列方程得：
$3x+x=180$
解得$x=45$
∴这个多边形的每一个外角的度数为$45°$。
(2)
∵任意多边形的外角和为$360°$，正多边形每个外角相等，
∴边数为$360°÷45°=8$
∴这个多边形的边数为8。
【答案】
(1) $45°$；(2) 8
【知识点】
邻补角的性质；多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查正多边形内角和外角的相关性质，只要掌握“内角与相邻外角和为180°”“多边形外角和恒为360°”两个核心知识点，就能快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 从八边形的一个顶点出发，最多可以引 $ m $ 条对角线，它们将八边形分成 $ n $ 个三角形.这里 $ m,n $ 的值分别为 （）

A.6,6
B.8,7
C.5,7
D.5,6

9.D

【分析】
解决这道题首先要回忆多边形从一个顶点出发引对角线及分割三角形的通用规律。首先，n边形的一个顶点，不能和自身、以及相邻的两个顶点连接形成对角线，因此可引的对角线条数为总顶点数减去3个不符合要求的顶点，即(n-3)条；而这些对角线把多边形分割成的三角形个数，通过归纳可得规律为(n-2)个。我们只需把八边形的边数代入两个公式，就能算出m和n的值，对应选项即可。
【解析】
设多边形的边数为k，根据多边形的性质：
1. 从一个顶点出发最多可引的对角线条数为 $ m = k - 3 $，原因是该顶点不能与自身、相邻的2个顶点连对角线，共排除3个顶点；
2. 这些对角线将多边形分成的三角形个数为 $ n = k - 2 $。
本题中为八边形，即$ k=8 $，代入公式计算：
$ m = 8 - 3 = 5 $
$ n = 8 - 2 = 6 $
因此符合条件的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线规律；多边形分割三角形规律
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握n边形对角线及分割三角形的通用公式，理解规律推导逻辑后就能快速作答，不需要死记硬背具体数值。
【难度系数】
0.8

10. 如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=$ （）


A.$180°$
B.$240°$
C.$360°$
D.$540°$

10.C

【分析】
要求六个分散角的和，无法直接计算单个角的度数，因此需要用转化思想将角整合到熟悉的多边形中求解。首先回忆三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可将∠A+∠B、∠E+∠F分别转化为两个外角，观察图形可知这两个外角与∠C、∠D共同构成四边形的四个内角，再结合四边形内角和公式即可算出总和。
【解析】
设AC与BF交于点P，AE与DF交于点Q：
1. 根据三角形外角的性质，∠BPC是△ABP的外角，因此$∠ BPC = ∠ A + ∠ B$；同理，∠EQF是△EFQ的外角，因此$∠ EQF = ∠ E + ∠ F$。
2. 根据多边形内角和公式，四边形CDQP的内角和为$(4-2)×180°=360°$，即$∠ C + ∠ D + ∠ BPC + ∠ EQF = 360°$。
3. 将$∠ BPC = ∠ A + ∠ B$、$∠ EQF = ∠ E + ∠ F$代入上式，可得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=360°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质；四边形内角和计算
【点评】
本题是几何角度求和的典型题，解题核心是运用转化思想，通过外角性质将分散的角集中到同一个四边形中，结合内角和公式即可快速求解，熟练掌握相关性质公式就能轻松应对这类题型。
【难度系数】
0.7

11.将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，且每一个图形的一个顶点都在另一个图形的一条边上，则$∠1+∠2+∠3$的度数为________。

11. $102°$

【分析】
解题思路如下：①首先利用正多边形内角计算公式，分别求出正三角形、正方形、正五边形的单个内角度数；②观察图形可知，∠1、∠2、∠3，三个正多边形的内角，以及中间重叠小三角形的三个内角，三者相加恰好等于3个平角的总度数；③用平角总度数减去三个正多边形内角和，再减去三角形内角和，即可得出∠1+∠2+∠3的度数。
【解析】
首先计算三个正多边形的内角度数：
正三角形的每个内角：$180°÷3=60°$
正方形的每个内角：$360°÷4=90°$
正五边形的每个内角：$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
3个平角的总度数为：$3×180°=540°$，三角形内角和为$180°$。
根据角度和差关系：
$\begin{aligned}∠1+∠2+∠3&=540°-(60°+90°+108°)-180°\\&=540°-258°-180°\\&=102°\end{aligned}$
【答案】
$102°$
【知识点】
正多边形内角计算，三角形内角和，平角的性质
【点评】
本题侧重考查角度的整体计算能力，解题的核心是找到各角度之间的隐藏和差关系，无需单独求解∠1、∠2、∠3的具体度数，通过整体代换即可快速得出结果。
【难度系数】
0.6